Hom

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1. 개요2. 정의 및 용어3. 성질4. Hom-함자5. 풍성 범주6. Het7. 기타

1. 개요

Hom-set, Hom-class

범주에서 같은 정의역과 공역을 공유하는 모든 사상(morphism)들의 모임(class)을 말한다.

여기서 Hom은 homomorphism, 즉 대수의 준동형 사상에서 유래된 약자이다.

2. 정의 및 용어

구체적인 정의에 따라 달라질 수는 있으나 기본적으로 모든 사상의 모임 [math(\mathrm{Mor})]의 부분모임으로, 두 대상(object) [math(A, B \in \mathrm{Ob})]에 대해

<tableclass=disp>

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\mathrm{Hom}(A, B) = \set{ f \in \mathrm{Mor} | \mathrm{dom}(f) = A, \mathrm{cod}(f) = B }

와 같이 정의한다. 즉, 일반적으로 [math(f \in \mathrm{Hom}(A, B))]는 [math(f)]가 [math(f : A \to B)] 꼴의 사상이라는 것과 동치이다.

흔히 Hom-class로 부르며 특별히 집합인 경우엔 Hom-set으로도 불린다. 모든 Hom-class가 Hom-set인 범주의 경우 locally small하다고 하며 일반적으로 관심의 대상이 되는 많은 범주가 이에 해당하기에 proper class임을 구분하지 않고 관례상 전부 Hom-set으로 부르는 경우도 있다. 본 문서는 기본적으로 Hom-class를 구분한다.

특별히, 대상 [math(A)]에 대해 [math(\mathrm{Hom}(A, A))] 꼴인 Hom-class를 [math(\mathrm{End}(A))]라고도 표기한다. [math(A)]의 모든 자기 사상(endomorphism)들을 모은 것이기 때문.

만약 여러 범주의 Hom-class를 다루는 경우, 구분을 위해 [math(\mathrm{Hom}_\mathcal C(A, B))], [math(\mathrm{End}_\mathcal C(A))]와 같이 첨자 등으로 어떤 범주에 속하는 Hom-class인지 구분하기도 한다.

표기는 [math(\mathrm{Hom}_\Box(A, B))] 등이 널리 쓰이지만 [math(\hom_\Box(A, B))], [math(\mathrm{Hom}_\Box[A, B])], [math(\Box[A, B])] 등 표기도 쓰인다. 특히 가장 마지막 표기의 경우 범주의 이름이 길거나 서체 차이가 작아서 안 보일 때 유용한 편.

일반적으로 흔히 쓰이는 locally small한 범주의 맥락에서는 논의의 대상 간 모든 사상들의 집합 정도로 이해하면 직관적이다. 즉, 위상 공간들의 범주 Top에서 [math(\mathrm{Hom} (X, Y))]는 공간 [math(X)]에서 [math(Y)]로 가는 모든 연속함수들의 집합, [math(R)]-가군들의 범주 R-Mod에서 [math(\mathrm{Hom} (M, N))]은 가군 [math(M)]에서 [math(N)]으로 가는 모든 [math(R)]-선형사상들의 집합으로 쉽게 생각할 수 있다.

3. 성질

모든 Hom-set은 disjoint하다. [math(\mathrm{Hom}(A, B) \cap \mathrm{Hom}(A', B'))]이 공집합이 아니라면 적어도 하나의 [math(f)]가 존재하여 [math(\mathrm{dom}(f) = A = A')] 및 [math(\mathrm{cod}(f) = B = B')]이므로 [math(\mathrm{Hom}(A, B) = \mathrm{Hom}(A', B'))]기 때문.
모든 [math(\mathrm{End})]는 공집합이 될 수 없다. 반드시 항등 사상이 하나씩은 존재하기 때문.

모든 [math(\mathrm{End})]는 사상의 합성에 대해 모노이드를 이룬다. 이 때 항등원은 항등 사상이 된다.

4. Hom-함자

Hom-functor

locally small한 범주에서 고정된 대상(object) [math(L)]이 주어졌을 때 각 임의의 대상 [math(X)]를 [math(\mathrm{Hom} ( L, X ))]의 Hom-set으로 대응시키는 특수한 함자(functor)를 말한다. 반변 버전으로 [math(R)]을 고정했을 때 임의의 대상을 [math(\mathrm{Hom} ( X, R ))] 꼴로 보내는 구성도 생각할 수 있으며, 이를 반변 Hom-함자(contravariant Hom-functor)라고 한다.

임의의 Set-valued 함자가 적절한 Hom-함자와 자연 동형(naturally isomorphic)일 때, 이를 표현가능 함자(representable functor)라고 한다. 또한 주어진 범주에서 임의의 대상을 그 대상에 대한 Hom-함자로 대응시키는 함자 또한 생각할 수 있으며, 이를 요네다 매장(Yoneda embedding)이라고 한다. 더 나아가 기초 범주론의 사실상 기본정리 급 위상인 요네다 보조정리(Yoneda lemma)의 핵심 소재이기도 하다.

덕분에 여러모로 기초 범주론에서 핵심 역할을 하는 함자이며, 호몰로지 대수학 등 응용 분야에서도 틈만 나면 보이는 주요 함자이다.

자세한 내용은 Hom-함자 문서

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의 [[Hom-함자#s-|]]번 문단을

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참고하십시오.

5. 풍성 범주

일부 범주는 Hom-class이나 Hom-set 내부에도 집합보다 복잡한 자체적인 구조가 생기기도 한다. 가령 준동형 사상의 pointwise한 연산으로 Hom-set이 또다시 아벨군이 되는 아벨군의 범주 Ab, 선형 변환들의 집합에 또다시 벡터 공간이 생기는 Vect 등. 이런 경우를 일반화한 게 범주의 enrichment이며, 모든 Hom-set(class가 아닌 경우)은 집합이므로 기본적으로 모든 locally small한 범주는 Set-enriched 된 범주라고 볼 수 있다.

6. Het

일반화하여 한 범주 내 object 간 morphism이 아닌, 서로 다른 범주의 object 간 morphism을 생각할 수 있다. 간단히 함자 [math(F : \mathcal A \leftrightarrows \mathcal B : G)]들의 수반쌍(adjuction) [math(F \dashv G)]를 생각했을 때 [math(A \in \mathcal A)], [math(B \in \mathcal B)]에 대해 [math(\mathrm{Het} ( A, B ) = \mathrm{Hom} ( F (A), B ) \cong \mathrm{Hom} ( A, G (B) ))]를 생각하는 것. 물론 adjuction이 아닌 경우에도 생각할 순 있는데, 이 경우 비대칭은 각오해야 한다.

7. 기타

시작(initial)에서 출발하는 Hom-set, 끝(terminal)에서 끝나는 Hom-set은 전부 싱글톤이다.
영대상(zero object)이 존재한다면 모든 Hom-class가 공집합이 아니다. 또한 모든 Hom-class가 반드시 유일한 영사상(zero morphism)를 가지기에, 이를 모든 Hom-class마다 항상 선택할 수 있어 영대상을 가지는 범주를 pointed category라고 하기도 한다.
모든 Hom-class의 크기가 최대 1인 범주를 얇은(thin) 범주라고 한다.

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