방정식/풀이

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1. 개요

2. 일원방정식

2.1. 일차방정식

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2.2. 이차방정식

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2.3. 삼차방정식

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2.4. 사차방정식

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2.5. 오차 이상의 방정식

• 당연한 얘기지만, 인수분해가 되면 인수분해해서 다른 방정식과 같은 방법으로 해를 구하면 된다. 그중에서도 차수가 홀수인 경우 최소한 한 개의 실근이 존재[2]한다는 것을 이용해 인수 정리를 이용해 인수분해할 수 있다.

• 복삼차식이나 복사차식, 삼복이차식, 복복이차식,... 등도 근의 공식으로 해를 구할 수 있으며 최대 4차까지로 인수분해 가능한 형태이면 근의 공식으로 풀 수 있다. 당장 3차방정식, 4차방정식 근의 공식 유도 과정중에 이러한 과정이 나온다.

• 수학자 아벨이, [math(n\ge5)][3]일 때, [math(n)]차방정식은 주어진 식에서(유리수든 실수든 복소수든 관계없다.) 유한 번의 제곱근 처리 및 사칙연산으로 답을 구할 수 있는 일반화된 해법이 존재하지 않는다는 사실을 증명했다.
• 수학자인 갈루아는 '오차 이상의 대수방정식이 해법이 구해질 수 있는 조건'에 대해 논문을 썼다. 뭔가를 밝혀냈다는 말 없이 논문[4]을 썼다는 것 하나로 서술이 끝났다는 것에서 감이 잡힐 듯 싶다.
• 브링 근호(Bring radical)를 사용하면 임의의 5차방정식의 해를 나타낼 수 있다. 방정식 [math(x^5+x+a=0)]는 오직 하나의 실근을 가지는데, 이 근을 [math(\mathrm{BR}(a))] 또는 [math(\mathrm{ultraradical}(a))][5]로 정의하고 이것을 이용해 오차방정식의 해를 나타낸다. 모든 오차방정식은 치른하우스 변환(Tschirnhaus Transformation)을 통해 [math(x^5+x+a=0)]의 꼴로 축약할 수 있다. 브링 근호는 타원곡선, 초기하함수 등을 이용하여 나타낼 수 있다.
• 다만, 일반화된 해법이 없을 뿐이지, 모든 오차이상의 방정식을 사칙연산과 (거듭)제곱근을 유한번 이용해서 풀 수 없는 것은 아니다. 모든 Root of Unity[6]는 사칙연산과 유한 번 제곱근 처리로 답을 낼 수 있으며,[7] [math(x^5 - 5x + 12 = 0)]나 [math(x^6 + x^4 - x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0)] 등 특수한 5차 이상의 방정식이 사칙연산과 유한 번 제곱근 처리로 계산이 가능하다는 것을 보여주는 Dummit[8]이나 Hagedorn 등 수학자들의 연구 또한 존재한다. 정확히는 어떤 주어진 5차 이상의 방정식으로 갈루아군을 만들었을 때, 가해군이 된다는 것을 보일 수만 있다면 그 방정식은 대수적인 풀이가 존재하게 된다. 다만 일반화된 5차 이상의 방정식의 경우, [math(\rm{S}_{5})] 이후의 갈루아군은 일반적으로 가해군이 아니기 때문에 대수적인 풀이는 존재하지 않는다.[9][10]

2.6. 분수방정식

2.7. 무리방정식

2.8. 상반방정식

2.9. 초월방정식

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3. 부정방정식

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3.1. 디오판토스 방정식

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4. 연립방정식

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5. 미분방정식

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6. 일반적인 방정식의 해법

• 일단 기본적으로는, 치환을 한 다음 인수분해를 해서 주어진 방정식을 1차 방정식들의 곱으로 만든 다음, 그 1차 방정식들에 대해 [math(ab=0)]이면 [math(a=0)] 또는 [math(b=0)]이란 사실을 이용하여 치환된 방정식의 해를 구하고 대입법과 치환된 방정식의 해를 이용해 원래 방정식의 해를 구하면 된다.
• 함수를 이용하는 방법도 있다. 자세한 내용은 다항함수/추론 및 공식 문서로.
• 수치해석학적 알고리즘를 이용해 근사값을 구할 수도 있다. 보통 무한급수의 꼴이나 점화식으로 나타내어지는데, 원하는 오차가 아무리 작더라도 그 오차 이내의 근사값을 충분히 구할 수 있다. 뉴턴-랩슨 방법, 보간법 등을 쓰는데, 이 기법들을 이용하면 연속함수로 이루어진 방정식의 대부분의 해의 근사값을 구할 수 있다.
• 다항방정식인 경우, 유리근 정리를 이용해 해의 후보군을 뽑을 수 있다. 간단히 말하면, 최고차항 계수의 약수와 상수항의 약수의 몫 중에 근이 있을 수 있다는 것이다.

7. 활용문제

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