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1. 개요
"전체는 부분보다 크다"라는 명제가 있다. 만일 존재가 전체와 부분으로 나뉠 수 있다면 이 명제는 증명될 필요가 없으나 공리는 실제와 크기를 끊임 없이 무시한다.
-게오르크 칸토어
集合 / set-게오르크 칸토어
수학에서 집합은 일정한 규칙을 따라 모여진 여러 수학적 대상의 잘 정의된 모임(collection)[1]을 말한다.
이러한 대상을 해당 집합의 원소(element)라고 하며, 수, 함수, 도형, 수열, 관계, 행렬, 순서, 색깔, 매듭, 언어, 계산 등 대부분의 수학적 객체나 개념이 원소가 될 수 있다. 반대로, 이러한 대부분의 수학적 대상들을 집합을 통하여 구성(construct)해 낼 수도 있다.
이렇게 많은 수학적 대상이 집합의 언어로 기술되고 잘 정의될 수 있으며, 이러한 원리를 탐구하는 분야로 집합론이 있다. 20세기 초 이후 ZFC 공리계와 같이 집합에 대한 엄밀한 공리화 시도를 통해 쌓아진 수학기초론은 현재 대부분 현대수학의 토대가 되었으며, 이 때문에 수학의 다양한 분야에서 집합을 마주할 수 있다.
2. 상세
수학적인 의미로 집합을 정의한다는 건 사실상 불가능한 일이다. 때문에 집합론에서는 '집합'을 단지 '특정 조건을 만족시키는 대상의 모임' 정도로 뜻풀이를 할 뿐인데, 그럼 '모임'은 뭐냐는 반문에 어차피 답할 수가 없다. 즉, 직관적으로 받아들이고 시작하는 무정의 용어(無定義 用語)이다. 무언가를 정의하기 위해서는 이미 정의되어 있는 개념이거나 정의하지 않고 사용하는 개념인 것이 미리 있어야 하는데, 수학에서 그러한 '바탕'으로 대표적으로 이용되는 것이 집합이다. 이런 맥락에서 현대 수학의 거의 모든 분야는 집합이란 개념을 통하여 발전하였다. 이 때문에 집합이란 개념의 이용은 현대 수학을 이해하는 데 가장 기초적으로 필요한 소양이다. 과거 중고등학교 수학의 첫 단원이 집합이었던 것도 이러한 맥락에서이다. 중학교에서는 2007 개정 교육과정까지 있었으며[2], 6차 교육과정 이전엔 초등학교에 있었던 내용이기도 하다. 그나마 5차 교육과정 ~ 6차 교육과정 시기에는 5학년부터, 4차 교육과정 시기에는 4학년부터 배웠지만 3차 교육과정 시기에는 국민학교 1학년부터 배웠다.그런데 이런 집합이라는 개념을 수학적으로 엄밀하게 구성하는 것은 생각보다 쉽지 않다. 국립국어원의 설명은 직관적 집합론(naïve set theory)에서 받아들이는 개념에 가깝다.[3] 수리논리에서도 공리적 집합론에서도 집합이 무엇인지 정의하지는 않는 경우가 많다. 먼저, 공리적 집합론에서 대표적으로 채택하는 공리계인 ZFC(선택 공리를 추가한 체르멜로-프랭켈 공리계)에서는 집합론에서 사용되는 모든 오브젝트가 집합이고, 공리들은 ∈ 에 관한 공리들이다. 또한 정칙성 공리 등을 통해 집합이 조건을 공리적으로 제한한다. 한편 NBG(폰 노이만-베르나이스-괴델 공리계)나 MK(모스-켈리 공리계)라는 공리계에서는 집합을 '다른 class(주로 '모임'이라고 번역된다)의 원소인 것'으로 일단 정의하기는 하고 class는 위에서 말한 직관적 집합론에서의 개념과 좀 비슷하다. NBG나 MK가 아니더라도 여러 가지 공리계들 또는 공리들의 관계를 탐구할 때 그 도구로써 '이러이러한 것만 집합이라고 새로 가정하면 어떤 일이 일어나는가'를 살펴보기도 한다. 왜 이런 복잡한 방식을 거치는가 하면, 집합 개념을 단순히 직관적으로 '어떤 성질을 만족시키는 것들의 모임'이라고만 해버리면 러셀의 역설과 같은 여러 가지 역설이 생겨 수학 구조가 붕괴되기 때문이다.
칸토어 이후의 수학은 기본적으로 집합론을 기초로 하여 성립돼 있다. 당장 수학의 가장 기초 공리계인 ZFC부터가 집합을 이야기하는 공리계이고(이는 NBG, MK 등 다른 공리계도 마찬가지) 그 외에 자연수 등 모든 수학적 대상이 집합의 언어로 서술되기 때문이다. 대수, 해석, 위상 등의 모든 이론을 시작할 때 집합이 들어가는 것은 이러한 이유. 연속, 수렴, 이항연산, 컴팩트, 심지어 무한 등 수많은 개념들이 집합을 통하면 수학적으로 엄밀하게 정의하고 조작할 수 있게 된다.
고등학교에서 배우는 직관적 집합론이 아니라 위에 서술한, 수학적으로 엄밀하게 정의된 집합을 더욱 심도 깊게 다루는 것이 (공리적) 집합론으로, 수학과 학부 또는 대학원 과정에서 배울 수 있다. 영미권의 대학에서는 철학과의 전공 과목으로 개설되는 경우도 있다.
3. 기본 개념
3.1. 원소
元素 / element[4]집합을 구성하는 객체. 집합과 마찬가지로 직관적으로 받아들이고 시작하는 개념 중 하나이다. 좀 더 엄밀하게 말하자면 정의하지 않고 받아들이는 개념. 무정의 용어라고도 한다.
보통 집합은 대문자, 원소는 소문자로 표기하나, 현대 수학은 모든 대상은 집합의 일종이라 보는 경우가 많기에 맥락에 맞게 이해하여야 한다.[5]
'[math(a)]는 집합 [math(A)]의 원소이다.'는 [math(a)][math({}in{})][math(A)]로 표시한다.[6] 이를 함수의 꼴로 만든 것이 지시함수이다.
3.2. 집합의 표기
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의 [[집합/표기#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[집합/표기#|]] 부분을}}}집합을 표현할 수 있는 여러 방법이나 수학적 표기법을 말한다. 고등학교 교육과정에선 주로 원소 나열법, 조건 제시법, 벤 다이어그램 세 가지가 자주 등장한다.
집합의 표기는 단지 표기일 뿐이기에 같은 집합을 나타내는 여러 표기가 존재할 수 있음에 주의해야 한다.
3.2.1. 원소 나열법
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의 [[집합/표기#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[집합/표기#원소 나열법|원소 나열법]] 부분을}}}元素 羅列法 / tabular form
집합을 중괄호와 원소를 이용하여 서술하는 방법. '집합 [math(A)]는 [math(2)], [math(3)], [math(4)]만을 원소로 가지고 있다.'를 [math(A=\{2,3,4\})]로 표시한다. 집합에 어떤 원소가 있나 금방 볼 수 있지만 집합의 특성을 설명하거나 무한집합을 다룰 때 취약하다. 원소를 나열하는 순서는 상관없다.
3.2.2. 조건 제시법
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를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[집합/표기#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[집합/표기#조건 제시법|조건 제시법]] 부분을}}}條件 提示法 / set-builder form
집합을 집합에 포함되는 원소의 조건을 이용하여 서술하는 방법. {원소|원소의 특성}으로 사용한다. [math(A=\{2,3,4\})]를 조건 제시법으로 표시하면 [math(\{n\,|\,n)]은 [math(1)]보다 크고 [math(4)] 이하인 자연수[math(\})], [math(\{n\in\N\,|\,\N)]은 자연수의 집합, [math(2\le n\le4\})] 등이 된다.[7] 무한집합을 다룰 수 있으나 특정 객체가 집합의 원소인지 확인하는 건 어렵다. 가령 '무리수의 집합'이란 개념은 쉽지만, [math(e^\pi)]이 무리수인지(=무리수의 집합의 원소인지 아닌지)를 판단하는 건 원소나열법과는 달리 어렵다.
문장이나 식으로 조건을 제시하며, 제시된 문장이나 식이 달라도 원소만 모두 일치한다면 같은 집합이다.
3.2.3. 벤 다이어그램
Venn diagram집합은 원이나 타원 등의 단일폐곡선으로, 원소는 점으로 나타내 집합 간의 간단한 관계를 표현하는 다이어그램. 2차원 공간에 단순도식화하여 표시하는 것이므로 아무래도 복잡한 집합 관계는 표현하기 힘들다. 또한, 벤 다이어그램은 증명에 사용될 수 없다! 증명을 제대로 배우지 못한 학생들에게 집합 증명 문제를 주면 벤 다이어그램을 그려오는 학생들이 상당히 많은데, 그 증명을 보는 사람에게 직관적인 이해를 돕기 위해 사용할 수는 있어도 증명으로서의 가치는 없다. 명심하자. 이유에 대해서는 벤 다이어그램 문서를 참고하라.
3.3. 집합의 상등
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'''상등'''{{{#!if 넘어옴2 == null
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두 집합이 '같다'라는 것은 무슨 뜻일까? 집합론에서는 두 집합 [math(A)], [math(B)]가 가진 원소가 모두 같을 때 두 집합을 같다고 정의한다. 하지만 일반적인 집합론에서 쓸 수 있는 언어(술어)는 [math(\in)] 하나뿐이다. 이 술어만 가지고 앞선 조건을 풀이해 보자면 '어떤 원소가 [math(A)]에 속한다면 [math(B)]에도 속해야 하고, 반대로 [math(B)]에 속한다면 [math(A)]에도 속해야 한다'고 씀으로써 '[math(A)]와 [math(B)]가 가진 원소가 모두 같다'를 나타낼 수 있다. 이걸 좀 더 엄밀하게 쓴 것이 [math(\forall x (x \in A \leftrightarrow x \in B))]로, 식을 정리하면 [math(A \sub B \land B \sub A)]와 같은 의미임을 알 수 있다. 때문에 일반적으로 집합의 상등이란 '[math(A)]가 [math(B)]의 부분집합이면서 동시에 [math(B)]가 [math(A)]의 부분집합인 경우'를 나타내며, 이때 등호를 써서 [math(A = B)]로 나타낼 수 있다.
예를 들어, 집합 [math(A)]를 '[math(4)] 이하의 자연수'로 정의하고 집합 [math(B)]를 '방정식 [math(x^4-10x^3+35x^2-50x+24=0)]의 근'으로 정의하면 [math(A)]와 [math(B)]는 둘 다 [math({1, 2, 3, 4})]이므로, 이때 '[math(A)]와 [math(B)]는 상등'이 성립한다.
매우 당연하게 들리는 소리인 동시에 생각해 보면 당연하지만은 않기도 한 성질이다. 가령 한 학교에서 여러 동아리가 존재하고, 각 학생은 여러 동아리에서 활동할 수 있다고 하자. 미술 동아리에 부원이 [math(a, d, f, k)]가 있고 체육 동아리에 부원이 [math(d, k, a, f)]가 있다면, 일상적인 직관에서 단순히 부원이 겹친다고 두 동아리가 '같다'고 여기지는 않는다. 그러나 집합에서는 동아리의 이름, 활동 목적, 인솔교사 등등을 따지지 않고 단순히 원소(소속 부원)가 일치한다면 두 집합(동아리)이 '같다'고 간주하며, 이때 한 집합(미술 동아리)을 다른 집합(체육 동아리)으로 바꾸어 써도 문제가 없고 집합으로써의 모든 성질이 정확히 보존됨을 보장받는다.
위의 다소 비직관적일 수 있는 결과는 집합의 정의가 엄밀하지 않았기 때문으로, 공리적으로 집합론을 정의할 때에는 이를 위해 상등성을 공리로 고정한다. 대표적으로 ZFC 공리계의 외연 공리(Axiom of Extensionality)가 있다. 이런 과정을 통해 공리적 상등성을 확립하고 나면 집합 위에서 수많은 동치관계를 정의할 수 있는데, 이런 추가적인 동치 관계들은 결국 내부적으로 상등성에 의해 뒷받침된다고 할 수 있다.
3.4. 집합의 크기
원소의 개수를 뜻한다. 보통 절댓값 혹은 노름 기호를 사용해[8] [math(|A|)], [math(\|A\|)]로 표기한다.[9]3.5. 집합의 농도
집합이 얼마나 많은 원소를 가지고 있는가, 어느 집합이 더 많이 원소를 가졌는가의 개념을 생각할 수 있다. 그 비교는 일반적으로 두 집합 사이에 일대일 대응(bijection,one-to-one correspondence)이 존재하는가, 그렇지 않다면 어느 집합에서 어느 집합으로 일대일 함수(injection; 단사함수, one-to-one)가 존재하는가 등을 통하여 이루어진다. 두 집합 사이에 일대일 대응 함수(bijection)가 존재하면 두 집합의 크기가 같다고 정의한다. 만약 비교 대상이 유한집합인 경우, 간단히 원소를 하나씩 센 결과를 그 척도로 쓰면 편리할 것이다. 따라서 [math(|A|)] 혹은 [math(\|A\|)], [math(\operatorname{card}A)]로 유한집합 [math(A)]의 원소의 수를 나타낸다. 중고등학교 교육과정에서 사용하는 [math(n(A))]는 대학교 학부 이상의 수학에선 사용하지 않는 표기.무한집합에서도 [math(|A|)]의 개념을 만들 수 있는데, 대신에 '크기'라고 부르기보다는 '농도' 또는 '기수(cardinal)'라고 불린다. 표기법도 똑같이 [math(|A|)], [math(\|A\|)], [math(\operatorname{card}A)]인데, 유한집합에서는 하나씩 세는 과정, 즉 자연수의 개념을 이용했다면, 무한집합에서는 초한기수라는 새로운 개념을 이용하여 정의한다. 농도는 사실상 크기와 유사한 개념이라, 집합론이 아닌 맥락에서 집합의 농도를 이야기하는 다른 분야의 수학책에선 size라 간단히 말하기도 하며, 집합론 내에서도 농도 자체에 크기 개념을 적용한 large cardinal 같은 용어도 있다.
집합의 농도를 사용해서 집합의 대등 관계를 정의할 수 있는데, 구체적으로 [math(A)]와 [math(B)] 사이에 일대일 대응 [math(f)]가 존재하면 두 집합이 대등(equipotent)하다고 정의한다. 이 또한 이항 관계의 일종이므로 집합론적 언어로 기술할 수 있는데, 대표적인 동치관계 중 하나이기도 하다. 증명은 다음과 같다.
- 반사성: 모든 집합은 자기 자신으로의 일대일 대응인 항등함수를 가지므로 성립한다.
- 대칭성: [math(A)]가 [math(B)]에 대해 대등하다고 하자. 그 말은 어떤 [math(\exists f : A \to B)]가 일대일 대응이라는 뜻이므로 그 역함수 [math(f^{-1} : B \to A)] 또한 반드시 존재한다. 즉 [math(B)] 또한 [math(A)]에 대해 대등하다는 말이므로 대칭성이 성립한다.
- 추이성: 함수의 합성에 의해 [math(f : A \to B)], [math(g : B \to C)]가 모두 일대일 대응이라면, 그 합성 또한 일대일 대응이므로 추이성이 성립한다.
[math(|A|)]를 [math(A)]의 농도라고 할 때,
- 집합 [math(A)]에서 집합 [math(B)]로 가는 단사함수(일대일함수)가 존재하면, [math(|A| \leq |B|)]이다. [10]
- 집합 [math(A)]에서 집합 [math(B)]로 가는 전단사함수(일대일대응함수) 존재하면, [math(|A| = |B|)]이다. [11]
- [math((|A| \leq |B|) \wedge \neg (|A| = |B|))] 일 때, [math(|A| < |B|)]이다. [12]
전단사함수는 단사함수의 일종이므로, [math(|A| = |B| \Rightarrow |A| \leq |B|)]임은 자명하다. 하지만 그 역은 자명하지 않다.
다만, 역도 칸토어, 베른슈타인에 의해 참으로 증명되었다. - 칸토어-베른슈타인 정리: [math(|A| \leq |B| \wedge |B| \leq |A| \Rightarrow |A|=|B|)]
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의 [[슈뢰더-베른슈타인 정리#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[슈뢰더-베른슈타인 정리#|]] 부분을}}}소수의 집합, 자연수의 집합, 정수의 집합, 유리수의 집합은 모두 농도가 같지만, 실수의 집합은 이보다 농도가 크다. 그리고 실수의 집합과 복소수의 집합, 사원수의 집합의 농도는 같다. [13]이 신비한 사실이 성립하는 이유는, 유한집합과 달리 무한집합은 자신과 자신의 진부분집합간에 1:1 대응이 존재할 수 있기 때문이다. 데데킨트는 이 부분에 착안하여 이것을 가지고 무한집합을 정의하기도 하였다. 이 때문에 무한집합의 농도 비교는 비수학전공자가 가장 많이 헷갈리는 개념 중 하나. 오죽하면 무한집합의 농도 비교, 0.999…=1 , 몬티 홀 문제를 '3대 인터넷 수학 떡밥'이라고까지 할까.
집합의 농도를 이용해서 역으로 자연수를 정의하기도 한다.
4. 집합 관련 용어
4.1. 집합의 연산
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의 [[집합의 연산#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[집합의 연산#|]] 부분을}}}4.2. 부분집합
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의 [[부분집합#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[부분집합#|]] 부분을}}}4.3. 전체집합
全體集合 / universal set전체집합을 단순하게 '다루는 모든 대상을 포함하는 집합'이라고만 정의하면 러셀의 역설과 같은 모순이 일어나기 때문에 집합론을 엄밀하게 전개하게 된 뒤로는 이러한 집합을 인정하지 않는다. 대신 NBG나 MK에서는 '모든 집합의 클래스'는 존재한다. 때로는 '다루고자 하는 대상을 충분히 많이 포함하고 있는 집합이 존재한다' 등과 같은 가정을 집합론에 추가해서 살펴보기도 한다. (weakly inaccessible cardinal, Grothendieck universe 등 참고)
고등학교 교과서에서는 '주어진 집합에 대하여 그 부분집합을 생각할 때, 처음에 주어진 집합을 전체집합'으로 정의하여 러셀의 역설을 회피한다.
4.4. 중복집합
重複集合 / multiset동일한 원소가 둘 이상 있는 집합. 중복집합의 크기는 중복조합을 이용해 구할 수 있다.
4.5. 집합족
集合族 / family of sets원소가 집합인 집합. 곱집합과 멱집합은 집합족의 특수한 경우이다. 이 개념은 중고등학교 과정에서는 상대적으로 소홀히 다뤄지는 편이지만, 집합론, 그리고 집합론을 기본기 삼아 별별 기괴한 집합을 꾸려나가는 실해석학, 위상수학 등 전공수학 고급과정에서는 학습자의 뒤통수를 후려갈긴다.
볼드체로 쓰는 경우가 많은 벡터와 비슷하게, (특히 추상공간의) 집합족은 필기체로 표기하는 암묵의 룰이 있다.
통계학에서 자주 쓰이는 예로는 지수족이 있다.
4.5.1. 첨수 집합족
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의 [[첨수 집합족#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[첨수 집합족#|]] 부분을}}}4.6. 싱글톤
singleton원소가 단 하나인 집합.
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
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의 [[싱글톤(동음이의어)#s-2|2]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[싱글톤(동음이의어)#|]] 부분을}}}4.7. 점집합
pointed set공집합이 아닌 집합에서 특정 원소를 골라 놓은 집합이다. 보통 집합에서 어떤 원소를 선택할 수 있는 기준이 있다면 적당한 점집합들의 집합 또는 class로 만들 수 있다. 다만 집합이 무한한 경우에도 일반적으로 적용하려면 선택공리가 필요하다. 보통 점집합 자체만으로는 별 쓸모가 없고 점집합들의 class에서 뭔가 해당 점을 보존하는 사상이나 구조를 잡는 경우가 많다.
5. 기타
- 벤 다이어그램에서 교집합은 두 원이 겹치는 범위를 보여주는데, 훗날 원형 범위의 공격 기술에도 교집합이란 말이 쓰이기 시작했다. 두 장판에 걸친 걸 '교집합 범위에서 피격되다' 등으로 표현한다. 당연한 소리지만 이런 상황에서는 두 기술의 범위에 노출되므로 더 큰 피해를 받는다.
- 1997학년도 대학수학능력시험 수리 · 탐구영역(Ⅰ) 29번 문제에 집합이 출제되었다. 공식 정답률 인문계 1.25%, 자연계 1.09%로 수능 수학 역사상 가장 어려운 문제로 회자되었다. (풀이 영상)
6. 관련항목 및 바깥고리
- 버트런드 러셀
러셀의 역설을 제시하여 공리적 집합론의 필요성을 일깨운 수학자이자 철학자. - 네이버 캐스트 괴델의 불완전성 정리
칸토어 집합론, 러셀의 역설, 힐베르트 형식주의로 이어지는 집합론/수리논리의 역사가 설명되어 있다. - 불완전성 정리
- 드모르간의 법칙
- 수 체계 집합
- 자연수 [math(\mathbb{N})]
- 정수 [math(\mathbb{Z})]
- 유리수 [math(\mathbb{Q})]
- 실수 [math(\mathbb{R})]
- 복소수 [math(\mathbb{C})]
- 허수 [math(\mathbb{C\setminus R})]
- 사원수 [math(\mathbb{H})]
- 팔원수 [math(\mathbb{O})]
- 벡터 공간 [math(\mathbb{V})]
- 정수론적 집합 및 집합족
- 알랭 바디우
바디우의 사건 개념은 칸토어의 집합론을 전제로 한 개념이다. - 유계
- 지시함수
- 초한기수
- 연속체 가설
- ZFC 공리계
- 선택 공리
- 논리 연산
[1] 엄밀한 공리계에서 모임과 차이가 있을 수 있음에 주의.[2] 여담으로 이것 때문에 세대차이 해프닝들이 일어나기도 했다. ##[3] 수리논리 또는 컴퓨터과학의 결정 문제(decidable problem)를 생각하면 국립국어원의 설명은 미묘한 감이 있다.[4] 화학 용어 원소와 같다.[5] 모든 집합의 모임이라는 것은 집합이 아니지만, 충분히 생각해 볼 만한 것이다. 그 외에도 모든 벡터공간의 모임 등을 생각할 법하지만 그 크기나 너무나 커서 집합으로 정의하면 모순이 발생하는 것들이 있는데, 이들을 proper class(보통 '고유 모임'으로 번역한다)로 분류하고 이용하는 경우도 있다. NBG나 MK가 대표적이고 카테고리 이론에서도 class가 꽤 자주 나타난다.[6] 수학에서 상당히 자주 쓰는 표현인 존재 양화사 기호 [math(exists)]와 헷갈리므로 [math(A\ni a)]는 거의 사용하지 않는다. 또한 오래된 논문이나 책에서는 간혹 그리스문자를 써서 [math(a\mathbin{\varepsilon}A)]라고 쓰기도 한다.[7] 바(bar; |) 대신 콜론(:)을 사용하기도 한다. [math(\{x:0<x<1\})] 이런 식.[8] 노름 기호를 차용했을 뿐, 노름은 아니다.[9] 고등학교 1학년 수학 과정에서는 number의 n을 딴 [math(n(A))]를 사용한다.[10] 농도에 관하여 부등호를 확장해 정의하는 것이다.[11] [math(A)]와 [math(B)]의 농도가 같다는 뜻[12] [math(A)]의 농도보다 [math(B)]의 농도가 더 크다는 뜻[13] 덧붙여, '[math(|\mathbb{N}| < |X| < |\mathbb{R}|)]인 [math(X)]가 존재하지 않는다'는 명제가 연속체 가설과 동치이다.