1. 개요
解析學[1] / Analysis기초 수학의 한 분야로, 함수의 연속성을 수량화하여 연구하는 분야다. 수많은 함수에 자잘한 숫자를 매겨야 하기 때문에 끝없는 계산으로 악명높다. 이 계산을 편하게 하려고 컴퓨터과학을 동원한 분야가 바로 수치해석학이다. 대부분의 이공계 대학원 / 연구실에서 수치해석학을 사용하기 때문에 전공수학을 공부할 필요가 없는 여러 학과에서는 해석학 = 수치해석학으로 받아들여지기도 하나, 전공수학에서 다루는 해석학은 수치적 방법을 쓰지 않으면서도(사실은 수치적 방법을 쓰지 않을수록) 오귀스탱루이 코시 이래 근현대 수학에서 대수학(선형대수학 및 현대대수학)과 함께 수학의 가장 핵심적인 뼈대로서 수학도들을 두고두고 괴롭히는 수학의 기본기로 자리매김하고 있다.
2. 어원
해석학을 뜻하는 영어 analysis는 그리스어 ανάλυσης 에서 나온 단어로 'ανά-'는 '완전히', '끝까지'를 뜻하고 '-λυσισ'는 '느슨하게 하다'라는 뜻을 가지고 있는데 이것은 곧 완전히 느슨해질 때까지 파고든다, 즉 참인지 거짓인지 파악하기 위하여 대상을 잘게 쪼개고 쪼개어 끝까지 파고든다는 뜻으로 파악할 수 있다.3. 역사
3.1. 미적분학
해석학은 미적분학의 수학적 기초를 엄밀하게 세우면서 출발했다. 미적분학이 태동할 17~18세기의 수학은 직관적인 이해로부터 출발하는 것이 당연했고, 수 체계나 집합과 같이 오늘날에는 엄밀하게 정의되어 있는 개념들이 그 당시에는 직관적으로만 이해되고 있었다. 마치 고등학교 과정 미적분에서 극한의 정의, 중간값 정리, 최댓값/최솟값 정리의 증명에 대한 엄밀한 고찰을 모두 생략한 것과 비슷하다.수학이 발전하면서 직관적인 정의에 있는 여러 모순이 발견되었다. 수학자들은 모순을 해결하기 위해 엄밀한 정의를 내리기 시작했다. 먼저 애매한 무한소 개념을 대체하기 위해 다양한 개념들이 제시되었는데 가장 대표적인 것이 엡실론-델타 논법이다. 1817년 베른하르트 볼차노가 앱실론-델타 개념의 토대를 세웠으나 묻혀버렸고, 오귀스탱루이 코시가 엡실론-델타 논법을 최초로 사용하고, 이를 바탕으로 카를 바이어슈트라스가 균등수렴을 정의함으로써 엡실론-델타 논법이 수학계에 정착되기 시작했다. 이 논법은 대학교 1학년 미적분학 거의 첫 시간에 배우는데, 자연 언어를 수학 기호로 엄밀히 표현하면 어디까지 난해해질 수 있는지를 제대로 체험하게 된다.
그리고 18세기 말부터 19세기 초까지 게오르크 칸토어가 푸리에 급수를 연구하면서 집합론을 세우고, 데데킨트 등의 수학자들에 의하여 실수계가 엄밀하게 정의된 것이 오늘날과 같은 모습의 해석학을 발전시키는 토대가 되었다고 할 수 있다.
3.2. 현대 해석학
현대의 해석학은 기껏해야 수학과 2학년생들이 배우는 해석학 입문과정을 제외하면 미적분학과는 연관성을 알아볼 수 없을 정도로 다양하게 발전하였다. 르베그 공간(Lebesgue space), 힐베르트 공간(Hilbert space), 바나흐 공간(Banach space)등의 성질과 작용소(operator)를 연구하는 함수해석학(Functional Analysis), 측도 공간을 넘어 위상군(topological group)이나 비 가환군(non-commutative group)에서 푸리에 해석을 연구하는 조화해석학(Harmonic Analysis), 불규칙한 운동을 연구하는 에르고드 이론(ergodic thoery), p진수를 변수로 갖는 함수를 연구하는 p진 해석학(p-adic Analysis)등의 많은 세부분야가 생겼을 뿐만 아니라, 정수론이나 기하학을 포함한 수학의 전 분야에 영향을 끼치고 있다.확률론과 편미분방정식, 미분기하학, 심지어는 전혀 관련 없어 보이는 정수론(일명 해석적 정수론)까지 많은 분야의 기초가 되는 만큼, 전공자가 아니더라도 수학을 조금이라도 사용하게 된다면 한 번쯤 접하게 되는 분야이기도 하다.
4. 분야
4.1. 표준 해석학
상술한 엡실론-델타 논법을 이용하여 이론을 전개하는 분야들이다.4.2. 비표준 해석학
표준적으로 사용하는 해석학의 공리인 엡실론-델타 논법 대신, 초실수체를 이용해서 전개하는 해석학이다. 이는 무한대, 무한소를 하나의 '수'로 가정하고, 표준부분함수 [math(\rm st)]를 정의함과 동시에 '확장원리'와 '전달원리'을 이용해 유율법이 나올 시절의 극한을 현재 수준으로 엄밀하게 정의하는 것에 의의를 둔다.자세한 내용은 초실수체 문서 참조.
5. 과목
5.1. 초등학교 ~ 고등학교
초등학교 수학에서는 어림을 통해 가장 가까운 간단한 수를 찾는 것을 배운다.중학교 수학에서는 처음으로 함수에 대해서 배운다.
고등학교 수학에서는 미적분 파트에서 극한, 수열 등을 통해 해석학 이해에 필요한 기초 소양을 배운다.
5.2. 학부 과정
보통의 경우 집합론부터 적분까지는 1학기 수업 공통 내용이고 함수열은 2학기 수업 중간고사까지의 공통 내용이지만, 2학기 기말고사 내용은 교수나 커리큘럼에 따라 달라진다. 보통은 다변수함수를 주로 다루거나 함수공간을 주로 다루거나 둘 중 하나이지만, 해석학을 제대로 공부하려면 결국은 둘 다 잘 해야 한다.- 기초적인 집합론: 비단 해석학뿐만 아니라 수학 전반에 걸쳐 집합론에 대한 기본적인 내용을 알고 있어야 논리 전개가 가능하다. 특히 해석학에서는 무한집합의 성질이 많이 사용되기 때문에 집합론의 앞부분만 공부하지 말고 가산집합과 비가산집합, 무한집합의 성질까지 꼼꼼하게 공부해 두어야 한다.[2]
- 실수의 성질(체 공리, 순서 공리, 완비성 공리)[3], 극한의 엄밀한 정의, 상극한과 하극한, 코시수열
- 좌표공간의 위상적 성질: 열린 집합, 닫힌 집합, 극한점(집적점), 고립점, 볼차노-바이어슈트라스 정리, 닫힘(폐포), 연결성, 컴팩트성
- 함수의 연속: 연속성의 엄밀한 정의, 최대·최소 정리와 중간값 정리[4]의 증명, 고른연속(균등연속, 평등연속)의 정의와 응용
- 함수의 미분: 미분의 정의와 미분가능성, 코시의 평균값 정리와 로피탈의 정리, 테일러 정리
- 리만-스틸체스 적분: 리만 적분의 정의와 적분 가능한 함수, 미적분의 기본 정리, 함수의 변동, 리만-스틸체스 적분의 정의와 성질
- 급수: 급수의 정의, 절대수렴과 조건수렴, 코시 곱, Cesàro 합
- 함수열: 함수열의 정의, 점별수렴과 고른수렴(균등수렴), 극한의 순서를 바꿀 수 있는 조건, 무한급수가 고르게 수렴할 조건
- 미분가능성 및 해석함수: 매끄러운 함수, 해석함수, 병리적 함수
- 다변수함수의 미분: 역함수 정리, 음함수 정리, 라그랑주 승수 등
- 다변수함수의 적분: 다중적분, 변수변환, 발산 정리, 스토크스 정리 등
- 함수공간: 연속함수공간과 동등연속(동정도연속)의 정의, 아르젤라-아스콜리(Arzela-Ascoli) 정리, 바나흐 공간의 정의, 수열 공간, 이상적분 가능한 함수공간
- 이상적분 및 특수함수: 이상적분의 수렴조건, 감마함수, 베타함수, 가우스 적분
- 적분으로 정의된 함수: 다변수함수의 연속성과 미분, 적분변환(라플라스 변환, 푸리에 변환, 합성곱)
- 푸리에 해석: 푸리에 급수와 그 수렴성, 미분과 적분
- 기초 실해석: 측도론 맛보기, 르베그 적분 및 수렴 정리
수학과와 수학교육과 학생들이 학부 2학년 때 선형대수학과 함께 수강하며, 처음으로 배우는 진짜 수학이다.[5] 즉, 수학적인 내용들을 수학에서 쓰는 논리에 어긋나지 않게 전개하는 기초를 본격적으로 배운다는 것으로, 해석학I 과정에서 제대로 된 극한의 정의를 배우는 것으로 시작한다.[6] 초심자들에게 있어 첫 번째 고비이지만, 이 개념을 이해하지 못한다면 앞으로의 해석학 과정을 이해하는 것은 꿈도 꾸지 말아야 한다. 극한의 엄밀한 정의에 쓰이는 엡실론-델타 논법은 보통 이공계 1학년 미적분학 시간에 맛보기 수준으로 소개되지만, 엡실론-델타 논법은 대부분의 타전공자들이 그리 중요하게 여길 필요가 없는 파트인데다 수능만 쳤지 수학의 참맛을 전혀 모르는 1학년 이공계 신입생들에게 완비순서체가 뭔지에 대한 밑바닥 정리정돈 없이 냅다 엡실론-델타 논법만 던져주면 오개념만 자라기 십상이라 그냥 어영부영 넘기는 경우가 많다. 이는 교양과목 미적분학과 전공기초과목 해석학개론의 결정적인 차이 중 하나인데, 일례로 미적분학에서는 Early Transcendental 교재를 쓸 경우 묻지도 따지지도 않고 꺼내들던 자연로그의 밑 e를 해석학에서는 완비성 공리, 단조수렴정리 등의 물샐틈 없는 빌드업을 거쳐 e라는 정체불명의 수가 등판할 수밖에 없게 유도해낸다. 이는 해석학I의 중간고사 범위에서 가장 드라마틱한 파트 중 하나로, 병아리 수학도들에게는 수를 유도한다는 표현을 넘어 짜내는 것만 같은 고통과 쾌감으로 다가오는 순간이다. 허나 이러한 엄밀한 논법은 도저히 직관적이지 않기 때문에 고등학교 과정에서는 보통 생략하고 "x가 a에 근접할수록" 식의 표현으로 대신한다.[7]
Compact set[8] 개념 역시 엡실론-델타 논법 못지않은[9] 고비다. 쉽게 설명하자면, 어느 집합을 열린 집합으로 덮으려 하는데, 이 때 어느 형태의 열린 집합들을 갖다 쓰든[10] 반드시 유한 개의 열린 집합들로 덮여야 한다는 것이다. 설명은 얼핏 보면 간단해 보이지만 정작 머릿속으로 그려 보려면 굉장히 난해한 개념이다. 실수에서의 닫힌 유계집합을 일반화하기 위해 일반화에 일반화를 거쳐서 나온 결과물이므로 굉장히 비직관적이고 왜 이렇게 설계했는지 공부를 더 해 보기 전까지는 알 수 없다. 이 때문에 만약 compact Set의 개념과 관련 정리들의 내용을 한번에 이해할 수 있다면, 순수수학 분야에서 해석학이나 위상수학 계열의 수학자가 되는 것도 생각해 볼 수 있다.[11]
위의 두 개념들은 우리가 아는 실수 공간의 수열과 함수, 미적분의 성질들을 이해하는 데 매우 좋은 도구가 되기 때문에, 해석학을 공부하는 학생들에게는 필수 과정이다.
물론, 장기적으로 보았을 때 학부 과정에서는 해석학 자체가 굉장히 어려운 과목은 아니다. 오히려 해석학은 짬이 조금 차면 자연스레 할 수 있게 되며, 초반에 어느 선까지만 강렬하게 머리를 불살라주면 그 이후부터는 꽤 편해지는 과목이다. 오히려 대수학을 아예 이해하는것 자체가 가능한지 의심이 될정도로 어려워하는 학생들이 상당히 많은 편이고[12] 아예 미분기하학이나 위상수학은 수학과의 최종보스로 취급한다. 특히 해석학 과목은 난이도는 어려워도 증명과정에서 계산이 매우 복잡하거나 술술 나가다가 어느 한 부분에서 막히는 경우가 많기에 논리 전개에 있어 오류가 없다면 교수가 부분점수를 후하게 매겨줄 여지가 많다. 그래서 해석학 시험에서는 헛소리라도 써 내는게 백지로 내는 것보다는 낫다는 말이 많다.[13] 그래서 나라 잃은 김구 표정으로 시험을 마쳐도 막상 해석학 성적표에는 A 이상의 후한 점수가 떠 있더라는 경험담이 학부 고학년이나 대학원생들 사이에는 의외로 많다.
교수가 진도를 굉장히 빨리 나가는 스타일이면 측도론을 맛보기로 다루기도 한다. 적분은 구간 내 함숫값*구간길이를 다 더한 것이므로 함수를 적분하려면 구간길이를 따져야 하는데, 이 구간의 길이(= 집합의 크기)의 개념에 다루는 학문이다.
그 외에 강의서를 뒤적이다 보면 실수를 유리수 코시수열 modulo(극한값이 같다)로 정의하거나[14] 데데킨트 절단(Dedekind's cut)으로 유리수부터 구축하는 법을 다루기도 하는 등, 여러 가지 흥미로운 내용들도 많다.
실수집합을 추상화시킨 집합, 즉 실수집합과 비슷한 성질을 가진 집합에서 정의된 함수에 대해서도 미분과 적분을 할 수 있도록 확장시키기도 한다. 그럼 먼저 실수집합이 어떤 성질을 갖고 있는지 파악해야 실수집합과 비슷한 성질을 가진 집합이 어떤 집합인지 판단할 수 있게 되는데 이 분야가 일반 위상수학(general topology)이다.[15]
대수학과 함께 수학의 핵심 과목[16]이라서 이 둘을 잘 해놓아야지만 앞으로의 갈 길이 편하다. 실해석학, 복소해석학, 미분방정식, 확률론 등의 과목이 기본적으로 해석학의 내용을 바탕으로 전개되기 때문이며 다른 말로는 수학을 전공하기 위한 기초과목이라는 뜻이다. 그러니까 수학과에 진입하면 선형대수학과 함께 바로 배우도록 한다. 단순히 과목 내용뿐만 아니라, 수학의 각 부분에서 사용되는 여러 가지 중요한 증명 스킬 역시 여기에서 배운다. 다만 복소해석학의 경우는 코시-리만 방정식 정도는 왜 성립하는지 정도는 익혀두는 게 좋다. 이변수 함수의 편미분을 할 수 있다면 충분히 가능하다.
사실 학부 때 배우는 모든 내용이 그렇지만, 해석학과 대수학은 사실 가장 중요하면서도 쓸모없는 과목이기도 하다. 그 이유는, 학부 때 배우는 해석학이나 대수학은 본격적인 수학이라기보다 수학에서 알파벳과 같이 쓰이는 개념들의 습득이 목적이기 때문에 반드시 알아야 하지만, 그것만 갖고는 할 수 있는 게 거의 없기 때문이다. 본격적인 수학은 그 개념들을 이용하여 빨라봤자 학부 말, 보통은 석박사 시절부터 배우기 시작한다.
해석학을 단학기로 끝내지 않고 1년 내내 배울 경우, 해석학I에서는 기초 집합론, 실수계, 수열, 함수의 연속, 미분, 적분, 급수까지는 다들 비슷비슷한 진도를 나간다. 그러나 해석학II를 시작한 뒤로 함수열까지는 중간고사 진도가 똑같지만, 기말고사 범위는 기초적인 푸리에 해석과 실해석을 공부하는 루트와 다변수함수를 공부하는 루트로 갈리며, 많은 경우 이 둘 중 해석학II에서 다뤄지지 않는 과목이 고학년 커리큘럼에서 별도의 단학기 또는 통년 과목으로 개설된다. 이 때 전자인 함수공간 중심의 커리큘럼은 해석학개론 전반부의 주제가 더 일관적으로 이어지니 학습에 몰입하기 좋다는 장점이 있으나, 이를 위해서는 내적 공간에 대한 이해가 선행되어야 한다는 (다시말해 선형대수학 진도를 한 학기에 한 권을 다 뗄 기세로 열심히 달려줘야 한다는) 점이 걸리기 때문에 담당교수들의 의견조율이 반드시 필요하다.[17] 후자의 경우 거리공간을 비롯한 위상수학의 기초를 전혀 접해본 적이 없이 공부한다면 결과적으로 다변수 미적분학의 재탕에 그칠 수도 있으나, 해석학I에 맞는 적당한 수준으로나마 위상공간론의 기초를 다지고 적절히 떠올려가며 학습한다면 3학년 때 미분기하학과 복소해석학을 일찍 내지는 수월하게 시작할 수 있기에[18] 교수나 학교별 커리큘럼에 따라 학부생의 수업 이수 일정이나 후속 과목에서의 입문 난도가 크게 갈리기도 한다. 물론 해석학을 제대로 공부하려면 이 두 갈림길은 어느 쪽이든 졸업 전엔 다 섭렵하고 지나갈 내용[19]이다. 하술할 해석학 교과서 중 Rudin의 PMA가 '한 책에 너무 많은 내용을 담으려 했다'는 평을 듣는 것도 이 갈림길을 두껍지도 않은 책에다 모두 집어넣었다는 점 때문이다.
대학원에 진학하면 편미분방정식, 함수해석, 조화해석 등등의 여러 과목으로 나뉘어 본격적으로 전문적인 수학과목에 입문하고 최신연구주제나 분야들도 접할 기회가 생기지만, 해석학계열이 아닌 과목을 전공하게 된다면 전공시험을 통과한 이후 복잡하고 까다로웠던 과목 취급받으면서 서서히 잊혀져간다. 물론, 그렇다고 해도 세부적인 부분까지 파고 들어가지만 않을 뿐, 해석학에서 사용하던 기본적인 개념들은 분야가 달라도 종종 튀어나오므로 완전히 잊는 것은 불가능하다. 완전히 상관이 없다면 애초에 학부 1학년부터 대수와 해석학 전공생을 나누어 가르쳤겠지만, 그러는 학교는 없지 않은가.
함수해석학(Functional Analysis)[20]의 경우 선형대수학의 선형사상과도 밀접한 연관이 있으며, 그 참맛을 깨닫고 싶다면 선형 및 추상대수학과 위상수학에도 반드시 숙달되어야 한다. 물론 함수해석학도 깊게 들어가면 더 이상 linear하지 않은 경우도 많이 등장하지만, 기본이 이 선형사상이기 때문이다. 주요 주제 중 하나인 위상벡터공간(topological vector space)의 포스 넘치는 이름에서 알 수 있듯 상당히 넓고 깊은 토대를 단단히 다져놓아야 공부를 할 수 있는 분야이다. 19년간 졸업을 못한 대학원생이 지도교수를 살해했다는 무시무시한 사건이 이 분야에서 터졌다는 사실에서 알 수 있듯 대학원 박사과정 수준에서도 몹시 고난도 분야로 꼽힌다.
6. 교과서
아래 목록을 봐도 알겠지만, 교재 선택시 주의할 점이 있다. 저자들마다, 그리고 교재들마다 한학기 또는 두학기 강의용, 또는 독학용이 다르고 처음부터 위상수학 관련 내용을 많이 언급하느냐, 한학기~한학기 반짜리 기본 진도 이후 푸리에, 측도, 위상수학, 다변수함수 등을 다룬다면 어떤 순서로 얼마나 다루냐 등 제각기 다른 독자를 상정하고 쓰느라 구성이 다양하다. 심지어는 제목에서부터 혼동을 초래하는 경우도 적지 않다. 예를 들면 Bartle 저서나 정동명 저서처럼 학부 2학년 정도의 해석학 초심자를 위한 입문서의 제목을 '실해석학개론' 같은 제목으로 정하여 고학년생들까지 헷갈리게 하거나[21], 르베그 적분론을 실해석학 시간에 각 잡고 다루기 위해 실해석학이라 간판 걸어놓은 수업에서 확률론 교과서를 부교재삼아 꺼내든다거나[22], Spivak의 Calculus나 Apostol 저서처럼 'Calculus'나 'Advanced Calculus' 같은 제목을 단 채 1학년 미적분학에서 다루기 힘든 해석학 내용을 끈적하게 다루거나. 김홍종 저서나 Apostol 저서 같은 특이한 예를 제외하면 구성이 대동소이한 미적분학 교재들과 달리 해석학 교재들은 목차, 머리말, 올드비들의 서평 등을 다양하게 찾아보고 심사숙고하여 선택할 필요가 있다.[23] 이렇게 다양한 방식으로 커리큘럼을 구성할 수 있는 과목이 학부 과정에서의 해석학인지라 해석학을 공부하는 학생들은 다른 과목들보다 많은 종류의 참고도서를 확보해놓고 과제에 필요할 때마다 꺼내보곤 한다.6.1. 학부
- Jerrold E. Marsden, Elementary Classical Analysis
많이 쓰이는 교과서이지만, 아시아판이 절판되어 pdf 파일을 내려받든지 도서관에서 책을 빌려 제본하든지, 그것도 싫으면 30만 원짜리 미국판을 사는 것 외에는 책을 구할 방법이 없다. 기껏해야 알라딘 중고서점 같은 중고시장에서 가끔 목격되는 정도. Classical Analysis라는 제목에서 알 수 있듯 측도에 관한 내용은 없다. 측도 관련 내용이 없기 때문에 힐베르트 공간의 존재를 르베그 적분을 통해 증명하지 않고 받아들인다는 특징이 있다.
- Stephen Abbott, Understanding Analysis
초판이 2001년에 나오며 2015년에 개정될만큼 학부 해석학 교재중에서는 상당히 최신 교재로, 미국수학협회에서 "교수들이여, 교과서가 당신의 강의보다 이해하기 쉬운 불상사를 초래하고 싶지 않다면 이 책을 교과서로 쓰지 마라" 라는 말을 들을 정도로 설명이 쉽고 뛰어난 교재이다. 한학기용 교재이기 때문에 스틸체스 적분과 같은 일부 내용은 없지만 기초 위상, 기초 푸리에 해석 등 있을만한 내용은 다 들어있다. 특이 사항으로는 아래의 Bartle책과 같이 이질적인 적분이론을 소개해두었다는 점이 있다. 다만 보통의 해석학책과 같이 다르부 적분 방식을 기본으로 하고, 부록으로 해당 내용을 넣어두었다.
2021년 6월 28일 번역본이 출판되었다. 2판 번역본(한빛아카데미, 2021)
- Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis
해석학 입문서적. 보통은 바틀이라고 불린다. 난해함을 줄이기 위해 해석학 서적에서 그 흔하디 흔한 위상수학 기초 설명도 최대한 배제하고, 처음부터 끝까지 일관되게 1변수 함수만을 대상으로 최대한 쉽게 설명하려고 노력한 흔적이 곳곳에서 보인다. 물론 르베그 적분 및 측도론 내용은 없다. 실제로 해석학 교재들 중에서 손에 꼽힐 정도로 쉬운 책으로, 경제학과 등 상경계열 전공에서 주로 쓰는 모양. 또한 본문 내용 중간중간 각종 수학자들의 일화나 해석학의 역사적 흐름을 설명해주는 건 덤이다. 단점으로는 적분편의 이론이 다른 해석학 교재와는 지나치게 이질적이라는 것이다. 이 책에서는 리만 적분을 다룰 때 다르부 적분의 내용을 사용하지 않는다거나[24] 일반화된 리만적분 등의 내용을 넣어두었는데 이러한 설명이 딱히 쉬운것도 아니고 리만 적분의 개념을 이해하는데 꼭 필요한 것도 아니다.[25] 그래서인지 적분 파트는 정동명이나 다른 저자의 적분 파트를 보기도 한다.
실해석학 개론이라는 이름으로 번역되어 출판되고 있다.
같은 저자의 The Elements of Real Analysis도 보면 좋다.
- Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis
1951년에 초판이 나온 오랜 역사를 자랑하는 책이다. 보통 루딘이라고 하면 이 책이다. 워낙 유명한 책이라 약자로 PMA라고도 종종 불리며, 영어권에서는 baby Rudin이라고도 한다. 1976년에 나온 3판이 최신. 인터내셔널 에디션에 오타 있는 게 수십 년째 고쳐지지 않고 있다. 아마 앞으로 개정될 일이 없을 듯. 내용 전개 방식이 어렵고 지나치게 간결한데다 흔하디 흔한 그래프나 그림조차 그려져 있지 않아서 꽤나 큰 진입장벽이 있다. 애당초 이 책은 머릿말의 첫 글귀에서도 확인할 수 있듯 학부 3~4학년들이 참고용으로 쓰거나 대학원에 진학하기 전에 해석학을 다시 복습하기 위해 쓰여진 책이다보니 위상수학과 선형대수학의 개념들을 아무런 설명없이 가져다 쓴다. 그래서 해석학 초심자가 PMA로 해석학에 입문하겠다고 하는 경우 주변인들이 말린다. 하지만 상위권 대학에선 눈높기로 유명한 몇몇 교수들이 학부 2학년 현역 수업 때 활용하기도.[26] 그래도 처음엔 어렵지만 해석학에 대한 실력이 쌓이고 나서 다시 보면 잘 쓴 책인 걸 느낀다. 특히 초반 8장까지는 정말 많은 내용들을 최대한 간결하게 다 서술해놨다. 다만 9장부터는 다변수해석학과 실해석 관련 내용을 다루는데, 너무 많은 내용을 한꺼번에 담으려고 한 부작용으로 특별한 배경지식이나 다른 서적 없이는 상당히 난해한 서술이라는 게 중론. 1~8장까지는 그냥 공부한다 쳐도, 9장부터는 선형대수학에 숙달된 상태에서 공부하는 것을 추천한다.[27]
Exercise는 본문 내용을 숙지했어도 어려울 만큼 문제 수준이 높다. 그래도 중요한 공식이나 정리들이 많이 소개되어 있기도 하고, 다양한 아이디어들을 많이 얻어갈 수 있는 파트이므로 해석학에 대한 이해를 높이고 싶다면 반드시 풀어야 할 파트이다.[28]
루딘 교수가 위스콘신 대학교에 재직했기 때문인지 위스콘신 대학교의 모 웹페이지에는 풀이집도 올라와있다.
2013년에 '해석학의 원리'라는 이름으로 번역본이 나왔다. 그러나 수학 용어의 국어화아오를 강조하는 역자 허민 교수의 성향 내지는 신념 때문에 번역본을 보는 독자들이 상당한 위화감(정수→옹근 수, 분수→깨진 수, 급수→덧렬, 계수→곁수, 노름(norm)→대중)을 겪는다.
- William R. Wade, An Introduction to Analysis
흔히 웨이드라 불리는 책. 다변수까지 쭉쭉 달리는 구성은 루딘 PMA와 비슷하다. 예제와 연습문제도 국내 저자들의 교재들이 많이 베껴 수록할 정도로 질이 좋다. 전체적으로는 친절한 PMA, 루딘 순한맛이라는 평을 받는다만, 이는 PMA의 가로, 세로, 두께를 약 1.5배×1.5배×2배로 잡아늘려서 차근차근 친절한 서술을 쑤셔넣었다는 말이지 절대적으로 쉽다는 말은 아니다. 그래도 다변수 파트가 너무 '옹골지게' 다뤄져서 읽기 어렵게 느껴지는 루딘 PMA와 달리 다변수 파트를 일변수 파트에 투자한만큼의 종잇장을 더 투자하여 상세히 다뤘다는 점에서 심리적 장벽을 낮추는데엔 성공했기에 루딘 PMA를 보다 지쳤지만 한 책으로 기초부터 다변수해석까지 완주하고 싶어하는 사람들에겐 원서 중에서는 최선의 대안으로 꼽히는 책이다. 다만 컴팩트성을 비롯한 위상 관련 내용을 일변수 파트만 다루더라도 초반부터 한번쯤 짚고 넘어가는 보통의 해석학 입문서와 달리 관련 내용을 후반부에서나 다루는 점은 평이 엇갈린다. 최신인 4판은 그 악명 높은 Pearson New International Edition의 마수를 벗어나지는 못했으나 그래도 챕터째로 칼질을 당해버리는 다른 과목 다른 교과서들에 비하면 appendices만 잘리고 챕터들은 보전되었다는 점에서 상대적으로 매우 양호한 편.
해석학 입문으로 번역판이 있다. 번역자는 PMA를 두 교수[29]이다.
- 김성기/김도한/계승혁, 해석개론
약칭 김김계. 서울대학교 수리과학부 2학년 학부생을 대상으로 한 해석개론 강의 교재이다. 서울대 자체 교재인 만큼 엄청난 난이도를 자랑하는데, 대강 PMA와 비슷한 수준이다. 초반부 과정의 전개는 '실수체 - 위상 - 연속성 - 미적분 - 함수열'이라는 정석적인 순서를 따른다는 면에서 큰 틀에서는 PMA의 초반부 전개와 비슷하지만, 세부적인 틀에서는 차이가 꽤 있다.[30] 함수열 단원 이후에는 함수공간과 관련된 내용인 특이적분가능공간, 푸리에급수 등 함수공간 관련 내용을 다룬다. 이 때문에 요구되는 선형대수학 사전지식도 행렬 관련 내용이 아닌 내적공간 관련 내용이라 문턱이 살짝 높다. 그리고 마지막 단원의 내용은 PMA에서처럼 르베그 적분론인데, 대신 중간에 다변수해석학 내용이 끼어 있어서 내용 연계가 잘 안 되는 PMA와 달리 이 책에서는 다변수함수 내용을 없애고 푸리에 해석, 함수공간 등 르베그 적분과 연계하여 공부하기 좋은 주제에 집중하기 때문에 빌드업의 일관성에서 본다면 PMA에 비해 낫다. 연습문제는 PMA의 문제들처럼 엄청 흉악한 난이도를 자랑하고, 그만큼 얻어갈 내용도 많다. 저자 중 한명인 계승혁 교수의 온라인 강의도 존재한다. #
- 김성기/계승혁, 실해석
해석개론을 저술한 개노답 삼형제 중 김도한 교수를 제외한 두 교수가 저술한 학부 고학년생용 실해석학 교재. 김계라고 흔히 불린다. 서울대생이 아니어도 많이들 보는 해석개론과 달리 다른 학교 학생들에게까지 크게 사랑받지는 못하는 편이지만, 서울대학교출판문화원 교과서답게 가성비가 강점이다. 선대군만큼 널리 읽히지는 못하는 학부 대수학 강의 시리즈 2편 <대수학>과 비슷한 위치. 이러한 저평가 내지 다소 갈리는 평가의 원인으로는 일반적인 실해석학 교재와 조금 다른 순서로 이뤄진 부분이나 저자들의 주전공인 조화해석학에 너무 치중하여 밸런스 조절이 안 되었다는등의 원인이 꼽힌다. 위의 해석개론과 마찬가지로 저자의 온라인 강의가 있다.
- Manfred Stoll, Introduction to Real Analysis
김김계 해석개론과 비슷하게 급수, 함수열 다음에 푸리에 급수와 르베그 적분을 다룬 구성이지만 종잇장을 많이 투자한 덕에 보다 상세한 설명을 접할 수 있는 책. 하지만 한국어판의 종잇장을 늘린 이유 중 하나가 허민 교수의 순우리말 번역이라는 점에서 독자들에게 상당한 위화감을 선사한다. 그래도 원문으로도 제법 상세한 설명으로 구성되어있는 두꺼운 책으로, 특히 실해석학을 시작면서 푸리에 급수와 르베그 적분을 쉽게 시작하기 위해 이 책을 참고하는 학생이 많다.
- Terence Tao, Analysis I & II
테렌스 타오 UCLA 교수가 지은 해석학 입문과정 교과서. 저자가 워낙 거물이라 자기 같은 천재들이나 읽을 책을 썼을 것 같은 막연한 인상과 달리 초심자도 이해하기 어렵지 않은 쉬운 서술과 좋은 예제 덕에 호평을 받는다. 1권은 전반적으로는 리만적분까지의 평범한 진도를 다루고 있으나, 미분과 적분을 정의하기 전에 완비순서체 공리와 수열, 급수를 다루며 시작하는 보통의 해석학 책들과 달리 페아노 공리와 러셀의 역설, 선택공리 등 집합론에서 다루는게 보통인 주제들을 상당히 많이 소개하고 있다. 수학기초론을 다루느라 양이 불어난 1권에 비해 2권의 분량은 적지만 위상수학 스타일의 나오는 거리공간 소개로 시작해 균등연속, 멱급수, 푸리에 해석, 다변수함수, 측도론, 르베그 적분론 등 어느 한 쪽에 치우치지 않고 골고루 맛보는 구성으로 짜여 있다. 한빛아카데미에서 2023년 7월에 해석학 I의 번역본을 출간하였고, 10월에 해석학 II의 번역본을 출간하였다.
- 정동명/조승제, 실해석학 개론
다변수해석이니 측도론이니 복소해석이니 하며 만리장성을 쌓는 책들과 달리 차근차근 꼭 필요한 핵심(+ 푸리에 해석 기초)만 다룬 담백한 책. 해석학 입문과정의 독학 및 강의용으로 무난한 편이지만 임용시험을 준비하는 수험생들도 많이 본다. 이것은 조승제 교수가 서울대학교 수학교육과 교수였던 것도 영향이 있을 듯.
- 이슬비(김백진), 맛있는 해석학, 지오북스
네이버의 한 수학 커뮤니티 카페 운영자가 자신이 학부생 시절 임용고시를 준비하면서 쓴 필기노트를 여러 차례 개정하고 졸업 후 몇 년간 공부한 내용을 추가하여 출간한 책으로, 이쪽 바닥 책 중에서는 드물게 굉장히 깔끔하게 편집되어 있다. 학부 해석학개론 수업에서 다루는 내용은 대부분 짚고 넘어가니, 해석학 서적 특유의 딱딱함에 거부감이 있는 사람들은물론 해석학이란 과목 자체가 굉장히 딱딱하고 엄밀하지만참고해도 좋을 듯. 인터넷으로 전문과 솔루션을 공개해놓고 있는데, 해석학개론의 공통과정은 단행본으로 출간도 되어 있지만 다변수함수론, 다양체, 복소해석, 측도를 다루는 후반부 파트는 카페 회원에게만 공개하고 있다. 후반부 파트는 챕터만 보면 루딘의 PMA와 비슷하지만 차근차근 설명하는 점에서는 루딘보다는 웨이드 교재와도 유사하다. 연습문제도 난이도별로 나뉘어 있으며 특히 마지막 단계인 도약하기 파트는 푸는 문제보다는 수학을 공부하면서 한 번쯤 의문이 드는 고민사항을 정리해 놓은 것에 가깝다. 저자가 교사 출신이기 때문인지 전공수학의 수준에서 중,고등학생의 수준으로 어떻게 접근할 것인가[31]의 문제도 상당히 많으니 수학교사가 꿈이거나 관심있는 사람은 도약하기 파트 또한 넘기지 말고 챙겨보길 권한다.
- 解析入門, 杉浦光夫, 東京大学出版会 (著)
도쿄대학 명예교수인 스기우라 미츠오(杉浦光夫)가 집필한 해석학 교재로 현재 도쿄대를 포함해 몇몇 일본 국립대에서 해석학 강좌 교재로 사용되고 있다. 책 내용은 상당히 깔끔하면서도 논리적 엄밀함은 잃지 않았다. 설명도 상당히 친절하다. 연습문제마다 해설을 다 달아준다. 다만 연습문제의 경우는 답만 달아놨다. 뒤쪽에... 하지만 그럼에도 꽤나 쉽지 않으니 볼 사람은 각오를 하고 보길 바란다. 2권으로 나누어져 있다. 1권은 2800엔+세금, 2권 3200엔+세금이다. 3권은 1 2권의 연습문제를 모아놓은 책이다. 구성은 간단한 공리와 논리, 집합에 대한 논의 후에 표준적인 해석학교과서에서 다루는 모든 내용+복소해석 전반을 다루고있다. 동경대학에서는 1학년 교재로 쓰인다. 그리고 여담이지만 색깔만 빼면 완전 수학의 정석 디자인... 크기도 A5크기다. 저자는 2008년에 별세했다.
- Michael Spivak, Calculus on Manifolds
최초의 학부용 다변수 해석학 교재로, 당시엔 대학원에서나 배웠던 다변수 해석학을 학부수준까지 끌어내린 고전명저다. 매우 유명한 다변수해석학 입문 교재이며 다변수해석학 버전 baby Rudin이라고 보면 되는데, 루딘과 비슷하게 매우 컴팩트한 양으로 정말 필요한 내용만 서술하면서 미분형식까지 다루고 스토크스 정리까지 가져간다. 물론 단점(?)도 루딘과 비슷한데, 이미 관련 내용에 익숙한 사람들은 몰라도 처음 공부하는 사람이 보면 매우 난해할 뿐더러 책에서 구체적으로 설명해주지 않는 부분은 자기가 하나하나 따로 공부하든지 다른 서적을 참고하며 채워 나가야 된다. 이런 류의 책이 으레 그렇듯이 매우 중요한 개념이나 정리를 연습문제로 돌리는 경향이 있으므로 연습 문제도 전부 풀어본다는 마음가짐으로 봐야 따라갈 수 있다.
- J. Munkres, Analysis on Manifolds
위상수학 교재의 저자로 유명한 Munkres의 또다른 명저. 위상수학과 마찬가지로 설명이 매우 자세한 편으로 독학용으로도 나쁘지 않으나, 막상 수학도들 사이에서의 선호도는 루딘이나 Spivak 등이 저술한 다른 명저들이 다변수 해석학의 지분을 나눠가지느라 위상수학 Munkres 저서만큼의 독보적인 입지에는 미치지 못하는 편으로, 처음부터 이 책을 읽기보다는 위상수학을 공부하면서 뒤늦게 접하는 경우가 많다.
- 양영오, 실해석학개론
리만 적분 이론만 알고도 공부할 수 있는 함수해석학 입문서. 크래이직 함수해석학책의 한글판 ver. 주로 바나흐 공간과 힐베르트 공간을 비중있게 다루며 작용소 개념도 배울 수 있다. 이 책의 가장 큰 장점은 역시 이해하기 어려운, 르베그 적분이론 자체를 아예 사용하지 않는다는 것이다. 대부분의 예를 수열공간과 리만 적분 이론을 통해 설명하므로 부담없이 읽을 수 있는 서적이다. 또한 모든 연습문제의 솔루션이 본문 뒤에 존재한다. 덤으로 Rudin의 Functional Analysis와 개념이 겹치는 부분이 많으니 심화과정의 서적을 읽을 때 참고해도 좋을 것이다.
6.2. 대학원
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis
위 PMA 저자가 쓴 악명높은 루딘 삼종세트 중 실/복소해석학 서적. 속칭 papa Rudin 또는 RCA. 기본적인 학부 해석학, 선형대수학, 위상수학 내용을 학습하지 않으면 사실상 이해가 불가능할 정도로 난이도가 있어서 주로 석사 과정 전후로 보는 책. 사실상 가장 좋은 방법은 같은 저자가 쓴 PMA를 먼저 읽는 것이다. 어려운 일이긴 해도 PMA를 상세히 읽은 독자라면 이 책을 보는 데 별 문제가 없을 것이라 확신한다. 석사 과정에서는 서울대학교에서 주로 활용하며, 포항공과대학교에서도 간혹 쓰는 듯.일부 영재고 괴수들은 고등학생 때부터 본다
- Walter Rudin, Functional Analysis
루딘이 쓴 함수해석학 서적. RCA의 내용이 선행되어야 그나마 읽을 만한 정도의 난이도의 교재이다. 배우는 내용은 기초가 되는 첫 단원인 위상벡터 공간을 시작으로 크게 편미분 방정식에 응용할 분포이론과 바나흐 대수 이론으로 나눌 수 있다. 그 밖에 군론에 응용되는 하르 적분도 나온다. 이쯤되면 해석학에서 볼 일이 없을 줄 알았던 대수학 개념들이 마구 쏟아져 나오기 시작한다.
- Elias M. Stein & Rami Shakarchi[32], Princeton Lectures in Analysis 시리즈
이름 그대로 프린스턴 대학교에서 대학원 수준 해석학 강의에 쓰는 책이다. 희한하게도 해석적 정수론을 테마로 쓰여진 책이며 총 4권이 있는데, 1권이 푸리에 해석, 2권이 복소해석학, 3권이 실해석학, 4권이 함수해석+α를 담고 있다. 해석학 교재 중에서는 알 만한 사람들은 다 아는 수준의 유명세를 타고 있으며 1권과 2권은 학부 교재로 써도 무리가 없을 정도로 친절한 책이기도 하지만[33] 간혹 증명이 깔끔하지 못하다든지, 4권의 내용이 중구난방이라든지, 연습문제의 힌트가 너무 친절하다든지 하는 등의 이유로 호불호가 갈린다. 또한 각 권의 내용이 독립적이지 않고 이전 책의 내용을 알고 있다는 전제하에 진행된다는 것도 주의할 점.[34] 2022년 1권과 2권 번역본이 출간되었다.그나마 학부에서도 쓸 수 있는 1,2권과 달리 3,4권은 빼도박도 못한 대학원 내용이라 번역은 요원할 것이다.
실제 Stein 시리즈는 학부생 및 대학원생들의 평가가 상당히 엇갈리는 편이다. 이유는 내용 자체가 실질적인 테크닉을 많이 담고 있기 때문이다. 예시로 1권 푸리에 해석학에서 슈바르츠의 클래스에 대해 그냥 받아들이고 푸리에 변환을 이용한 PDE 풀이를 진행한다거나, 3권 실해석 챕터 1은 아예 실수공간을 기본 전제로 내용을 전개하느라 컴팩트집합의 정의를 하이네-보렐 정리 등의 빌드업 없이 그냥 유계 폐집합이라고만 못박아두며, 가측집합의 정의 또한 시그마 대수에서 시작하는 전통적인 빌드업 없이 개집합을 갖고 정의한다. 이러한 내용전개는 이 책을 통해 해석학의 기초를 쌓아 올려야 하는 학부생 수준에서는 부적절하다는 평가를 받기도 하고, 해석학을 전공할 생각이 없는 사람들은 '그럼 이 책 왜 읽음?'이라는 회의에 빠지기도 한다.[35] 하지만 그럼에도 해석학 전공자들 사이에서는 명저로 평가받는데, 전개나 내용설명 안에 해석학에서 많이 사용하는 테크닉들이 자연스럽게 녹아있고, 연습문제 또한 문제를 위한 문제가 아닌 정말 해석학 전공자에게 도움이 되는 실질적인 연습문제들로 구성되어 있기 때문이다. 해석적 정수론이라는 테마가 다소 마이너한 주제일 수 있으나 그 속에 녹아있는 증명과정과 내용들은 해석학 전공자들에게 피가 되고 살이 될 내용들이며, 푸리에 해석학은 해석학의 꽃으로까지 꼽히는 중요한 분야임에도 불구하고 학부생들에게 가르치기에 적합한 다른 교과서도 드문 형편이다보니 이 시리즈를 애용하는 교수들이 많다.
7. 관련 인물
해석학을 공부하다 자주 보게 되는 인물들로는 오귀스탱루이 코시(Augustin Louis Cauchy), 조제프 푸리에(Joseph Fourier), 브룩 테일러(Brook Taylor), 베른하르트 리만(Bernhard Riemann), 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstraß), 앙리레옹 르베그(Henri-Léon Lebesgue) 등이 있다. 복소해석학을 공부하다 보면 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauß)와 르죈 디리클레(Lejeune Dirichlet)도 자주 만나게 된다. 각 잡고 공부하다보면 니콜라 부르바키(Nicolas Bourbaki)와 그해석학 공부가 니콜라 부르바키 등 20세기 수학자나 필즈상 초창기 수상자들의 이름을 접하는 경지에 이르면 해석학 공부는 더 이상 해석학만으로 이뤄지지 않는다. 위상수학이나 대수학, 기하학, 편미분방정식 등의 다양한 분야와도 서로 경계를 넘나들며 현대수학 전반을 섭렵하게 된다. 20세기부터는 해석적 정수론이 흥하기 때문에[36] 테렌스 타오 등을 비롯해 현대 수학자들 중 정수론 분야의 만렙 석학들도 알고 보면 해석학으로 학위를 받은 예가 적지 않으며, 이외에도 해석학 연구는 안드레이 콜모고로프가 해석학의 언어로 재정립한 확률론이나 통계학, 동역학계 이론, 수리물리학, 금융공학 등 다양한 분야로도 가지를 뻗어나가는 중이다.
[1] '파악하고 이해하다'라는 의미로 쓰이는 '해석'은 解釋으로 한자가 다르다. 임의의 함수를 테일러 급수, 푸리에 급수 등으로 쪼개어 푼다고 이해하면 뜻을 연상하기 쉽다.[2] 기수, 선택공리, 순서수도 공부해두면 아이디어를 찾을 때 도움이 된다.[3] 이 중 체의 공리는 사실 현대대수학에서 한 학기 가까이 여러 성질들을 차근차근 쌓아가면서 확보해야 하는 나름대로 '고지'라 할만한 파트인데, 해석학에서는 군이니 환이니 하는 잡다한 것을 건드릴 여유가 없이 바로 실수의 성질을 다뤄야 하기 때문에 학생들은 별 수 없이 이 10가지의 성질을 닥치고 암기해야만 한다. 물론 쪽지시험이나 중간고사에서 체의 공리 10가지를 전부 기술하라 출제하는등의 강제성이 없다면 그냥 '사칙연산이 그럴싸하게 정의되는' 집합이라고 퉁치고 넘어가는 학생들도 적지 않으나, 현대대수에서 군과 환을 공부하면서 조건을 여럿 추가하여 체를 정의하고 나면 이불킥을 못 면한다. 그래도 이 파트에서는 상한, 하한 등등 많은 생소한 용어를 습득하기도 바쁘니까 가르치는 교수들도 체의 공리에 그리 많은 시간을 할애하지는 않는다.[4] '사잇값 정리'로도 불린다.[5] 같이 배우는 선형대수가 교수 재량에 따라 현대대수 등의 고급과정의 용어와 접근방식까지 등장하여 학생들을 심한 멘붕에 빠뜨리기도 하는 반면 해석학은 커리큘럼이 비교적 정형화한 편이라 처음부터 끝까지 그냥 일관적으로 어렵다. 선형대수도 엄연히 대수 계열이기 때문에 어찌 보면 당연한 말이다. 물론 교수도 사전지식이 필요하다는 것을 잘 알기 때문에 이런 과정은 보통 선대II나 고급선형대수학이라는 수업에서 따로 가르친다.[6] 정확히는 집합론과 완비순서체로서의 실수에 대한 정리, 그리고 코시수열에 관한 내용을 다룬 후에야 엡실론-델타 논법을 다루는데, 그 때가 되면 벌써 해석학개론 첫학기의 중간고사 기간이다.[7] 고등학생이 못 배울 만큼의 고난도라는 말은 아니다. 해석학 및 전공수학의 사고방식에 익숙해지면서는 오히려 고등학교 문제풀이보다 쉽다 여기는 수학과생들도 있다. 다만 일반적인 고등학생들이 체화하기엔 집합론을 시작으로 완비순서체 공리의 도입 등 물밑작업에만도 상당한 시간이 걸리기 때문에 시간적 여유가 없을 뿐이다. 안 그래도 배울 것도 많고 시험과 교육과정도 논술형이랑 거리가 먼데 여기에까지 시간을 투자하기에는 낭비다.[8] 컴팩트 디스크 할 때 나오는 그 컴팩트이다. 작은데 용량은 꽉 찬 디스크를 컴팩트 디스크라 부르듯, 작고 꽉찬 집합. 간단한 예로, 유클리드 공간 [math(\mathbb R)]n 의 부분집합이 compact set이면 닫힌 유계집합이고, 그 역도 성립한다. 무한 차원 벡터공간에서는 역이 성립하지 않는다. 대한수학회에서는 '옹골 집합'이라고 번역하고 있으며 일부 서적에서도 그런 용어를 쓰지만(Rudin 3판 번역본, 김김계 등), 보통은 대학 수업에서는 원어 그대로 그냥 compact라고 하는 경우가 많다.[9] 보통은 그 이상의 난이도다. 엡실론-델타 이상으로 추상적인 개념이기 때문이다.[10] 2차원으로 본다면 원 모양을 갖다 쓰거나, 별 모양을 갖다 쓰거나, 그 외의 임의의 모양들을 아무렇게나 한다.[11] 그나마 해석학개론의 경우에는 이전부터 거리공간이라는 이름을 듣기도 전부터 접해 온 거리공간의 성질을 중심으로 설명하기 때문에 이해하기가 수월하다. 하지만 해석학에서 다룬 것들을 극도로 일반화하여 접근하는 위상수학에서 더 일반화되고 다양해진 컴팩트성을 접하면 머리가 어질어질해진다.[12] 내용 자체가 익숙함과는 거리가 엄청 멀고, 엡실론-델타를 유도할 수만 있으면 많은 것이 해결되는 해석학과 달리 익혀야 하는 내용이 엄청나게 많은데다가 어려운 문제는 해석학 이상으로 맛깔난 아이디어까지 요구하는지라, 잘 맞지 않는다면 해석학 저리 가라 수준의 지옥을 선사한다.[13] 물론 대학 시험은 해석학 뿐만 아니라 어떤 전공의 어떤 과목이든 뭐라도 써서 내는 것이 백지보다 낫긴 하다.[14] 칸토어의 방법론으로, modulo는 사칙연산의 나머지를 추상화시킨 것인데, 모든 유리수 코시수열을 수렴값이 같다라는 관계로 나누어 그 나머지를 이루는 coset을 각각의 실수로 정의한 것이다. 즉, 0으로 수렴하는 모든 유리수 코시수열의 집합을 0, 1로 수렴하는 모든 유리수 코시수열의 집합을 1, 이런식으로 정의해서 사용하기도 한다.[15] 위상수학이라 하면 구멍이니 도넛이니 매듭이니 이런 것을 떠올릴 수 있겠지만 사실 위상수학은 집합의 원소들이 이루는 공간을 포함관계의 측면에서 다루는 학문이다. 일반위상수학의 논리 전개는 집합을 대상으로 하는 논리적 판단이 대부분이므로 집합론에 대한 학습이 필수적이며 실수집합이 아닌 집합에서 정의되는 함수에 대해서 미적분을 논하는 가장 기본적인 예시는 확률론이다. 확률은 확률이 부여되는 사건집합(event set)에서 정의되는 함수이고 기댓값은 사건집합에서 정의되는 함수에 대한 적분이 된다. 따라서 확률론은 기본적으로 해석학에 속한다.[16] 기하학은 이들을 이용해서 다루는 대상에 가깝다. 그래서 대수학과 해석학에 각각 대응되는 대수기하학, 미분기하학이 있다.[17] 선형대수학 수업에서 내적공간을 다루는 진도는 교과서 목차 기준으로 최후반부에 위치하는 경우가 대부분이다. 아무리 지도교수가 행렬의 분해나 계산이나 수치적 방법 등등 응용수학 관련 주제를 건너뛰더라도 함부로 건너뛰어서는 안될 주제가 전반부에서 후반부까지 골고루 포진해 있기 때문에 내적공간 진도를 첫 학기부터 시작하기는 쉽지 않다.[18] 다변수함수론을 해석학개론 시간에 안 가르치는 학교에서는 다변수해석학 수업을 따로 개설하는 대신 교수간 상의를 거쳐 미분기하학 수업의 초반부 강의시수 일부를 다변수함수에 할애하기도 한다. 다만 이 경우 미분기하학의 곡선론, 곡면론을 비롯한 메인 커리큘럼이 빠듯해질 수 있다.[19] 두 갈래가 아주 철저하게 구분되는 것도 아니다. 일례로 다변수 미적분학에서 적분순서 교환이라는 사이다를 선사하는 중적분의 필살기 푸비니의 정리는 다변수함수를 진지하게 다루지는 않는 실해석학 교재에서도 함수열과 르베그 적분을 다루면서 증명할 수 있다. 또한 실해석학에서도 가측함수에 대해 다루면서도 위상공간론에서의 연속함수와도 유사한 서술방식이 튀어나오는등 다변수함수와 위상수학의 관계와는 또다른 방식으로 위상수학과의 접점을 엿볼 수 있다.[20] 분과학문으로서 주로 함수해석학이라고 불리지만 이 이름은 오역으로 여겨질 수 있다. 여기서의 functional은 단순한 함수가 아니라 범함수이기 때문. 하지만 한국의 학자들도 그러거나 말거나 함수해석학이라는 말을 계속 쓰고 있으며, 대한수학회 역시 공식 번역어에다 억지로 글자를 추가하려는 고집은 없는 듯 하다.[21] 사실 2학년 해석학이 어떤 면에서 '실해석학개론'임은 사실이지만, 실해석학 배우려는 고학년생이 처음 들여다보는 책도 마찬가지다. 적어도 공부할 사람 헷갈리지는 않게 해야지 이런 이유로 2학년생들 덜 헷갈리라고 고학년 과정의 실해석, 복소해석 강의나 교과서 제목을 실변수함수론, 복소함수론 같은 제목으로 미묘하게 바꿔 내놓기도 한다.[22] Billingsley저, Ash저 등 여러 확률론 교과서들이 제법 깊이 있게 측도론을 다루는 것은 사실이나, 실해석학 시간에 일부러 확률론 책까지 꺼내드는건 주객전도라 여겨질 수 있다. 물론 확률론이나 금융수학 관련 수업을 담당하는 교수가 실해석학까지 가르친다면 르베그 적분론을 자신이 주로 쓰는 책으로 가르치는 것이 이해 못 할 선택은 아니겠으나, (아직) 상경계열로의 진로에 무관심한 학생의 입장에서는 난이도는 오르는데 내용은 산만해지니 환장할 노릇이다.[23] 사실 세세하게 따지면 미적분학 책들도 차이가 작지만은 않다. 그러나 수학과에서는 어차피 해석학 시간에 사생결단을 낼거라면서 1학년 미적분학에 크게 목매지 않는 경향도 있어서 일부 교수나 강사들은 미적분학에 목매지 말고 일반물리 같은 교양학점에 신경쓰라고 한다. 그래서 이를 곧이곧대로 받아들인 사람들은 진짜로 아무 책이나 대강 1회독하고 넘어가는 경우가 꽤 많다. 그러나 정작 해석학 수업은 미적분학을 본 수강생들을 전제하고 진행된다. 애당초에 학부 해석학 과정이 미적분학에서 배운 내용들을 훨씬 심도 있게 논리적으로 익혀서 수학적인 사고방식을 터득하고, 앞으로의 상위 과목들을 대비하기 배우는 과목인데, 미적분학을 진짜로 대충 하는 것은 말이 안 된다. 그러나 어지간한 학교에서는 미적분학은 전공예비가 맞고, 1학년 때 교양학점이나 전공예비학점을 안 채워 놓으면 나중에 커리큘럼이 꼬일 수도 있으므로 굳이 미적분학에 전공과목 수준으로 목숨을 걸고 덤빌 필요까지는 없다. 다만 열심히 해 놓으면 약빨이 상당한 것은 사실이니, 대충 하지도 말자.[24] 현대 해석학에서 다루는 리만 적분은 엄밀히 말하면 다르부 적분이며, 이는 리만 적분과 동치이다.[25] 바틀 본인은 이 책과 자신의 논문 Return to the Riemann Integral에서 리만 적분에 게이지라는 개념을 도입한 일반화된 리만 적분이 르베그 적분을 대신할 수 있다고 주장하고 있지만, 일반적으로 받아들이는 주장은 아니다. 다만 위에서 소개한 Abbott의 서적에서도 이 내용을 다루는 것을 보면 동의하는 학자들이 없지는 않은듯 하다.[26] 고려대학교에서 학부 수업에 사용한다. 또한 포항공과대학교에서 학부 수업에서 사용하며 1학기만에 8단원까지 나가는 위엄을 보인다. 이 정도면 어지간한 학교에서는 한학기 반은 공들일 분량. 연세대학교에서도 교수에 따라 이 책을 사용하기도 한다. 그런 경우 포항공대처럼 1학기 만에 8단원 까지 나간다.[27] 목차만 봐도 알 수 있는데, 9장부터의 페이지 수 배분이 터무니없이 적다. 루딘 PMA의 9장부터의 내용을 후술할 다른 책들과 비교하자면, Wade 저서는 목차가 다변수, 실해석학, 푸리에 해석 챕터가 일변수 챕터와 같은 7개 챕터로 구성되었고, 페이지 수 기준으로는 뒤 7개 챕터의 분량이 앞 7개 챕터의 120%는 된다. 이슬비 저서 역시 비슷한 구성과 비슷한 분량이다. 반면 루딘의 PMA는 전체를 합쳐도 350여 페이지에 불과할만큼 내용의 방대함과 난해함에 비해 턱없이 얇고 판형도 작은 책이 가장 어려운 파트인 9장부터의 후반부 분량은 150페이지에도 못 미친다. 참고로 다변수해석학 버전 Rudin이라는 Spivak의 Calculus on Manifolds가 약 150페이지다! 9장부터의 어려운 내용을 세부 분야로 파고 들어가지는 않더라도(즉, 복소해석학, 실해석학 서적을 따로 찾아보지는 않더라도) 충분히 이해하기 쉽게 다루려면, 1~8장까지의 내용만큼보다도 페이지 수를 훨씬 잡아늘려야 한다.[28] 특히 2장 위상수학 문제들은 풀면 (특히 compact set을 이해하고 싶은 사람들에게는) 많이 도움된다는 의견들도 많다.[29] 두 교수들이 번역한 책은 더 있는데, 하나같이 원서들이 평가가 좋은 책들인데 비해 번역판은 순우리말로 나타낸 용어가 호불호가 갈리며 이런 특이한 용어들을 소개하느라 책의 부피가 크게 늘어났다는 특징이 있다.[30] 예를 들어서, 위상 단원에서는 compactness와 limit point compactness가 거리 공간에서는 서로 동치라는 내용이 PMA에서는 연습문제로, 김김계에서는 (이 두 가지 compactness와 sequential compactness의 동치성까지 추가하여) 증명된 정리로 소개되어 있다. 적분 단원의 경우, 리만-스틸체즈 적분을 PMA가 단순히 단조증가함수를 통해 접근한다면, 김김계에서는 유계변동함수라는, 보다 일반적인 개념을 통해 접근한다.(사실 닫힌 구간에서는 유계변동함수와 두 단조증가함수의 차가 동치라서 엄청난 차이는 아니기는 하지만, 이 동치관계는 PMA에서는 소개되지 않고 김김계에서 소개된다.)[31] 이를테면 유리수와 정수의 개수가 같다는 말을 못 믿는 중고등학생에게 어떻게 설명해볼까? 하는 내용이나, 수능 끝난 고3들에게 완비성이 뭔가 가르쳐줄 100분짜리 강의안을 써보자 하는 내용. 교직에 관심 없는 입장에선 엉뚱하고 희한하게만 느껴지지만 임용시험 준비하는 수험생들에게는 나름대로 동기부여로 작용하는 부분이다. 이도 마찬가지로 도약하기 파트에 있는 문제들이다.[32] 벨기에 출신 수학자인 스타인 교수는 필즈 메달리스트 찰스 페퍼먼, 테렌스 타오 등의 석학을 가르친 교수로, 2018년 사망했다. 라미 샤카르지는 페퍼먼의 지도를 받던 대학원생이었는데, 2000년 1권이 나오고 2002년에 졸업했지만 마지막권까지 저술에 참여했다. 이 사람은 중동의 거대 금가공 및 거래소인 Emirates Gold DMCC 창업주 무함마드 알 샤카르지의 차남으로, 박사 졸업 후에는 아버지의 회사에서 일하고 있다. 진짜 금수저[33] 실제로 서울대학교와 한양대학교에서는 2권을 학부 복소함수론 교재로 사용하며, 포항공과대학교에서도 간혹 채용한다. 1권도 서울대학교와 KAIST에서 학부 푸리에해석 교재로 사용한다. 연세대의 경우 Stein 시리즈를 좋아하는 교수와 그 교수의 제자가 다시 교수로 채용되면서(...) 학부 푸리에 해석 수업에 1권을, 복소해석학 수업에 2권을, 심지어 대학원 실해석 수업에 Stein 3권을 쓰기도 한다. 이정도면 해석스쿨이 아니라 조화해석스쿨이 아닐까[34] 예를 들어 2권 복소해석에서는 1권 푸리에 해석에서 배운 내용을 모두 알고 있다고 전제하고 1권의 내용을 증명 없이 가져다 쓴다. 하지만 교수의 적절한 지도만 받쳐준다면 1, 2권 선에서는 큰 문제가 없다는 평도 있다. 특히 복소해석은 많은 대학들이 전공필수로 지정해놓는 반면 푸리에 해석은 학부 선에서는 안 듣고 졸업할 수도 있으며 아예 대학에서 학부생 대상의 푸리에 해석 수업을 열지 않는 경우도 많기 때문에 1권보다 2권을 먼저 봤다는 수학과생들이 꽤 있다.[35] 수학과는 논문을 써야 하는 시기가 아니라면 석사과정도 그냥 학부 5, 6학년이나 마찬가지일 정도로 '다방면으로 골고루 가르치는' 커리큘럼이 이어지는 학과이다. 꼭 PDE나 조화해석 같은 분야로 진출하지 않을 학생들도 해석학 계열 수업을 맡은 교수가 이 책을 좋아하면 이 시리즈를 전혀 안 보고 졸업하기는 힘들다는 것. 이런 점 때문에 악명이 필요 이상으로 과장되는 경향도 있다.[36] 당장 위에 써진 교과서들 중에도 있듯이 한껏 작정하면 해석적 정수론을 중심으로 해석학 교과서를 만들 수도 있고 대학원 해석학 강의의 커리큘럼을 짤 수도 있으니...