1. 개요
대수다양체(代數多樣體)는 부분적으로 다항식의 해집합으로 나타나는 공간을 뜻한다.잘 알려진 예로는 [math(x+2y=1)]를 풀면 나오는 직선, [math(x^2 + y^2=1)]를 풀면 나오는 원, [math(x^2+2y^2=1)]를 풀면 나오는 타원, [math(x^2+y^2+z^2=1)]를 풀면 나오는 구면 등이 있다.
2. 정의
대수기하학에서 가장 많이 연구의 대상이 되는 것은 대수적 다양체이다. 간단하게 정의하자면, 먼저 [math(k)]를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 [math(S)]를 [math(k\left[x_1,\cdots,x_n\right])]의 부분집합이라 하자. 그러면[math( Z\left(S\right)=\left\{\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in k^n|f\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }f\in S\right\})]
꼴의 모든 집합을 대수적 집합(algebraic set)이라고 하고 이런 꼴의 집합들을 닫힌 집합(closed set)으로 할때의 위상을 자리스키 위상(Zarisky Topology)라고 한다. 이는 아주 잘 정의된다. 그리고 이렇게 위상을 준대수적 집합이 기약[1]이라면 이 대수적 집합을 대수적 다양체(algebraic variety)라고 부른다.[2] 이렇게 정의하는 이유는 이를 환에 대응시킬 때 너무 편하기 때문이다. 다시 말하자면, 어떤 대수적 집합 [math(X)]이 있을 때
[math( I\left(X\right)=\left\{f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]|f\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in X\right\})]
라고 정의하자. 그렇다면,
[math( I\left(Z\left(S\right)\right)=\sqrt{\overline{S}})]
라는 게 알려져 있다.[3]여기에서 [math(\overline{S})]는 [math(S)]로 생성되는 [math(k\left[x_1,\cdots,x_n\right])]의 아이디얼이고, [math(\sqrt{})]는 거듭제곱근(radical)이라고 해서 [math( I )]가 [math(k\left[x_1,\cdots,x_n\right])]의 아이디얼이라면
[math(\sqrt{I}=\left\{f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]|f^n\in I \text{ for some }n\right\} )]
으로 정의한다. 그리고 [math(Z\left(S\right))]가 대수적 다양체라는 것은 [math(\overline{S})]가 소 아이디얼이란 것과 동치다. [math(k\left[x_1,\cdots,x_n\right])]의 소 아이디얼 [math(P)]에 대해서 다음이 성립한다.
[math( I\left(Z\left(P\right)\right)=P)]
그렇기 때문에 대수기하학의 대부분은 먼저 기약일 때만 다룬 뒤에 그 다음으로 기약이 아닌 것들은 기약인 것들로 나눈 뒤에 다루는 것이 일반적이다.[4]
그렇다면, 어떤 대수 다양체가 있을때 그것의 성질은 어떻게 알아내야 하는 걸까? 그 대수 다양체가 소 아이디얼 [math(P)]로 표현된다면
[math( \Gamma\left(Z\left(X\right)\right)=k\left[x_1,\cdots,x_n\right]/P)]
를 생각해보자. 이는 정확히 원래 대수 다양체 [math( Z\left(P\right))]와 일대일 대응을 이룬다. 이것의 의미는 [math(f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]/P)]이고 [math(\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in Z\left(P\right))]일 때 [math( f\left(a_1,\cdots,a_n\right))]이 정확히 하나로 정의된다는 것에 있다. 그러니까 [math(X)]에서 [math(k)]로 가는 적당한 함수들을 모아놨다는 의미가 된다. 덤으로 그 대수 다양체의 닫힌 부분집합은 [math(\Gamma\left(Z\left(P\right)\right))]의 소 아이디얼에 해당되고 지점은 극대 아이디얼에 해당된다. 그리고 [math(U)]가 [math(Z\left(P\right))]의 열린 집합일 때 다음을 정의할 수 있다.
[math( O_{Z\left(P\right)}\left(U\right)=\left\{\frac{f}{g}|f,g\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]\text{ and }g\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in U\right\})]
그리고 모든 [math(U)]에 대해서 이런 꼴들의 환들을 모아놓은 것을 [math(Z\left(P\right))]의 구조 층(structure sheaf)이라고 한다.
3. 관련 연구와 응용
대수 다양체의 성질을 연구하는 분야가 대수기하학이다. 대수 기하학은 대수학, 기하학, 해석학, 위상수학, 정수론(대수적 정수론, 해석적 정수론),미분기하학, 심지어 논리학이나 이산수학 등 수학 전 분야에 폭넓게 응용된다.3.1. 스킴
3.2. 에탈 코호몰로지
에탈 코호몰로지(etale cohomology)란 베유 추측을 풀기 위해 개발된 대수 기하학의 개념으로 간단히 말해서 실수체가 아닌 임의의 체에서 코호몰로지를 정의한 것이다. 축약해서 설명한 것이므로 자세한 내용은 에탈 코호몰로지 문서 참조4. 기타 이야깃거리
5. 관련 문서
[1] 위상공간 [math( X )]에 대해서 어떤 두 닫힌 집합 [math(Z_1,Z_2)]가 있어서 [math(Z_1\cap Z_2=\varnothing)]이고 [math(X=Z_1\cup Z_2)]라면 [math(Z_1,Z_2)] 둘 중 하나는 공집합이다.[2] 수학적으로 variety와 manfold는 다른 개념이다. Manfold란 일반적인 기하학에서의 도형 같은 개념이고 variety는 대수 기하학에서 쓰이는 기하학적인 내용이다. 따라서 variety와 manfold는 완전히 다른 개념이다! 그런데 수학 서적이나 단어들이 한국어로 번역될 때 variety와 manfold 가 죄다 다양체로 번역돼서(...) 헷갈릴 수 있다.[3] 이를 힐베르트 영점 정리(Hilbert Nullstellensatz)라고 부른다. 독일어 명칭이 통용된다.[4] 이것은 중요한데, 기약이 아니라면 그 경우 각각의 닫힌 집합들은 성질이 판이하게 다를 수 있다.