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1. 개요
Triangle quelconques자크 루브찬스키(Jacques Lubczanski)라는 학자가 1980년대에 고안한, '아무 특징이 없는' 삼각형이다. 때로는 '평범'하기가 '비범'하기보다 어려움을 보여주는 단적인 예이자, 결과적으로 언어철학적 역설의 일종이 된 사례이다.
2. 상세
웬만한 삼각형에는 다 이름이 붙어 있기 때문에 정말 이름 없는 평범한 삼각형 만들기가 오히려 힘들다. 예를 들어 직각이 있으면 직각삼각형, 둔각이 있으면 둔각삼각형, 두 변의 길이가 같으면 이등변삼각형이라고 한다. 이에 자크 루브찬스키는 아무 특징 없는 '평범한 삼각형'을 작도하는 법을 연구했다. 그가 고안한 가장 간단한 '평범한 삼각형'은 다음과 같이 그릴 수 있다.- 정삼각형 하나를 그린다.
- 한 꼭짓점에서 대변(對邊)으로 수선을 내려 정삼각형을 이등분한 뒤, 그 중 하나를 버린다.
- 2에서 나온 직각삼각형의 길이가 중간인 변을 짧은 변으로 하는 직각이등변삼각형을 덧붙여 그린다.
- 세 각이 각각 [math(45\degree)], [math(60\degree)], [math(75\degree)]인 정말 이름 없는 삼각형이 나온다.
그러나 평범한 삼각형의 세 각은 각각 [math(45\degree)], [math(60\degree)], [math(75\degree)]이므로 그냥 예각삼각형이라는 이름을 붙일 수 있으며, 세 변의 길이가 모두 다르므로 부등변삼각형이라는 이름을 붙일 수도 있어서 자크 루브찬스키의 연구는 사실 부질없다. 애당초 특수한 이름이 붙어 있는 여러 삼각형의 집합들은 종종 삼각형의 집합에 대하여 분할(partition)[1]이 되기 때문에 어떤 삼각형을 만들어도 그 삼각형에는 이름이 붙으므로 이런 생각을 할 여지조차도 원래는 없다. 예를 들어 각의 측면에서는 예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형의 집합이 그러하며, 변의 측면에서는 부등변삼각형, 이등변삼각형, 정삼각형의 집합이 그러하다. 다시 말해서 모든 삼각형은 예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형 중 하나이며, 부등변삼각형, 이등변삼각형, 정삼각형 중 하나인 것이다.
그렇게 한 학자의 뻘짓으로 묻히는 듯했던 이 삼각형이 현재까지도 회자되는 이유는 오히려 수학교육학에 있다. 이 삼각형은 45도-60도-75도라는 작도하기 쉬운 각도로 구성되어 있을 뿐만 아니라, 부등변삼각형이기 때문에 이등변삼각형이나 직각삼각형처럼 특정한 대칭성이나 구조적 제약에서 자유롭다. 이러한 일반성 덕분에, 다양한 삼각형의 성질을 지도할 때 편향 없이 활용할 수 있는 장점이 있다. 무엇보다도, 삼각형의 오심 중 방심을 제외한 외심, 내심, 무게중심, 수심이 서로 적절한 위치에 분포해 있다는 것이다.[2] 따라서 이 삼각형은 교육학적으로도 직관적인 시각 자료로 활용하기에 매우 적절한 형태라고 할 수 있다. 그래서 그가 고안한 이 삼각형은 그 평범함을 널리 인정받아 여러 교육 현장에서 삼각형의 일반적인 성질을 그림으로 설명할 때 사용되는 표준 도식으로 자리잡게 되었다.
즉, 이 삼각형에 다름아닌 '평범한 삼각형'이라는 이름이자 특징이 생겼으므로 이름과 달리 결국 평범한 삼각형이 아니게 되었다는 것이다. 그렇다면 도대체 '평범하다', '비범하다', '특이하다'의 의미란 무엇인가? 이는 베켄바흐의 역설에서 제기되는 언어철학적 문제와도 맞닿아 있다.
3. 관련 문서
[1] 집합 [math(S)]에 대하여 [math(\displaystyle\bigcup_{i=1}^nS_i=S)]이고 모든 [math(i\neq j)]에 대하여 [math(S_i\cap S_j=\emptyset)]이면 이 [math(S_i)]들을 집합 [math(S)]의 분할이라고 한다. 아주 직관적으로 말하면 어떤 집합을 여러 조각으로 나누어 놓았을 때 각 조각들이 분할인 것이다.[2] 이는 상술했듯 이 삼각형이 예각삼각형인 것도 관련이 있는데, 만약 둔각삼각형이었다면 외심이나 수심이 삼각형의 외부에 위치하게 되어 학습자에게 비직관적으로 다가갈 수 있다.
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