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1. 개요
Pullback범주론에서 특정 다이어그램의 "보편적 제한"을 나타내는 구조로, 극한의 한 예시이다. 견인(牽引)으로 번역되기도 한다. 당김은 밂(pushout)의 대칭적 개념으로, 주어진 사상과 대상을 기반으로 범주 내에서 새로운 대상을 생성한다. 이는 대수학, 위상수학, 논리학 등 다양한 분야에서 중요한 도구로 활용된다.
2. 정의
2.1. 당김의 수학적 정의
범주 [math(C)]에서 주어진 두 사상 [math(f : X \to Z)]와 [math(g : Y \to Z)]가 있을 때, 당김 [math(P)]은 다음 데이터를 포함한다:- 대상 [math(P)]
- 사상 [math(\pi_X : P \to X)]와 [math(\pi_Y : P \to Y)]
이 데이터는 다음 보편 성질을 만족해야 한다:
임의의 대상 [math(W)]와 사상 [math(u : W \to X)], [math(v : W \to Y)]가 [math(f \circ u = g \circ v)]를 만족할 때, 유일한 사상 [math(h : W \to P)]이 존재하여 다음을 만족한다:
[math(\pi_X \circ h = u \quad \text{및} \quad \pi_Y \circ h = v)]
[math(\pi_X \circ h = u \quad \text{및} \quad \pi_Y \circ h = v)]
당김을 다음과 같은 다이어그램으로 표현할 수 있다:
[math(\begin{array}{ccc}
P & \xrightarrow{\pi_Y} & Y \\
\downarrow{\pi_X} & & \downarrow{g} \\
X & \xrightarrow{f} & Z
\end{array})]
P & \xrightarrow{\pi_Y} & Y \\
\downarrow{\pi_X} & & \downarrow{g} \\
X & \xrightarrow{f} & Z
\end{array})]
2.2. 기호적 표현
당김은 일반적으로 [math(P = X \times_Z Y)] 또는 [math(P = \text{pullback}(f, g))]로 표기된다.3. 성질
3.1. 보편 성질
당김은 보편 성질을 만족하여, 주어진 두 사상을 "제한"하는 가장 일반적인 구조를 제공한다. 이는 다음과 같이 요약된다:[math(h : W \to P)]는 [math(u)]와 [math(v)]의 모든 조합을 유일하게 설명한다.
3.2. 대칭성과 쌍대성
당김은 밂의 대칭적 개념으로, 범주의 대칭성과 이중성을 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다.3.3. 극한과의 관계
당김은 극한의 특수한 경우로, 작은 다이어그램의 극한으로 나타날 수 있다.4. 예시
- 집합의 범주 Set: 집합의 범주에서 당김은 다음과 같이 정의된다:
- 주어진 [math(f : X \to Z)]와 [math(g : Y \to Z)]에서, 당김 [math(P)]은 다음 조건을 만족하는 모든 순서쌍 [math((x, y))]의 집합이다:[math(f(x) = g(y)][math(P = \{(x, y) \in X \times Y \mid f(x) = g(y)\})]
- 위상 공간의 범주 Top: 위상 공간의 범주에서 당김은 두 공간의 곱집합 위에 추가 조건을 부여한 구조이다. 예를 들어, [math(X \times Y)]에서 특정 조건 [math(f(x) = g(y)]를 만족하는 부분 공간으로 정의된다.
- 군의 범주 Grp: 군의 범주에서 당김은 두 군 준동형 [math(f : G \to H)]와 [math(g : K \to H)]에 대해 다음과 같이 정의된다:
- 당김 [math(P)]은 다음 조건을 만족하는 원소들의 집합이다:[math(P = \{(g, k) \mid f(g) = g(k)\})]
5. 밂과 당김의 차이점
5.1. 정의적 차이
- 당김은 "사상을 제한"하는 구조이다:
- 밂은 "사상을 확장"하는 구조이다:
[math(P = X \times_Z Y)]
[math(P = B \amalg_A C)]
5.2. 보편 성질 비교
- 당김: 대상 [math(P)]에서 두 사상으로 제한된다.
- 밂: 대상 [math(P)]에서 두 사상으로 확장된다.
[math(\pi_X \circ h = u \quad \text{및} \quad \pi_Y \circ h = v)]
[math(h \circ i_B = u \quad \text{및} \quad h \circ i_C = v)]
5.3. 예시 비교
- 집합의 범주:
- 위상 공간의 범주:
- 당김: 조건을 만족하는 튜플 집합.
- 밂: 동치 관계를 통한 결합.
- 당김: 공간의 교차와 조건 만족.
- 밂: 공간의 결합과 동일화.