1. 개요
基本群 / Fundamental group기본군은 위상공간의 대수적 구조로, 공간에 존재하는 모든 회로들의 집합에 연속변형 동치류를 준 뒤 군의 구조를 부여한 것이다. 1895년 앙리 푸앵카레가 도입한 개념이기 때문에 푸앵카레 군이라고 부르기도 한다.
2. 정의
기본군을 정의하기 전에, 먼저 필요한 개념들을 정리하자. 아래에서 [math(X)]는 모두 고정된 위상공간이다.[math(X)]의 두 경로 [math(f, g: I \to X)]가 주어져 있을 때, 만일 [math(f)]의 끝점과 [math(g)]의 시작점이 일치한다면[1] 두 경로를 이어서 하나의 경로를 만들 수 있을 것이다. 이를 두 경로의 곱(product)이라고 부르며, 다음과 같이 정의한다.
[math(h(t) = \begin{cases} f(2t), & \textsf{if }0 \le t \le \dfrac 12 \\ g(2t - 1), & \textsf{if }\dfrac 12 \le t \le 1 \end{cases})]
붙임 보조정리를 사용하면 [math(h: I \to X)]가 연속인 것은 쉽게 알 수 있고, 따라서 [math(h)]도 [math(X)]의 경로가 된다. 두 경로의 곱 [math(h)]를 [math(f \cdot g)]라 표기하기도 한다.
또한 [math(x_0 \in X)]에 대하여, 항상 [math(f(t) = x_0)]인 함수를 생각할 수도 있다. 이 함수가 연속임은 자명하고, 이는 시작점과 끝점이 같으므로 회로가 된다. 이 회로 [math(f: I \to X)]에는 자명 회로(trivial loop)라는 이름이 있으며, 시작점이 [math(x_0 \in X)]인 자명 회로를 [math(c_{x_0})]라 표시하기도 한다. 마지막으로 경로 [math(f: I \to X)]가 있다고 할 때, 이 경로를 역방향으로 따라가는 것 또한 경로가 될 것이다. 이를 역경로(inverse path)라고 하며, [math(g(t) = f(1 - t))]로 정의한다. 이 [math(g: I \to X)]가 연속함수(즉, 경로)인 것은 당연하다.
이제 기본군을 정의할 준비가 다 되었다. 군에는 연산이 필요한데, 위에서 정의한 회로의 곱을 그 연산으로 하려고 한다. 그런데 단순히 두 경로의 곱을 연산으로 놓으면, 군의 구조는 커녕 항등원에 해당하는 원소도 존재하지 않음을 알 수 있다. 그래서 경로보다는 조금 더 좁은 범위인 회로로 생각을 제한하고, 거기에서도 적절한 동치관계를 부여하여야 한다. 이를 위해서는 연속변형류와 군에 관한 이해가 필요하다.
| [ 정의 ] 기본군(Fundamental group) 주어진 경로연결 위상공간 [math(X)]와 한 점 [math(x_0 \in X)]에 대하여, 시작점과 끝점이 모두 [math(x_0)]인 회로의 집합 [math(\mathcal F)]를 생각하고 여기에 연속변형 동치관계 [math(\sim)] 를 주자. 이제 상집합 [math(\mathcal F / \sim)] 에 다음과 같은 연산[math(\ \cdot \ )]을 정의할 수 있다.
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- 결합 법칙(Associativity): [math(([f] \cdot [g]) \cdot [h] = [f] \cdot ([g] \cdot [h]))]가 성립.
이를 보이기 위해서는 연속변형 [math(H: I \times I \to X)]를 다음과 같이 정의하면 충분하다. 여기서 [math(t_1, t_2)]는 각각 [math(t_1 = \dfrac 14 + \dfrac 14 t, t_2 = \dfrac 12 + \dfrac 14 t)]로 정의된 값이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(H(s, t) = \begin{cases} f \left( \dfrac s{t_1} \right), & \textsf{if }0 \le s \le t_1 \\ g \left(4 \cdot (s - t_1) \right), & \textsf{if }t_1 \le s \le t_2 \\ h \left( \dfrac {s - t_2}{1 - t_2} \right), & \textsf{if }t_2 \le s \le 1 \end{cases})]}}}
- 항등원의 존재(existence of idnetity): [math([f] \cdot [c_{x_0}] = [f] = [c_{x_0}] \cdot [f])]가 성립.
첫 번째 등식을 보이기 위해서는 연속변형 [math(H: I \times I \to X)]를 다음과 같이 정의하면 충분하다.[2] 여기서 [math(t_1)]은 [math(t_1 = \dfrac 12 - \dfrac 12 t)]로 정의된 값이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(H(s, t) = \begin{cases} x_0, & \textsf{if }0 \le s \le t_1 \\ f \left( \dfrac {s - t_1}{1 - t_1} \right), & \textsf{if }t_1 \le s \le 1 \end{cases})]}}}
- 역원의 존재(existence of inverse): [math([f] \cdot [\bar f] = [c_{x_0}] = [\bar f] \cdot [f])]가 성립.
첫 번째 등식을 보이기 위해서는 연속변형 [math(H: I \times I \to X)]를 다음과 같이 정의하면 충분하다.[3] 여기서 [math(t_1, t_2)]는 각각 [math(t_1 = \dfrac 12 - \dfrac 12 t, t_2 = \dfrac 12 + \dfrac 12 t)]로 정의된 값이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(H(s, t) = \begin{cases} x_0, & \textsf{if }0 \le s \le t_1 \\ f(s - t_1), & \textsf{if }t_1 \le s \le \dfrac 12 \\ f(t_2 - s), & \textsf{if }\dfrac 12 \le s \le t_2 \\ x_0, & \textsf{if }t_2 \le s \le 1 \end{cases})]}}}
즉, 위 사실들을 종합하면 [math(\pi_1(X, x_0))]는 해당 연산에 대한 군의 구조를 가진다.
3. 성질
기본군의 정의를 생각해 보면, 기본군은 위상공간 [math(X)]뿐만 아니라 기준점이 될 [math(x_0 \in X)]에도 의존함을 알 수 있다. 그렇기 때문에 단순히 [math(\pi_1(X))]가 아닌 [math(\pi_1(X, x_0))]의 표현을 써야 하는데, 이는 상당히 거추장스럽다. 다행스럽게도, 다음 명제에 의해 경로연결공간 한정으로 이를 무시할 수가 있다.| [ 명제 ] 주어진 경로연결 위상공간 [math(X)]와 두 점 [math(x_0, x_1 \in X)]을 생각하자. [math(X)]가 경로연결이므로, 적당한 경로 [math(h: I \to X)]에 가 존재하여 [math(h(0) = x_0)], [math(h(1) = x_1)]이 성립한다. 이제 시작점을 [math(x_1)]로 하는 회로 [math(f)]에 대해 경로의 곱 [math(h \cdot f \cdot \bar h)]를 생각할 수 있고, 이는 시작점이 [math(x_0)]인 회로가 된다. 즉, 다음과 같은 함수 [math(\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0))]를 생각할 수 있다. [math(\beta_h([f]) = [h \cdot f \cdot \bar h])] 이 때, [math(\beta_h)]는 두 기본군 [math(\pi_1(X, x_1))], [math(\pi_1(X, x_0))]사이의 동형사상이다.
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한편 회로 자체가 연속함수이므로, 연속함수와 회로의 합성을 떠올리는 것은 자연스럽다. 그런데 이 연속함수는 (그 자연스러운 합성에 의해) 기본군에 작용하는데, 다음 정의는 그 작용이 기본군 사이의 준동형사상(homomorphism)이 됨을 알려준다.
| [ 정의 ] 유도 준동형사상(Induced homomorphism) 두 위상공간 [math(X)], [math(Y)] 사이에 정의된 연속함수이면서, [math(y_0 = \varphi(x_0))]인 [math(\varphi: (X, x_0) \to (Y, y_0))]를 생각하자. 이 [math(\varphi)]로부터 기본군 사이의 준동형사상 [math(\varphi_*: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, y_0))]가 다음과 같이 자연스럽게 유도된다. [math(\varphi_*([f]) = [\varphi \circ f] = [\varphi f])] 이 [math(\varphi_*)]를 두 기본군 [math(\pi_1(X, x_0))], [math(\pi_1(Y, y_0))]사이의 유도 준동형사상(Induced homomorphism)이라고 정의한다. |
- [math(f: I \to X)]가 [math(f(0) = f(1) = x_0)]인 회로라면, [math(\varphi f: I \to Y)] 역시 회로로서 [math(\varphi f(0) = \varphi f(1) = y_0)]이 성립함은 거의 당연하다.
- [math([f] = [g])]이면 두 회로 [math(f)]와 [math(g)]사이의 연속변형 [math(H_t: I \to X)]이 존재함을 의미한다. 이 때 [math(\varphi H_t: I \to Y)]는 [math(Y)]의 두 회로 [math(\varphi f)]와 [math(\varphi g)]사이의 연속변형이므로, [math([\varphi f] = [\varphi g])].
이렇게 [math(\varphi_*)]가 잘 정의됨을 확인했고, [math(f_1, f_2: I \to X)]가 [math(X)]의 두 회로라면
[math(\begin{aligned} \varphi_*([f_1] \cdot [f_2]) & = [\varphi (f_1 \cdot f_2) ] \\ & = [\varphi f_1 \cdot \varphi f_2] \\ & = [\varphi f_1] \cdot [\varphi f_2] \\ & = \varphi_*([f_1]) \cdot \varphi_*([f_2]) \end{aligned})]
이므로 [math(\varphi_*)]가 준동형사상임을 확인할 수 있다.
[ 명제 ] [math((X, x_0) \xrightarrow{\psi} (Y, y_0) \xrightarrow{\varphi} (Z, z_0))]일 때,
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4. 기본군의 계산
4.1. 기본군이 자명군[4]인 경우
| [ 정의 ] 단순연결공간(Simply connected space) 경로연결 위상공간 [math(X)]가 [math(\pi_1(X) \cong 0)][5]을 만족할 때, [math(X)]를 단순연결공간(Simply connected space)라고 한다. |
[ 명제 ] 유클리드 공간 [math(\mathbb R^n)]에 매장(Embedding)된 볼록공간 [math(X)]와, 임의의 점 [math(x_0 \in X)]에 대하여 [math(\pi_1(X, x_0) \cong 0)]이다.
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| [ 명제 ] [math(n \geq 3)]일 때, [math(n)]차원 구 [math(S^{n - 1} = \left\{ (x_1, x_2, \cdots x_n) \in \mathbb R^n \ \biggl| \biggr. \ \displaystyle \sum _{i = 1}^n x_i ^2 = 1 \right\})] 에 대하여 [math(\pi_1(S^{n - 1}) \cong 0)]이다.
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4.2. 기본군이 자명군이 아닌 경우
| [ 명제 ] 2차원 평면 [math(\mathbb R^2)]위의 단위원 [math(S^1 = \{ (x, y) \ | \ x^2 + y^2 = 1 \})]을 생각하자. 이 때 [math(\pi_1(X, (1, 0)) \cong (\mathbb Z, +))]이며, 두 군 사이의 동형사상 [math(\phi: \pi_1(X) \to \mathbb Z)]는 다음과 같다. [math(\phi([\omega_n]) = n)] 여기서 회로 [math(\omega_n: I \to S^1)]은 [math(\omega_n(t) = (\cos 2n\pi t, \sin 2n\pi t))][7] 이다. |
5. 관련 정리들
[ 명제 ]
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| [ 명제 ] [math(\varphi: X \to Y)]가 연속변형 동치이면, 이 [math(\varphi)]로부터 유도된 준동형사상 [math(\varphi_*: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, \varphi(x_0)))]는 동형사상이다. |
5.1. 자이페르트-반 캠펀 정리
| [ 정리 ] 자이페르트-반 캠펀 정리(Seifert-van Kampen theorem) 위상공간 [math(X)]와 점 [math(x_0 \in X)]가 주어져 있고, [math(X)]의 부분공간 [math(\left\{ A_\alpha \right\}_{\alpha \in I})]들이 [math(X = \displaystyle \bigcup _{\alpha \in I} A_\alpha)]를 만족한다고 하자. 이 때, 포함함수 [math(\imath_\alpha: A_\alpha \xhookrightarrow{} X)]로부터 유도되는 준동형사상 [math(\imath_{\alpha *}: \pi_1(A_\alpha) \to \pi_1(X_\alpha))]을 생각할 수 있다. 자유군의 보편 성질에 의해, 다음을 만족하는 준동형사상 [math(\Phi: {\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha) \to \pi_1(X))]가 유일하게 존재한다. [math(\Phi([f]) = \imath_{\alpha *}([f]) \ \ \ \forall \alpha \in I, \forall [f] \in \pi_1(A_\alpha))] 이제 [math(\left\{ A_\alpha \right\}_{\alpha \in I})]가 다음 조건들을 만족한다면, 위 준동형사상 [math(\Phi)]는 전사함수이다.
추가로, 다음 조건이 주어져 있는 경우를 생각할 수 있다.
[math(\imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} \ \ \ \forall \omega \in \pi_1(A_\alpha \cap A_\beta))] 와 같은 단어(word)들로 생성되는 정규부분군이다. 즉, [math(\pi_1(X) \cong {\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha) \Bigl/ \Bigr. \left\langle \imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} \right\rangle)] 이 성립한다.(제1 동형사상 정리.) |
아래 정리들은 따름정리들이다.
[ 따름정리 ] 위상공간 [math(X)]와 점 [math(x_0 \in X)]가 주어져 있고, [math(X)]의 부분공간 [math(\left\{ A_\alpha \right\}_{\alpha \in I})]들이 다음 조건들을 만족한다고 하자.
[math(\pi_1(X) \cong {\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha))] 이 성립한다. |
| [ 따름정리 ] 경로연결공간 [math(X)]과 2-세포(2-cell) [math(e_\alpha^2 (\alpha \in I))]들이 주어져 있을 때, 이 2-세포들을 부착사상(Attaching map) [math(\varphi_\alpha: S^1 \to X)]를 이용하여 붙인 위상공간을 [math(Y)]라 하자. 이제 이 2-세포들이 붙어있는 경계 [math(\varphi_\alpha (S^1))]은 [math(X)]의 회로로 볼 수 있다. 한편 [math(X)]가 경로연결공간이므로 [math(x_0)]와 [math(\varphi_\alpha (S^1))]의 시점 [math(x_\alpha)]를 잇는 경로 [math(\gamma_\alpha)]가 존재한다. 이 때 [math(\xi_\alpha = \gamma_\alpha \cdot \varphi_\alpha (S^1) \cdot \bar \gamma_\alpha)]는 시작점이 [math(x_0)]인 [math(X)]의 회로이다. 여기서, 기본군 [math(\pi_1(Y))]와 [math(\pi_1(X))] 사이에 [math(\pi_1(Y, x_0) \cong \pi_1(X, x_0) \bigl/ \bigr. \left\langle \xi_\alpha \ \rvert \ \alpha \in I \right\rangle)] 가 성립한다. |
| [ 따름정리 ] 위 따름정리에서 2-세포 대신 [math(n \geq 3)]인 [math(n)]-세포 [math(e_\alpha^n)]들을 붙였다면, [math(\pi_1(Y, x_0) \cong \pi_1(X, x_0))]이다. |
[1] 즉, [math(f(1) = g(0))]인 경우[2] 두 번째 등식도 비슷한 방법으로 증명 가능.[3] 두 번째 등식도 비슷한 방법으로 증명 가능.[4] 원소가 항등원 단 하나인 군.[5] 즉, 자명군과 동형일 때[6] [math(\delta > 0)]은 충분히 작게 잡아줘야 한다.[7] 단위원 [math(S^1)]을 시계방향으로 [math(n)]바퀴 따라 돌아가는 회로.