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최근 수정 시각 : 2026-06-16 21:35:01

퀴버


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1. 개요2. 명칭3. 정의4. 퀴버 범주5. 자유 범주
5.1. 예시5.2. Cat과 Quiv 간 수반쌍
6. 퀴버 표현7. 기타8. 관련 문서

1. 개요

Für einen solchen 4-Tupel schlagen wir die Bezeichnung Köcher vor, und nicht etwa Graph, weil letzterem Wort schon zu viele verwandte Begriffe anhaften.
Unzerlegbare Darstellungen I[1]
Quiver / Köcher

범주론에서 범주 내 항등 사상과 사상의 합성 등 성질을 제거한 구조.

2. 명칭

명칭의 어원은 화살통 내지 화살집을 뜻하는 독일어 köcher으로, 1972년 피에르 가브리엘(Pierre Gabriel)이 일반적으로 이산수학에서 쓰이는 그래프와 구분하기 위해 별도로 명명했다. 수학적으로는 비슷한 개념일 수 있어도 graph라는 용어에 붙은 맥락이나 내포하는 의미가 이미 너무 많아 범주론적 용어를 새로 제시한 것. 범주론에서 흔히 사상(morphism)들을 arrow로 부른다는 것을 생각하면 나름 적절한 비유이다.

기본적으로 이산수학의 유향 다중그래프(directed multigraph)와 비슷하게 보아도 문제가 없기 때문에 따로 quiver라고 부르지 않고 graph라고만 하는 교재가 있어 이게 단순 그래프(simple graph)인지 multigraph가 될 수 있는지 주의가 필요하다. 특히 quiver를 class만큼 크게 잡는 경우도 맥락에 따라 있어 quiver라고 별도로 부르는 걸 선호하는 학자도 많다.

본 문서는 음차하여 퀴버(quiver)라고 표기한다. 굳이 번역하자면 '동개' 정도가 될 것이다.

3. 정의

퀴버(quiver) [math(Q)]는 다음과 같은 4-튜플 [math(Q = (V, E, s, t))]로 정의한다.
  • [math(V)]: 정점(vertex)의 집합.
  • [math(E)]: 간선(edge)의 집합.
  • [math(s)]: [math(s : E \to V)] 꼴의 함수.
  • [math(t)]: [math(t : E \to V)] 꼴의 함수.

여기서 [math(V)]는 대상(object)들의 모임, [math(E)]는 사상(morphism)들의 모임, [math(s)]와 [math(t)]는 각각 정의역과 공역 할당에 대응된다. 즉, 일반적인 범주(category)의 정의에서 크기가 집합으로 줄어들고 항등 사상(identity morphism)의 존재성과 사상 합성의 존재성, 그리고 그 합성의 결합법칙과 항등 사상의 항등성 등 대부분의 성질을 제거한 버전이다.

참고로 위 정의는 집합 크기의 quiver만을 다룬다. 필요한 경우 각 집합을 모임(class)으로, function을 class function으로 적절히 치환해 주면 된다.

이제 경로를 정의하자.
퀴버 [math(Q)] 내의 정점 [math(v)], [math(v')]와 음이 아닌 정수 [math(n)]에 대해 [math(n)]개의 항을 가지는 다음과 같은 간선열 [math(\hat p)]의 순서쌍 [math(p = (v, v', \hat p))]를 퀴버 [math(Q)] 내의 정점 [math(v)]에서 시작해 정점 [math(v')]에 도달하는 길이 [math(n)]짜리 경로(path)라 부른다.
  • [math(n = 0)] 일때 [math(v = v')]
  • [math(1 \leq n)] 일때 [math(s(p_1) = v)], [math(t(p_n) = v')]
  • 모든 정수 [math(1 \leq i < n)]에 대해 [math(t(e_i) = s(e_{i + 1}))]

길이 [math(n)]짜리 경로 [math(p = (v, v', \hat p))]와 [math(m)]짜리 경로 [math(q = (u, u', \hat q))]가 존재하여 [math(v' = u)]가 성립한다면, 두 경로의 합성 경로 [math(q \circ p)]는 [math(1 \leq i \leq n)]에 대해 [math((\widehat{ q \circ p })_i = p_i)], [math(n < i \leq n + m)]에 대해 [math((\widehat{ q \circ p })_i = q_{i - n})]인 [math(n + m)]항 간선열 [math(\widehat{ q \circ p })]와 [math(v)], [math(u')]의 순서쌍 [math(q \circ p = (v, u', \widehat{ q \circ p }))]로 정의된다.

이 경우 공경로(empty path), 즉 길이 0짜리 경로(empty path)는 [math(Q)]의 각 정점과 같고 길이 1짜리 경로는 [math(Q)]의 각 간선과 같다. 괜히 시작 정점 [math(v)]를 다루고 공경로를 허용하는 이유는 자유 범주 구성시 항등 사상의 구성에 필수적이기 때문이다.

극한 다이어그램은 길이가 무한할 수 있는데 왜 quiver 경로는 유한열이냐? 싶을 수 있는데 이 또한 자유 범주의 합성을 잘 정의하기 위해서이다.

4. 퀴버 범주

우선 범주에 들어갈 사상(morphism)부터 생각하자. 일반적인 그래프와 비슷하게 그래프 준동형 사상(graph homomorphism)을 생각하면 된다.
퀴버 [math(Q = (V_Q, E_Q, s_Q, t_Q))]에서 [math(P = (V_P, E_P, s_P, t_P))]로 가는 퀴버 준동형 사상(quiver homomorphism)[2] [math(f : Q \to P)]는 다음을 만족하는 두 함수들의 순서쌍 [math(f = (f_V, f_E))]으로 정의된다.
  • 함수 [math(f_V : V_Q \to V_P)]
  • [math(s_P(f_E(e)) = f_V(s_Q(e)))] 및 [math(t_P(f_E(e)) = f_V(t_Q(e)))]를 만족시키는 함수 [math(f_E : E_Q \to E_P)]
functorial하지 않은 functor가 떠오른다면 정답이다

즉, 아래 다이어그램을 가환시키는 두 함수 [math(f_V)], [math(f_E)]의 조합이라고 생각하면 좋다.
#!latex
\begin{CD}
V_Q @< s_Q << E_Q @> t_Q >> V_Q \\
@V f_V VV @VV f_E V @VV f_V V \\
V_P @<< s_P < E_P @>> t_P > V_P \\
\end{CD}
quiver homomorphism의 합성을 위 두 각 함수들의 합성으로 생각했을 때 이들의 합성이 quiver homomorphism임은 쉽게 보여진다. 위 다이어그램을 아래에 이어서 붙힌다고 생각해 보면 각 안쪽 다이어그램이 가환하므로 전체 다이어그램도 가환하여 합성이 quiver homomorphism의 조건을 만족시키기 때문. 비슷하게 결합성도 함수 합성의 결합성에서 바로 유도된다.

두 함수 [math(f_V)], [math(f_E)]를 모두 항등함수로 잡을 경우 위 다이어그램이 가환함은 자명하며, quiver homomorphism의 합성에서 항등 사상이 됨도 보여진다.

이제 모든 quiver들의 모임(class)을 생각하고 이들 간 quiver homomorphism을 사상으로 주면 범주를 이룸을 알 수 있으며 이를 [math(\mathbf{Quiv})]라고 표기한다.

5. 자유 범주

free category

앞서 quiver는 범주가 되지 않는다고 했지만 임의의 quiver에 대해 해당 quiver 내 경로들을 모으면 범주가 되고, 이런 범주를 항상 유일하게 생성할 수 있어 이를 자유 범주(free category)라 한다.

quiver [math(Q)]에 대해 다음과 같은 구성 [math(F(Q) = (V, \mathrm{Pth}(Q), s, t, 1, \circ))]을 생각하자.
참고로 공경로의 간선열은 사실상 공함수(empty function)이므로 유일함을 알 수 있고, 따라서 공경로의 대응 역시 유일하다. 경로의 합성이 결합법칙을 만족함은 자유 모노이드가 결합법칙을 만족함을 떠올리면 여기에 시작과 끝 정점의 조건만 추가해 쉽게 보일 수 있다.

이렇게 만들어진 자유 범주 [math(F(Q))]에서 두 정점 [math(A)], [math(B)] 간 Hom-set [math(\mathrm{Hom}(A, B))]는 [math(A)]에서 출발해 [math(B)]에 도달하는 모든 경로들의 집합이다.

5.1. 예시

5.2. Cat과 Quiv 간 수반쌍

6. 퀴버 표현

7. 기타

8. 관련 문서

[1] Gabriel, P. (1972). Unzerlegbare Darstellungen I. Manuscripta mathematica, 6(1), 71–104. https://doi.org/10.1007/BF01298413[2] Riehl, E. (2016) Category Theory in Context. Mineola, NY: Dover Publications, p. 4

분류