1. 개요
Schläfli 記號, Schläfli symbol정다면체나 테셀레이션(또는 타일링)을 쉽게 표기하기 위해 개발된 기호 체계로, 19세기 기하학에 공헌한 수학자 루드비히 슐레플리(Ludwig Schläfli, 1814 ~ 1895)의 이름을 땄다.
2. 체계
슐레플리 기호는 재귀적 기호 체계로, 가장 간단한 정다각형에 해당하는 기호부터 정의하여 여기에서 파생된 다른 평면, 입체, 초입체 도형을 논리적으로 표기한다.슐레플리 기호 체계는 가장 기본적인 정다포체 표기법과 도형을 변형시키는 몇 종류의 연산자(단항 및 이항 연산자)로 구성된다.
슐레플리 기호는 간단하지만, 도형에 대한 많은 정보를 말해준다.
- 면과 꼭짓점의 형태: 정다면체를 이루는 면과 꼭짓점의 형태를 한 눈에 알 수 있다. 다른 연산자를 적용해 변형된 다면체를 만들어도, 규칙만 알면 변형된 다면체의 면 구성을 알 수 있다.[1]
- 쌍대: {p,q} ↔ {q,p}와 같이, 순서를 거꾸로 뒤집으면 쌍대(dual) 도형이 된다. 때문에 어떤 도형이 어떤 도형의 쌍대인지 한 눈에 알기 편하다.
3. 기초
3.1. 정다포체
3.1.1. 0~1차원: 점과 선분
0차원 도형인 점과 1차원인 선분은 아래와 같이 표기한다.| 도형 | 기호 |
| 점 | () |
| 선분 | {} |
3.1.2. 2차원: 정다각형(볼록 정다각형)
일반적으로 '정다각형'이라고 불리는 볼록 정다각형을 표현할 때, {3}, {5}와 같이 중괄호 안에 꼭짓점의 숫자를 적어 표기한다.| 도형 | 기호 |
| 정삼각형 | {3} |
| 정사각형 | {4} |
| 정오각형 | {5} |
| ⋮ | ⋮ |
| 정p각형 | {p} |
정다각형의 표기는 다른 도형들을 표현하기 위한 기본이 된다.
3.1.3. 3차원 정다면체와 테셀레이션
정다면체와 테셀레이션은 {p,q}와 같이 표기하는데, 한 꼭짓점에 q개의 {p}가 모여 만들어진 도형이라는 뜻이다.예를 들어, {5,3}은 정오각형 3개가 한 꼭지점에 모여 만들어진 도형을 의미하며, 이것은 정십이면체를 의미한다.
- 3차원 정다면체/ 테셀레이션
종류 기호 도형 정다면체 {3,3} 정사면체 {3,4} 정팔면체 {3,5} 정이십면체 {4,3} 정육면체 {5,3} 정십이면체 정규
테셀레이션{3,6} 정삼각형 테셀레이션 {4,4} 정사각형 테셀레이션 {6,3} 정육각형 테셀레이션
3.2. 연산자
3.2.1. 아르키메데스 다면체와 테셀레이션
13가지 아르키메데스 다면체는 모두 정다면체를 변형해 만들 수 있다. 다음의 3가지 기호(단항 연산자)를 조합해 나타낸다.- 기호
기호 명칭 의미 꼭짓점 구성 예시(정육면체 변형) t 깎기(truncation) 다면체를 깎는다. 2p.2p.q tr{4,3} = 깎은 정육면체 r 절반 깎기(rectification) 다면체를 모서리의 중심까지 깎는다. p.q.p.q r{4,3} = 육팔면체 s 다듬기 (snub) 다면체의 모서리들을 모두 쐐기꼴로 대체한다. p.3.3.q.3[2] sr{4,3} = 다듬은 육팔면체
- 아르키메데스 다면체
종류 기호 도형 정사면체
대칭[3]t{3,3} 깎은 정사면체 정팔면체
대칭t{3,4} 깎은 정팔면체 t{4,3} 깎은 정육면체 r{4,3} 육팔면체 rr{4,3} 마름모육팔면체 tr{4,3} 깎은 육팔면체 sr{4,3} 다듬은 육팔면체 정이십면체
대칭t{3,5} 깎은 정이십면체 t{5,3} 깎은 정십이면체 r{5,3} 십이이십면체 rr{5,3} 마름모십이이십면체 tr{5,3} 깎은 십이이십면체 sr{5,3} 다듬은 십이이십면체
- 아르키메데스 테셀레이션
종류 기호 도형 정삼각 테셀레이션
대칭[4]t{6,3} 깎은 정육각형 타일링 r{6,3} 삼육각 타일링 rr{6,3} 마름모삼육각 타일링 tr{6,3} 깎은 마름모삼육각 타일링 sr{6,3} 다듬은 삼육각 타일링 정사각 테셀레이션
대칭t{4,4} 깎은 정사각형 타일링 sr{4,3} 다듬은 정사각타일링
3.2.2. 각기둥, 쌍각뿔, 각뿔
아래의 3가지 기호(이항 연산자)를 이용해, 각기둥, 쌍각뿔, 각뿔도 표현할 수 있다.| 기호 | 뜻 | 예시 |
| × | 데카르트 곱 (각기둥 곱) | {3}×{} = 정삼각기둥 {5}×{} = 정오각기둥 {3}×{5} = 3-5 듀오프리즘 |
| + | 덧셈 (쌍다각뿔 곱) | {3}+{} = 정삼각쌍뿔 {5}+{} = 정오각쌍뿔 {3}+{5} = 3-5 듀오피라미드 |
| ∨ | Join operator (각뿔 곱) | {3}∨() = 정삼각뿔 {5}∨()= 정오각뿔 {3}∨{5} = 3-5 쐐기꼴[5] |
몇 가지 특수한 예시를 보이면 아래와 같다.
| 차원 | 기호 | 도형 |
| 2 | {}×{} = {}2 | 직사각형 |
| {}+{} = 2{} | 마름모 | |
| {}∨() | 이등변삼각형 | |
| 3 | {}×{}×{} = {}3 | 직육면체 |
| {n}×{} | 정n각기둥 | |
| {}+{}+{} = 3{} | 마름모 쌍뿔 | |
| {n}+{} | 정n각쌍뿔 | |
| {}∨{} | 쐐기꼴 사면체 |
4. 확장
슐레플리 기호의 사용은 단지 볼록한 유클리드 다면체에만 국한되지 않는다. 슐레플리 기호의 개념을 확장시켜 적용하면 더 나아가 오목 정다포체는 물론, 비유클리드 도형 등 다양한 도형도 표기할 수 있다.4.1. 정다포체
4.1.1. 2차원: 정다각형
정다각형의 한 내각의 크기는 [math(\frac{p-2}{p}\times180\degree)]이다.이를 이용해 {p}를 "변의 수가 p개인 정다각형"으로 정의하지 않고, 다음과 같이 정의하자.
{p}는 한 내각의 크기가 [math(\frac{p-2}{p}\times180\degree)]인 정다각형
그러면 아래와 같이 오목 정다각형 (별)과 음의 정다각형의 표기가 가능해진다.
- 오목 정다각형: {p/q}
- 음의 정다각형: {p/p-1} (음의 정p각형), {p/p-q} (음의 오목 정다각형)
4.1.1.1. 오목 정다각형 (별 정다각형)
볼록 정n각형의 꼭짓점을 m-1개 [math(\left(1 < m < n/2\right))]건너뛰어 연결하면 별 모양이 만들어진다. 이 때, 한 내각의 크기는 다음과 같다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{n-2}{n}\times180\degree\times\frac{n-2m}{n-2} &= \frac{n-2m-2}{n}\times180\degree \\ &= \frac{\left(n/m\right)-2}{\left(n/m\right)}\times180\degree \end{aligned})]
따라서 이러한 정n각별을 {n/m}와 같이 표기할 수 있다. 분자 n은 꼭짓점의 수와 같으며, 분모 m은 (건너뛰어진 횟수+1)이다.
4.1.1.2. 음의 정다각형
한 각이 [math(-\theta)]인 음의 [math(n)]각형을 {k}로 표현해보자. (단, [math(n, k)]는 양의 유리수)
[math(\theta=\displaystyle180\degree\times\frac{n-2}{n},\quad\displaystyle180\degree\times\frac{k-2}{k}=-\theta)]
이므로,
[math(\displaystyle180\degree\times\frac{k-2}{k}=-180\degree\times\frac{n-2}{n})]
에서
[math(\displaystyle k=\frac{n}{n-1})]가 된다. (n이 정수가 아닌 유리수여도 성립한다.)
따라서 음의 정n각형은 {n/n-1}각형으로 표현할 수 있다.
[math(\theta=\displaystyle180\degree\times\frac{n-2}{n},\quad\displaystyle180\degree\times\frac{k-2}{k}=-\theta)]
이므로,
[math(\displaystyle180\degree\times\frac{k-2}{k}=-180\degree\times\frac{n-2}{n})]
에서
[math(\displaystyle k=\frac{n}{n-1})]가 된다. (n이 정수가 아닌 유리수여도 성립한다.)
따라서 음의 정n각형은 {n/n-1}각형으로 표현할 수 있다.
정다각형을 이어 붙여 다면체를 만들 때, 일부 정다각형을 뒤로 꺾어 접어 만들 수도 있다. 이 때 음의 정다각형을 도입하면 꼭지점 형태를 매우 간단하게 표현할 수 있다.
예를 들어 위와 같은 도형(사면반육면체)에서 한 꼭지점에 정삼각형-정사각형-음의 정삼각형-정사각형 순서로 배열되어 있다고 표현하면 자연스럽게 설명이 된다.
, 한 각이 -60º인 음의 정삼각형의 경우 {3/2}가 되고, 위의 사면반육면체의 꼭지점 형태는 3.4.3/2.4로 표현할 수 있다.
슐레플리 기호가 {5/2}인 정오각별과 같이 n이 정수가 아닌 유리수일 경우, [math(\displaystyle n=\frac{p}{q})]라고 하면
[math(\displaystyle k=\frac{p/q}{p/q-1}=\frac{p}{p-q})]가 되어
음의 정오각별은 {5/3}으로 표현된다. 즉, 분모를 (분자-분모)로 바꿔주기만 하면 된다.
4.1.2. 그 이외의 정다각형
{4/5}, {2/3}, {-1/2}같은 것들이 있다. 이들은 볼록 정다각형, 오목 정다각형, 음의 정다각형 중 어디에도 속하지 않는다.4.2. 3차원: 정다면체
4.2.1. Rank-3 오목 정다면체
기초 파트에서 볼록 정다면체와 테셀레이션에 대해 다우며 {p,q}는 "정p각형이 q개 모인 도형"이라고 정의했다. 또한 정다각형의 재정의에 따라, {5/2}는 정오각별을 의미한다.그렇다면 {5/2,5}는 "정오각별이 한 꼭짓점에서 5개 모여 만들어지는 도형"을 의미함을 직관적으로 알 수 있다. 이에 따라 오목 정다면체 중 두 케플러 다면체는 각각 {5/2,5}(작은 별모양 십이면체), {5/2,3}(큰 별모양 십이면체)와 같이 표기된다.
그런데, 오목 정다면체의 다른 종류이자 케플러 다면체의 쌍대인 '푸앵소 다면체\'에 대해서는 이러한 정의를 쓸 수가 없다. 만약 오목 정다면체도 슐레플리 기호의 쌍대 규칙을 따른다면, 작은 별모양 십이면체의 쌍대인 큰 십이면체는 {5,5/2}와 같이 쓸 수 있을 것이다.
그런데 "꼭짓점에서 분수 번 만난다"라는 것은 직관적으로 말이 되지 않는다. 따라서 슐레플리 기호 {p,q}의 의미를 다음과 같이 재정의하도록 한다.
{p,q}는 {p}가 한 꼭짓점에서 {q}의 꼭짓점 형태(vertex figure)를 이루며 만나는 도형을 의미한다.
이렇게 재정의하면 나머지 푸앵소 다면체도 깔끔하게 표기할 수 있게 된다.
- 케플러-푸앵소 다면체
종류 기호 도형 케플러 다면체 {5/2\,3} 큰 별모양 십이면체 {5/2,5} 작은 별모양 십이면체 푸앵소 다면체 {3,5/2} 큰 이십면체 {5,5/2} 큰 십이면체
4.2.2. Rank-3 비유클리드 정규 테셀레이션
구면 또는 구면 공간으로 확장하면 이각형을 사용해 무수히 많은 호조헤드론과 이면체를 만들 수 있으며, 쌍곡면, 또는 쌍곡 공간으로 개념을 확장하면 정p각형의 한 각의 크기가 [math(\frac{p-2}{p}\times 180\degree)]보다 작아지므로 {6,4}와 같이 유클리드 평면/공간에서 불가능한 정규 테셀레이션의 개념도 만들 수 있다.이를 표로 만들면 아래와 같다.
| Rank-3[6] 정규 도형 | |||||||||
| p\\q | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ⋯ | ∞ |
| 1 | - | {1,2} | - | - | - | - | - | ⋯ | - |
| 2 | {2,1} | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | ⋯ | {2,∞} |
| 3 | - | {3,2} | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | ⋯ | {3,∞} |
| 4 | - | {4,2} | {4,3} | {4,4} | {4,5} | {4,6} | {4,7} | ⋯ | {4,∞} |
| 5 | - | {5,2} | {5,3} | {5,4} | {5,5} | {5,6} | {5,7} | ⋯ | {5,∞} |
| 6 | - | {6,2} | {6,3} | {6,4} | {6,5} | {6,6} | {6,7} | ⋯ | {6,∞} |
| 7 | - | {7,2} | {7,3} | {7,4} | {7,5} | {7,6} | {7,7} | ⋯ | {7,∞} |
| ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋱ | ⋮ |
| ∞ | - | {∞,2} | {∞,3} | {∞,4} | {∞,5} | {∞,6} | {∞,7} | ⋯ | {∞,∞} |
* {p,1}, {1,q}은 p=2, q=2를 제외하면 존재하지 않음.
* ||<bgcolor=#acf,#228> {p,q} ||구면 테셀레이션만 존재||
* ||<bgcolor=#afa,#282> {p,q} ||정다면체 (또는 구면 테셀레이션)||
* ||<bgcolor=#fea,#ca0> {p,q} ||평면 테셀레이션||
* ||<bgcolor=#faa,#822> {p,q} ||쌍곡 테셀레이션||
* ||<bgcolor=#acf,#228> {p,q} ||구면 테셀레이션만 존재||
| p=2 일 때: 호조헤드론 q=2 일 때 : 이면체 [7] |
* ||<bgcolor=#fea,#ca0> {p,q} ||평면 테셀레이션||
| (p,q ≠ ∞) : 컴팩트 평면 테셀레이션 {2,∞} 또는 {∞,2} : 논컴팩트 평면 테셀레이션 |
| (p,q ≠ ∞) : 컴팩트 쌍곡 테셀레이션 {p,∞} 또는 {∞,q} : 파라컴팩트 쌍곡 테셀레이션 |
4.2.3. 추상적 오목 테셀레이션
m이 3 이상의 자연수일 때, {n/m,n}, {n,n/m}, {n/m,3}, {3,n/m}이나 p가 4 이상의 자연수일 때, {n/2,p}, {p,n/2}, {n/m,p}, {p,n/m} 계열은 쌍곡의 각도가 나오더라도 추상적인지라, 선을 그을 때 무한히 겹치지 않고 만들 수 없다. 그래서 {10/3,10}, {9/2,4}, {11/2,4}, {11/3,11}, {11/4,11}, {13/3,13}, {19/3,3}, {20/3,3}, {25/4,3} 등등이나 이들의 쌍대들도 역시 만들어질 수 없다. 심지어 {5/2,11}, {7/2,5}, {7/3,15}, {8/3,9}, {9/2,4}, {9/4,19}, {10/3,6} 등등과 같은 계열이나 이들의 쌍대에 해당하는 도형 처럼 한 꼭짓점에서의 이포각의 합이 360°를 초과하더라도 만들 수 없어 추상적인 쌍곡이 무수히 많이 존재한다. 물론 {5/2,5/2}, {5/2,4}, {5/2,6}, {5/2,7}, {7/2,3}, {7/2,5/2}, {7/2,7/2}, {7/2,4}, {7/3,7/3}, {7/3,7/2} {7/3,3}, {7/3,4}, {7/3,5}, {8/3,5/2}, {8/3,7/2}, {8/3,7/3}, {8/3,8/3}, {8/3,4}, {8/3,5}, {9/2,5/2}, {9/2,7/2}, {9/2,7/3}, {9/2,8/3} {9/2,3}, {9/4,5/2}, {9/4,7/2}, {9/4,7/3}, {9/4,8/3}, {9/4,9/2}, {9/4,9/4}, {9/4,4}, {9/4,5}, {9/4,6}, {10/3,5/2}, {10/3,7/2}, {10/3,7/3}, {10/3,8/3}, {10/3,9/2}, {10/3,9/4}, {10/3,3}, {10/3,4} 등등과 같은 계열이나 이들의 쌍대들 같은 경우는 모든 내각의 합이 360°보다 작아서 쌍곡 벌집을 만들 수는 없다. 그리고 {5/2,10}, {7/2,14/3}, {7/3,14}, {8/3,8}, {9/2,18/5}, {9/4,18}, {10/3,5}, {11/2,22/7}, {11/3,22/5}, {11/4,22/3}, {11/5,22}, {12/5,12} 등등의 계열 및 이들의 쌍대들과 같이 {m/n,p/q}에서 (m/n-2)ㆍ(p/q-2)=4가 되는 계열들은 오목 유클리드 벌집이 되지만, 이들은 전부 만들 수 없게 된다. 따라서 실제로 가능한 유클리드 벌집 및 파라콤팩트는 볼록한 형태만 존재한다.
4.3. 4차원 정다포체 및 3차원 벌집[10]
{p,q,r}과 같이 나타내며, {p,q}는 해당 도형을 이루고 있는 정다면체를 의미하며, r은 한 모서리에 정다면체가 몇 개 모였는지를 의미한다. 동시에 {q,r}은 이 정다포체/벌집 꼭지점의 단면 형태를 나타낸다.4차원 공간에서는 단 하나의 정규 벌집{4,3,4}만 존재하며 3차원 공간을 꽉 채운다.
6개의 볼록 정다포체와 10개의 오목 정다포체가 존재한다.
- 4차원 볼록 정다포체
- 4차원 오목 정다포체
- {5/2,3,3} (큰 거대 별모양 백이십포체, Great Grand Stellated 120-cell)
- {5/2,3,5} (큰 별모양 백이십포체, Great Stellated 120-cell)
- {5/2,5,5/2} (거대 별모양 백이십포체, Grand Stellated 120-cell)
- {5/2,5,3} (작은 별모양 백이십포체, Small Stellated 120-cell)
- {3,5/2,5} (큰 이십면체 백이십포체, Great Icosahedral 600-cell)
- {3,3,5/2} (거대 육백포체, Grand 600-cell)
- {3,5,5/2} (정이십면체 백이십포체, Icosahedral 120-cell)
- {5,5/2,3} (큰 거대 백이십포체, Great Grand 120-cell)
- {5,5/2,5} (큰 백이십포체, Great 120-cell)
- {5,3,5/2} (거대 백이십포체, Grand 120-cell)
- 4차원 정규 벌집
- {4,3,4} 정육면체 벌집
테셀레이션과 마찬가지로, 비유클리드 초공간으로 개념을 확장하면 {5,3,4}, {3,5,3}와 같이 유클리드 초공간에서 불가능한 정다포체/정규 벌집도 가능하다. 다만 {6,3,3}, {3,6,3}, {4,4,3}, {4,4,4} 등과 그것들의 쌍대인 파라콤팩트나 {5,4,3}, {4,5,3}, {3,4,5}, {3,5,4} 등과 그것들의 쌍대인 논콤팩트는 n-1차원의 도형이나 꼭짓점을 끝까지 그릴 수가 없기에 푸앵카레 원반에서도 제대로 나타낼 수 없어진다. 특히 n-1차원 도형 혹은 꼭짓점도 파라콤팩트이거나 논콤팩트인 경우 유클리드 공간에서는 아예 만들 수가 없다.
4.4. 5차원 정다포체 및 4차원 벌집
{p,q,r,s}과 같이 나타낸다.- 5차원 공간에서는 3개의 정규 벌집{4,3,3,4}, {3,4,3,3}, {3,3,4,3}이 존재하며 4차원 공간을 꽉 채운다.[11]
- 5차원 이상에서는 오직 3가지의 정다포체만이 존재한다.
- 5차원 볼록 정다포체
- 5차원 정규 벌집
- {4,3,3,4} 정팔포체 벌집
- {3,4,3,3} 정이십사포체 벌집
- {3,3,4,3} 정십육포체 벌집
- 5차원 오목 쌍곡 벌집
- {5/2,5,3,3}
- {3,3,5,5/2}
- {5,5/2,5,3}
- {3,5,5/2,5}
4.5. 6차원 이상의 정다포체 및 하위 차원 벌집
{p,q,r,s,t,...}과 같이 나타낸다.- n (n ≥ 6)차원 볼록 정다포체
- {3,3,...,3,3} (n-단체)[12]
- {4,3,...,3,3} (n-초입방체)
- {3,3,...,3,4} (n-정축체)
- n - 1차원 정규 벌집
- {4,3,...,3,4} n - 1 입방체 벌집
5. 관련 문서
[1] 예를 들어, tr 연산자를 아무 {p,q}에 적용하면 꼭짓점 구성은 [math(2p.2q.4)]가 된다는 것을 안다면, 깎은 십이이십면체 (tr{5,3})의 꼭짓점 구성이 10.6.4라는 것을 금방 알 수 있다.[2] 일반적으로 카이랄이다.[3] r{3,3} = 3.3.3.3 = {3,4} (정팔면체) 이므로, t{3,3}을 제외하면 결국 또다른 아르키메데스 다면체와 같게 된다.[4] 깎은 정삼각형 타일링은 t{3,3} = 6.6.6 = {6,3}으로, 정육각형 테셀레이션과 같다.[5] 5차원 도형이며, [(정오각뿔)의 각뿔\]의 각뿔이기도 하다.[6] 3차원이라고 적지 않는 이유는, 테셀레이션들은 평면 또는 구면, 쌍곡면으로 축퇴되어 2차원으로 구현할 수 있기 때문이다.[7] {2,2}는 이각이면체이자 이각호조헤드론인 자기쌍대 도형으로, 유일하게 이면체이면서 호조헤드론인 도형이다.[8] n=5일 경우 접혀져 큰 십이면체가 된다.[9] n=5일 경우 접혀져 작은 별모양 십이면체가 된다.[10] 벌집(honeycomb) : 공간, 또는 초공간을 다포체를 사용하여 빈틈 없이 채운 것. 말 그대로 벌집이라는 뜻이다.[11] 6차원 이상은 무조건 1개의 벌집만이 존재하며 n-1차원을 덮는다.[12] ... 부분에는 차원에 맞는 개수의 3이 들어간다. 예시: 6-초입방체 = {4,3,3,3,3}, 7-정축체 = {3,3,3,3,3,4}[13] 깎기, 절반깎기, 부풀리기, 부풀려 깎기, 다듬기가 있으며, 절반깍기를 이용해서 만든 정다면체는 서로 쌍대 관계인 두 다면체의 면을 한 쌍 합쳐놓은 꼴이며, 이를 또 절반깍기할 경우에는 부풀리기가 되는 것이다. 뿐만 아니라 이는 쌍곡 벌집이나 4차원 이상의 정다포체, 유클리드 벌집, 쌍곡 벌집, 심지어는 오목 다포체나 벌집(가능한 것, 불가능 한 것 모두 해당)에도 그대로 적용할 수 있다.