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1. 정의
正三角形 / equilateral triangle, regular triangle, 2-simplex세 변의 길이가 같은 삼각형. 혹은 세 각이 같은 삼각형으로 정의해도 된다. 삼각형의 내각의 합은 [math(180\degree)]이므로 정삼각형의 한 각은 [math(60\degree)]이다.
2. 성질
- 세 각의 크기가 같음
- 유일하게 내심, 외심, 수심, 무게중심이 같은 삼각형
- 모든 정삼각형은 서로 [math(\rm AA)] 닮음
- 쌍대는 닮음 관계의 자기 자신
- 슐레플리 기호는 [math(\{3\})]
- 축퇴되지 않는 최소의 단체
- 한 점을 공유하도록 6개의 합동인 정삼각형을 붙이면 정삼각형 1개와 변의 길이가 같은 정육각형이 됨
3. 다른 삼각형과의 관계
정삼각형은 세 변과 세 각이 모두 같으므로 이등변삼각형이다. 또한 모든 각이 [math(60\degree)]로 예각이므로 예각삼각형이다. 따라서 정삼각형은 예각이등변삼각형이다.유클리드 공간, 쌍곡 공간에서는 모든 각이 예각이지만, 타원 공간이나 구면 공간[1]에서는 직각이나 둔각을 가질 수 있다.
정삼각형의 각 각에서 한 점에서 만날 때까지 각의 이등분선을 그으면 각 각이 [math(30\degree)], [math(30\degree)], [math(120\degree)]이고 합동인 둔각삼각형이자 이등변삼각형 세 개로 분할된다. 그리고 이 교점이 외심이자 수심, 내심, 무게중심이다.
4. 복소평면
1의 세제곱근을 복소평면에 점으로 나타낸 뒤 이으면 한 변의 길이가 [math(\sqrt 3)]인 정삼각형이 된다.5. 프랙털 이론
시어핀스키 삼각형과 코흐 곡선은 정삼각형에서 출발하는 프랙털 도형이다.6. 공식
정삼각형의 한 변의 길이를 [math(a)]라 하면 다음이 성립한다.- 높이: [math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)]
- 넓이: [math(\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2})]
- 외접원의 반지름: [math(\dfrac{\sqrt{3}}{3}a)]
- 내접원의 반지름: [math(\dfrac{\sqrt{3}}{6}a)]
- 둘레: [math(3a)]
[1] 모든 방향으로 일정한 타원 공간이기도 하다.