1. 개요
최대·최소 정리(最大·最小 定理, extreme value theorem; EVT)는 함수의 최댓값, 최솟값에 관한 정리로, 연속함수의 대표적인 성질 중 하나이다.이 성질은 미분가능성과는 별개의 성질이기 때문에, 바이어슈트라스 함수같이 미분이 불가능한 연속함수에서도 참이다.
2. 진술
2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리
| [ 정리 ] 최대·최소 정리(수학Ⅱ(2015)) 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. |
2.2. 최대·최소 정리(extreme value theorem)
| [ 정리 ] 최대·최소 정리(extreme value theorem) 컴팩트집합 [math(X)]에서 정의된 연속함수 [math(f: X \to \mathbb R)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. |
위 정리는 다음과 같이 [math((\mathbb R, <))] 뿐만이 아닌, 임의의 전순서 집합 위의 순서 위상에 대한 정리로 일반화할 수 있다.
| [ 정리 ] 최대·최소 정리(extreme value theorem) 컴팩트집합 [math(X)]와 전순서(total order) [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))] 사이에 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. |
3. 증명
당연해 보이는 것의 증명이 더욱 어려운 법이다. 이 정리를 증명하기 위해서는 유계(boundness)나 컴팩트성(compactness)을 알아야 한다.3.1. 컴팩트성을 사용하지 않은 증명
| [ 보조정리 ] 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 유계 함수이다.
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| [ 정리 ] 최대·최소 정리(수학Ⅱ(2015)) 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. {{{#!folding [ 증명 ] [ 보조정리 ]에 의해 [math(f)]는 [math([a, b])]에서 유계이다. 그러므로 집합 [math(\{ f(x) \,|\, x \in [a ,b] \})]의 최소 상한 [math(M \in \mathbb R)]이 존재한다. 이제 [math(f(x) = M)]인 [math(x \in [a ,b])]가 존재함을 증명하자. 결론을 부정하여, 임의의 [math(x \in [a ,b])]에 대해 [math(f(x) \neq M)], 즉 [math(f(x) < M)]을 가정하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수 [math(g: [a ,b] \to \mathbb R)]는 잘 정의되며, 연속이다. (연속함수의 성질 참고.) | <table width=100%> [math(\displaystyle \begin{aligned} g(x) = \frac1{M-f(x)} \end{aligned} )] |
귀류법 가정이 틀렸으므로, [math(f(x) = M)]인 [math(x \in [a, b])]가 존재한다. 즉, [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값 [math(M)]을 가진다. 한편, [math(\inf f = -\sup(-f))] 및 [math(\min f = -\max(-f))]을 이용하면 최솟값에 대한 결론도 얻을 수 있다. [math(\blacksquare)]
}}}||
3.2. 컴팩트성을 사용한 증명
컴팩트성과 관련된 다음 두 개의 보조정리를 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.| [ 보조정리 1 ] 컴팩트집합 [math(X)] 상에서 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]의 치역 [math(f(X))]는 컴팩트 집합이다.
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| [ 보조정리 2 ] 전순서 [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))]의 임의의 컴팩트집합 [math(Z)]의 최소상계 [math(\sup Z)] 및 최대하계 [math(\inf Z)]는 존재하고, [math(Z)]에 포함된다. 즉, [math(Z)]는 최댓값과 최솟값을 포함한다.
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| [ 정리 ] 최대·최소 정리(exterme value theorem) 컴팩트집합 [math(X)]와 전순서(total order) [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))] 사이에 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. [ 증명 ] [ 보조정리 1, 2 ]에 의해 [math(f(X))]는 최댓값과 최솟값을 포함하는 컴팩트집합이다. [math(\blacksquare)] |
4. 관련 문서
[1] 이 정의의 역은 성립되지 않는다. 대표적인 반례로 완전 불연속 함수의 하나인 디리클레 함수가 있는데, 이 함수는 임의의 구간에서 유리수에서 최댓값 1, 무리수에서 최솟값 0을 띠므로 이 정의에 의해 연속함수로 간주되는 모순이 생긴다.