| 절대부등식 Inequalities | ||
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| [math(\left({a_n})({b_n}\right)\ge\left({a_n}{b_n}\right))] | [math(\frac{a_n+b_n}{n}\ge\sqrt[n]{{a_n}{b_n}})] | |
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| [math(a\left(x-y\right)\left(x-z\right)+b\left(y-z\right)\left(y-x\right)+c\left(z-x\right)\left(z-y\right)\geq0)] | ||
| 합 기호는 아인슈타인 합 규약을 일부 사용해 단축하였다. | }}}}}}}}} | |
1. 개요
arithmetic mean-geometric mean inequality · 算術·幾何 平均不等式절대부등식의 하나로, 관찰값들의 산술 평균이 항상 기하 평균보다 크거나 같음을 의미한다. 산술 평균과 기하 평균이 같은 경우는 모든 실수항인 관찰값이 동일한 경우이다.
2. 선수 지식
2.1. 산술 평균
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[평균#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[평균#산술 평균|산술 평균]][[평균#|]] 부분을[math(\displaystyle \begin{aligned} m_{\sf AM}&=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} a_{n} \\ &=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{N}}{N} \end{aligned} )]
2.2. 기하 평균
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[평균#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[평균#기하 평균|기하 평균]][[평균#|]] 부분을[math(\displaystyle \begin{aligned} m_{\sf GM}&=\biggl( \prod_{n=1}^{N}a_{n} \biggr)^{1/N} \\ &=(a_{1}a_{2}\cdots a_{N})^{1/N} \end{aligned} )]
3. 정의
[math(n)]개의 음이 아닌 실수 [math(a_{1})], [math(a_{2})], [math(\cdots)], [math(a_{n})]에 대하여 다음이 성립한다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots + a_{n}}{n} \geq (a_{1}a_{2}\cdots a_{n})^{1/n} \end{aligned} )]
이때, 등호는 [math(a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n})]일 때 성립한다.
4. 분석
4.1. 관측값이 2개일 때
이 경우 산술·기하 평균 부등식은 다음과 같은 형태를 띈다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \end{aligned} )]
여기서 [math(a>0)], [math(b>0)]이며, 등호는 [math(a=b)]일 때 성립한다.
가장 유용하게 쓰는 형태는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} a+b \geq 2\sqrt{ab} \end{aligned} )]
4.1.1. 증명
4.1.1.1. 대수적 증명
우선 부등식을 증명하기 위해[math(\displaystyle \begin{aligned} a+b - 2\sqrt{ab} \end{aligned} )]
를 고려해보자.
[math(a)], [math(b)]가 양수라는 점을 착안하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} (\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2} - 2\sqrt{a}\sqrt{b}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} \geq 0 \end{aligned} )]
이므로 위 절대부등식은 성립한다.
이때, 등호는 [math(\sqrt{a}=\sqrt{b})]일 때 성립하므로 [math(a=b)]일 때 등호는 성립한다.
4.1.1.2. 기하학적 증명
원주 상에 점 [math(\rm P)]를 잡았다고 하자. 그리고, 점 [math(\rm P)]에서 선분 [math(\rm AB)]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하자. 이때, [math(\overline{\rm AH}=a)], [math(\overline{\rm BH}=b)]이다. 점 [math(\rm O)]는 선분 [math(\rm AB)]의 중점이다.
위 그림에서 [math(\rm{O})]는 선분 [math(\rm AB)]의 중점이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm OC}=\frac{a+b}{2} \end{aligned} )]
이다.
지름에 대한 원주각은 직각이므로 삼각형 [math(\rm APB)]는 직각 삼각형이다. 이제 사영 정리를 사용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\overline{\rm PH}}^{2}=ab \end{aligned} )]
가 성립한다. 이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm PH}=\sqrt{ab} \end{aligned} )]
이상에서 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab} \end{aligned} )]
[math(\rm P)]가 [math(\rm C)]에 위치한다면, [math(\overline{\rm PH}=\overline{\rm CO})]가 되고, 이때, [math(a=b)]가 된다.
이상을 종합하면 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad \end{aligned} )](단, 등호는 [math(a=b)]일 때 성립.)
4.2. 일반적인 경우
일반적인 경우는 위에서 다뤘듯, [math(n)]개의 음이 아닌 실수 [math(a_{1})], [math(a_{2})], [math(\cdots)], [math(a_{n})]에 대하여 다음이 성립한다는 것이다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots + a_{n}}{n} \geq (a_{1}a_{2}\cdots a_{n})^{1/n} \end{aligned} )]
이때, 등호는 [math(a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n})]일 때 성립한다.
4.2.1. 증명
4.2.1.1. 수학적 귀납법 사용
①[math(n=1)]일 때는 수학적으로 자명하고, [math(n=2)]일 때는 위에서 성립함을 알아내었다.
②
[math(n)]일 때 성립하면 [math(2n)]일 때 성립함을 보이자. [math(2n)]개의 양수를 [math(a_1)], [math(a_2)], [math(\cdots)], [math(a_{2n})]라 하자. 가정에 의해,
[math( \begin{aligned} m_1=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}&\geq g_1=\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{1/n} \\ m_2=\dfrac{a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2n}}{n}&\geq g_2=\left(a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\right)^{1/n} \end{aligned})]
의 두 부등식이 성립한다. 두개씩 끊어서 비교하면 쉽게 구할 수 있다. 또한, 우리는 [math(n=2)]일 때의 산술·기하 평균 부등식을 사용 가능하다.
[math(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{2n}}{2n}=\dfrac{m_1+m_2}{2}\geq\dfrac{g_1+g_2}{2}\geq\left(g_1g_2\right)^{1/2}=\left(a_1a_2\cdots a_{2n}\right)^{1/2n})]
따라서, [math(n)]일 때 성립하면 [math(2n)]일 때도 성립한다.
③
[math(n)]일 때 성립하면 [math(n-1)]일 때 성립함을 보이자. 임의의 [math(n-1)]개의 수 [math(a_1)], [math(a_2)], [math(\cdots)], [math(a_{n-1})]에 대해, [math(a_n)]을 저 [math(n-1)]개의 수의 산술평균으로 두자. 그리고 전체 [math(n)]개의 수의 산술평균을 계산하면
[math(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\,\left(=a_n\right))]
이 되어, 원래 [math(n-1)]개 수의 산술평균과 같은 값임을 알 수 있다. 또한, [math(n-1)]개 수의 기하평균을 [math(g)]로 두자.
이제 보이고자 하는 것은 [math(a_n\ge g)]인데, 가정에 의해 n개의 수에 대해 산술·기하 평균 부등식이 성립하므로
[math(a_n=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{1/n}={a_n}^{1/n}g^{(n-1)/n})]
즉 [math(a_n\ge {a_n}^{1/n}g^{(n-1)/n})]이고, [math({a_n}^{(n-1)/n}\ge g^{(n-1)/n})], [math(a_n\ge g)]이다. 따라서 [math(n)]에서 성립하면 [math(n-1)]일 때도 성립한다.
결론
①, ②, ③에 의해 모든 자연수 [math(n)]에 대해 성립한다. 왜냐하면, ②에 의해 [math(2^m)]꼴의 모든 자연수에 대해서 성립하며, ③에 의해 [math(2^m)]보다 작은 모든 자연수에 대해서 성립하게 되는데, 모든 자연수는 자신보다 큰 [math(2^m)]꼴의 자연수를 당연히 가지기 때문이다.
4.2.1.2. 자연로그의 밑을 이용한 증명
자연로그의 밑 [math(e)]를 이용한 증명도 존재한다. [math(e^{x-1}\ge x)]를 이용하는데, 이는 [math(f(x)=e^{x-1}-x)]로 놓고 [math(f'(x))]를 통하여 증명 가능하다.| {{{#!wiki style="" [math(X=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n})] | <tablealign=center>[math(\begin{aligned}e^{(a_1/X)-1}&\ge\dfrac{a_1}{X}\\e^{(a_2/X)-1}&\ge\dfrac{a_2}{X}\\ &\vdots\\e^{(a_n/X)-1}&\ge\dfrac{a_n}{X}\end{aligned})] |
[math(e^{(a_1+a_2+\cdots+a_n)/X-n}\ge\dfrac{a_1}{X}\dfrac{a_2}{X}\cdots\dfrac{a_n}{X})]
이때
[math(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{X}-n=n-n=0)]
따라서
| [math(\begin{aligned}e^0=1&\ge\dfrac{a_1a_2\cdots a_n}{X^n}\\X^n&\ge a_1a_2\cdots a_n\\ \therefore\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}&\ge\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{1/n}\end{aligned})] | }}} |
5. 주의사항
이 부등식을 이용하여 최댓값 혹은 최솟값을 구하는 경우는, 다음과 같은 경우이다.- 두 수의 합이 일정할 때, 곱의 최댓값을 구한다.
- 두 수의 곱이 일정할 때, 합의 최솟값을 구한다.
6. 기타
역사가 오랜 부등식이며, 형태도 간단한 만큼 아주 다양한 형태의 확장이 나왔다. 멱평균부등식/가중치 산술·평균부등식 등이 잘 알려져 있으며 그 하나하나가 올림피아드와 같은 경시대회에서는 반드시 알게 되어 있는 것들이다.대수적 정수론 분야에서 이름높은 수학자 Kiran Kedlaya는 졸업 논문으로 다음과 같은 재미있고 기괴한 절대부등식의 증명을 내놓았다.
[math(\dfrac{a_1+\left(a_1a_2\right)^{1/2}+\cdots+\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{1/n}}{n}\leq\left(a_1\times\dfrac{a_1+a_2}{2}\times\cdots\times\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)^{1/n})]
양변에 산술평균과 기하평균이 혼합되어 있다. 증명이 궁금한 사람은 여기로.