- 반대 문서: 오목
1. 일반적인 의미
凸[1]어떤 물체의 일부분이 튀어나왔거나 도드라져 있는 상태를 일컫는 말이다. 오목의 반대말이다.
한국어를 배우는 영국인들은 이 단어를 배우면 피식 웃기도 한다. 왜냐하면 영국 한정 표현으로 고환을 상스럽게 부르는 단어 bollock 처럼 들리기 때문이다.
2. 수학적인 의미
2.1. 볼록함수
2.2. 볼록다각형
우리가 보통 보게 되고, 또 다각형을 떠올려 보라 했을 때 떠오르는 대부분의 다각형들은 이 경우에 속한다.위의 정의에 다각형이 부합하지 않는
오목삼각형은 유클리드 공간에서는 존재할 수 없고, 오직 타원 공간에서만 존재한다.
볼록집합인 다각형은 내각이 180도를 넘지 않는다. 180도를 넘는 내각이 있다고 가정하면 각의 두 변 위의 어떤 두 점을 이은 선분은 다각형의 외부로 나가기 때문이다.
어떤 변을 연장해도 그 다각형의 내부를 지나지 않는 다각형은 내각이 180도 미만이다. 180도 초과라고 가정하면 그 각의 변을 연장한 직선이 다각형의 내부를 뚫기 때문이다.
2.3. 볼록집합
어떤 집합의 임의의 두 점을 연결한 선분이 언제나 이 집합 안에 속할 때, 이 집합을 볼록집합(convex set)이라 한다. 즉, 집합 [math(A)]가 다음의 성질을 만족하면 볼록집합이라 부른다:임의의 [math(x, y \in A)]와 [math(t \in [0, 1])]에 대해, [math(tx + (1-t)y \in A)].
유클리드 공간 [math(\mathbb{R}^n)]에서 예 또는 성질을 들자면,
- 공집합, 점, 공간 [math(\mathbb{R}^n)] 전체는 볼록집합이다.
- 임의의 초구는 볼록집합이다.
- 2차원 유클리드 공간에서 凸의 안쪽을 칠한 도형을 생각하면, 이는 볼록집합이 아니다.
- 임의의 초평면(hyperplane)은 볼록집합이다.
- 볼록집합들의 교집합은 볼록집합이다.
- 볼록집합들의 합집합은 볼록집합이라는 보장이 없다.
마지막 두 성질을 합치면, 임의의 초평면들을 교집합한 것은 볼록집합이라는 것을 알 수 있다. 즉 이로부터 원, 직선, 사분면 등등이 볼록집합임을 추론할 수 있다. 역으로 임의의 (닫힌) 볼록집합은 (닫힌) 초평면들의 교집합으로 나타낼 수 있음이 알려져있다.
볼록집합은 볼록함수와 밀접히 연결되어있다. 볼록함수의 그래프 윗부분(epigraph)은 볼록집합이 된다. 역으로 어떤 함수의 그래프 윗부분이 볼록집합이라면, 그 함수는 볼록함수다. 학자에 따라서는 아예 후자를 볼록함수의 정의로 삼기도 한다.[2] 이 관계를 이용해 볼록함수나 볼록집합의 여러 성질들을 더 쉽게 유도할 수도 있다.