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similarity
1. 개요
두 도형의 모양이 같음을 뜻한다. 수학적인 정의는 한 도형을 일정한 비율로 일그러지지 않게 확대하거나 축소했을 때 두 도형이 합동이 되는 경우이다.[1] 여기서 확대나 축소라는 것은 같은 물체를 가까이서 본 것과 멀리서 본 것이라 보면 된다. 따라서 합동은 닮음의 특수한 경우로서 닮음 안에 포함된다. 중학교 2학년 교육 과정에 포함되어 있으며[2], 중학교 과정에서 수포자를 양성하는 외심, 내심, 확률, 삼각형, 사각형처럼 학생들에게 최종 보스급으로 여겨진다. 그래도 중학교 3학년 과정의 원주각보다는 나은 편이다.[3][4]2. 상세
서로 닮음인 도형에서 대응하는 선분의 비율을 닮음비라고 한다. 예를 들어, 서로 닮음인 두 삼각형 ABC와 DEF의 닮음비가 1:2라는 말은, △DEF의 각 변 길이는 △ABC의 각 변 길이의 두 배라는 이야기이다. 물론 두 도형의 닮음비가 1:1이라면 그 두 도형은 합동이다.닮음을 기호로 표현할 때는 Similarity의 라틴어 머릿글자 S를 옆으로 눕힌 기호(∽)나, 물결표([math(\sim)])를 사용한다.[5] 예를 들어, 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 닮음임을 아래와 같이 표현한다. 그리고 닮음비를 표시한다.
| [math(\triangle{\rm ABC} \sim \triangle{\rm DEF})] (닮음비 a:b) |
반대로, 두 도형이 닮음이 아닌 경우 빗금을 친 [math(\nsim)]를 쓴다.
사실 유클리드 논증기하에서 피타고라스의 정리와 원주각만큼 우려먹는 도구. 기본적인 공식들은 전부 분수비로 보여져 변과 변의 곱을 표현하는 것은 사실 전부 닮음의 비율을 통해 도출할 수 있다. 기하학 문제 푸는데 정말 많이 쓰이는 메넬라오스 정리부터 이것을 통해 증명된 것이니.
위상수학에서는 더 나아가 구와 원뿔과 원기둥과 정육면체를 닮은 도형으로 간주한다. 정확하게는 위상동형(homeomorphism) 관계의 도형이다.
서로 닮은 두 평면도형의 경우 넓이비는 닮음비의 제곱이다. 그리고 서로 닮은 두 입체도형의 경우 겉넓이의 비는 닮음비의 제곱이며, 부피비는 닮음비의 세제곱이다. 따라서 서로 닮은 입체도형의 경우 부피의 제곱은 겉넓이의 세제곱에 비례한다. 왜 그러냐면 단위넓이와 단위부피가 닮음비만큼 커지기 때문이다. 또한 부피 대 표면적의 값은 닮음비의 역수이다.
2.1. 서로 항상 닮음인 도형들
- 두 각의 크기가 같은 삼각형[6](AA 닮음[7])
- 두 쌍의 대응변의 길이 비가 같고, 그 끼인각이 같은 삼각형(SAS 닮음)
- 세 쌍의 대응변의 길이 비가 같은 삼각형(SSS 닮음)
- 모든 직각이등변삼각형[8], 원, 구
- 변의 개수가 같은 모든 정다각형
- 면의 개수가 같은 모든 정다면체
- 자기 쌍대가 성립하는 모든 도형
- 중심각의 크기가 같은 부채꼴
- 이심률이 같은 모든 이차곡선
- 모든 포물선
간혹 [math(y=ax^2)]꼴의 함수에서 [math(a)]값에 따라 '모양'이 결정된다고 말하는 참고서가 있으나 적절한 표현이 아니다. 폭이 같은 것. 모든 포물선은 서로 닮음이기 때문에 모양이 같다. 얼핏 보면 모양이 달라 보이지만 확대/축소 해서 보면 같다. - 밑이 같은 지수함수와 로그함수 그래프[9]
- 로그나선
2.2. 닮음의 중심
Center of similarity, Homotheric center위 그림에서 [math(\triangle ABC \sim \triangle DEF)]인데, 대응점 관계인 두 점을 이은 세 직선이 모두 한 점 [math(\rm P)]에서 만난다. 이렇게 닮음인 두 개 이상의 도형의 대응점을 이은 직선이 모두 한점을 지날 때, 이 점을 닮음의 중심이라 한다. 중요한 점은 닮음의 중심은 항상 존재하는 것은 아니라는 것이다. 대응점을 이은 모든 직선이 한 점을 지날 것이라는 보장이 없기 때문이다. 그러나 두 원은 언제나 닮음의 중심을 가지며, 닮음의 중심은 두 원의 중심을 이은 직선 위에 있다. [10]
두 닮은 도형의 닮음의 중심이 만일 존재한다면 위치에 관계없이 두 도형은 단순 확대·축소, 밀기만 이용해 일치시킬 수 있다(위 그림이 그 예시). 따라서 닮음의 중심이 위치한다면 각각의 대응변은 서로 평행하며, 확장해서 데자르그 정리의 전제조건은 두 삼각형이 닮음이 아니라는 것을 알 수 있다.[11]
[1] 여기서 일정한 비율로 도형을 확대한다는 것은 변의 길이를 확대하는 것이다.[2] 더 옛날에는 초등학교에서도 닮음을 배웠다. 일본과 중국은 중3 때 닮음을 배운다.[3] 이것도 케바케로, 경우에 따라서는 원주각이 닮음보단 훨씬 더 쉽게느껴지는 경우도 많다.[4] 중학교 3학년 과정에 가면 이차함수, 삼각비, 원주각이 있다. 이 중에서 원주각의 여러가지 공식들이라든지 고등학교 도형 내용을 증명할 때 삼각형의 닮음이 많이 이용된다.[5] 중고등학교 교육 과정에서는 전자를 사용하고 있으나, 전세계적으로는 물결표가 더 보편적이다. 전자보다 후자가 비교적 그리기도 쉽다.[6] 두 각의 크기가 같다면 각이 세 개고 내각의 합이 180°이므로 자연히 나머지 한 각의 크기도 동일하도록 결정된다. 따라서 세 각의 크기가 같다는 진술과 동치이다.[7] S는 side(변)의 첫 글자, A는 angle(각)의 첫 글자다.[8] 한 각은 직각, 나머지 두 각은 각각 45도이기 때문에 AA 닮음이다. 빗변이 아닌 두 변의 길이가 같고 끼인각이 직각이므로 SAS 닮음도 된다.[9] 지수와 로그 말고도 서로 역함수 관계에 있는 그래프는 [math(y=x)] 를 축으로 하는 대칭 관계의 형태이다.[10] 이를 이용하여 두 원의 공통 접선을 작도할 수 있다.[11] 기본적으로 데자르그 정리는 서로 다른 두 삼각형의 각 변의 연장선의 교점이 한 직선을 지난다는 것인데, 그런 교점이 존재하지 않으므로 모순이다.