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| 대표적인 역함수 관계인 [math(boldsymbol{a^x})]와 [math(boldsymbol{log_a{x}})] |
1. 개요
逆函數 / inverse function어떤 함수의 독립변수와 종속변수 사이의 대응 관계를 거꾸로 한 함수를 말한다. 함수 [math(f:X\to Y)]가 전단사(일대일대응)이면 그 역함수 [math(f^{-1} :Y\to X)]를 생각할 수 있는데, 이는 집합 [math(Y)]의 원소 [math(y)]에 대해 [math(f\left(x\right)=y)]인 유일하게 존재하는 [math(x)]를 대응시키는 것이다. 즉,
[math(f\left(x\right)=y\Leftrightarrow f^{-1}\left(y\right)=x)]
이고, 함수의 정의 때문에 이는 [math(f)]가 전단사일 때밖에 생각할 수 없다. 전단사가 아닌 함수는 조각적 정의나 복소해석학에 기반한 해석적 확장[1] 등을 사용해야 한다.
2. 성질
역함수가 존재하는 함수 [math(f: X \to Y)]와 그 역함수 [math(f^{-1}: Y\to X)]에 대하여 다음이 성립한다.- 본 함수와 역함수의 합성
- [math(f \circ f^{-1})]는 [math(Y)]에서의 항등함수이다.
- [math(f^{-1} \circ f)]는 [math(X)]에서의 항등함수이다.
- [math(f)]의 정의역과 치역이 실수 전체 집합이면, [math(f \circ f^{-1}=f^{-1} \circ f=I)] (단, [math(I)]는 항등함수)
- 역함수의 그래프 [math(\boldsymbol{y=f^{-1}(x)})]의 그래프는 본 함수 [math(\boldsymbol{y=f(x)})]와 [math(boldsymbol{y=x})]에 대하여 대칭이다.
- 이는 본 함수의 그래프가 [math((x,\,f(x)))]를 지나면, 역함수는 정의에 의하여 [math((f(x),\,x))]를 지나기 때문이다.
- 본 함수가 미분 가능한 함수이고 그 도함수의 함숫값이 0인 점이 있을 경우, 역함수의 도함수에서 대응점은 특이점이 된다.
- 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점
- 증가하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점이 존재하면 그 점은 [math(y=x)] 위에 있다.
- 감소하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점의 개수는 홀수이며, 항상 [math(y=x)] 위의 교점을 1개 갖는다.
3. 도출
역함수는 [math(y=x)]에 대칭이기 때문에, 다음과 같은 방법으로 역함수를 도출할 수 있다.
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3.1. 예 1
| [math(y=3x+1)] |
- 본 함수의 [math(x)], [math(y)]의 자리를 바꾼다.
- 1의 식에서 다시 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(x=3y+1)]}}}
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(3y=x-1 \;\to \; \boldsymbol{ y=\dfrac{x - 1}{3} })]}}}
물론 처음부터 x에 관한 식에 정리한다음 x와 y를 바꿔도 되긴 한다.
3.2. 예 2
| [math(y=e^{x-4})] (단, [math(e)]는 자연로그의 밑) |
- 본 함수의 [math(x)], [math(y)]의 자리를 바꾼다.
- 1의 식에서 다시 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(x=e^{y-4})]}}}
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \begin{aligned} \ln{x}&=\ln{e^{y-4}} \\ &=y-4 \; \to \; \boldsymbol{y=\ln{x}+4} \end{aligned})]}}}
4. 역함수의 예
- 이차함수 ↔ 무리함수(제곱근함수)
- 오차함수 ↔ 브링 근호 함수
- 삼각함수 ↔ 역삼각함수
- 지수함수 ↔ 로그함수
- [math(x)]가 곱해진 지수함수 ↔ 람베르트 [math(W)] 함수
- 쌍곡선함수 ↔ 역쌍곡선함수
- 타원적분 ↔ 타원곡선
- 구데르만 함수 ↔ 구데르만 역함수
- 미분 ↔ 부정적분[2]
5. 역함수의 미분
6. 역함수의 적분
원본 함수 대비해서 비교가 되지 않는 난도를 자랑한다. 가령 삼각함수와 지수함수는 부분적분에서 LIATE 법칙의 오른쪽(적분 우선)에 속하는 반면 그 역함수인 역삼각함수와 로그함수는 왼쪽(미분 우선)이다. 심지어 람베르트 [math(W)] 함수 같은 경우 LIATE 밖의 함수답게 로그함수 적분을 따위로 만들 정도의 까다로움을 자랑한다.정적분의 경우는 해석기하학적 방법을 이용할 수도 있다.
7. 기타
- 북한에서는 역함수를 '거꿀함수'라고 한다.
[1] 가령 [math(\sin)]의 역함수인 [math(\arcsin)]의 경우 [math(|x|>1)]인 실수 영역에서는 [math(\pi\cdot{\rm sgn}(x)/2+\boldsymbol{ik})](단, [math(k \in \mathbb R\setminus\{0\})])꼴로 함숫값을 표현한다.[2] 범'함수'로서의 역함수 관계. 이는 따로 견인(pullback)이라고 칭한다.