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1. 개요
Pushout밂은 범주론에서 특정 다이어그램의 "보편적 확장"을 나타내는 구조로, 쌍대극한의 한 예시이다. 밂은 당김의 대칭적 개념으로, 주어진 사상과 대상을 기반으로 범주 내에서 새로운 대상을 생성한다. 이는 대수학, 위상수학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 중요한 도구로 활용된다.
2. 정의
범주 [math(C)]에서 주어진 두 사상 [math(f : A \to B)]와 [math(g : A \to C)]가 있을 때, 밂 [math(P)]은 다음 데이터를 포함한다:- 대상 [math(P)]
- 사상 [math(i_B : B \to P)]와 [math(i_C : C \to P)]
이 데이터는 다음 보편 성질을 만족해야 한다:
임의의 대상 [math(X)]와 사상 [math(u : B \to X)], [math(v : C \to X)]가 [math(u \circ f = v \circ g)]를 만족할 때, 유일한 사상 [math(h : P \to X)]이 존재하여 다음을 만족한다:
[math(h \circ i_B = u \quad \text{및} \quad h \circ i_C = v)]
[math(h \circ i_B = u \quad \text{및} \quad h \circ i_C = v)]
밂을 다음과 같은 다이어그램으로 표현할 수 있다:
[math(\begin{array}{ccc}
A & \xrightarrow{f} & B \\
\downarrow{g} & & \downarrow{i_B} \\
C & \xrightarrow{i_C} & P
\end{array})]
A & \xrightarrow{f} & B \\
\downarrow{g} & & \downarrow{i_B} \\
C & \xrightarrow{i_C} & P
\end{array})]
밂은 기호적으로 보통 [math(P = B \amalg_A C)] 또는 [math(P = \text{pushout}(f, g))]로 표기된다.
3. 성질
3.1. 보편 성질
밂은 보편 성질을 만족하여, 주어진 두 사상을 "확장"하는 가장 일반적인 구조를 제공한다. 이는 다음과 같이 요약된다:[math(h : P \to X)]는 [math(u)]와 [math(v)]의 모든 조합을 유일하게 설명한다.
3.2. 대칭성과 쌍대성
밂은 당김의 대칭적 개념으로, 범주의 대칭성과 이중성을 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다.3.3. 쌍대극한과의 관계
밂은 쌍대극한의 특수한 경우로 간주된다. 작은 다이어그램의 쌍대극한은 밂으로 표현될 수 있다.4. 예시
- 집합의 범주 Set: 집합의 범주에서 밂은 다음과 같이 정의된다:
- 주어진 [math(f : A \to B)]와 [math(g : A \to C)]에서, 밂 [math(P)]는 분리 합집합 [math(B \sqcup C)]를 그 위의 관계 [math(f(a) \sim g(a))]의 equivalence closure로 분할하여 얻은 몫집합이다.[math(P = (B \sqcup C) / \sim)]
- 위상 공간의 범주 Top
위상 공간의 범주에서 밂은 두 공간의 분리된 합집합을 구성하고, 특정 부분 공간의 동일성을 부여한 결과로 나타난다. 예를 들어, [math(X \amalg Y)]에서 특정 부분 [math(A)]를 동일시하여 밂을 얻는다. - 군의 범주 Grp
군의 범주에서 밂은 자유곱 (free product)에서 특정 부분을 서로 동일시하여 얻은 몫군으로 정의된다. 이는 다음과 같이 표현된다:[math(G * H / \langle f(a) = g(a) \rangle)]
5. 밂과 당김의 차이점
5.1. 정의적 차이
- 밂은 "사상을 확장"하는 구조이다:
- 당김은 "사상을 제한"하는 구조이다:
[math(P = B \amalg_A C)]
[math(P = B \times_A C)]
5.2. 보편 성질 비교
- 밂: 대상 [math(P)]로부터 두 사상으로 확장된다.
- 당김: 대상 [math(P)]로부터 두 사상으로 제한된다.
[math(h \circ i_B = u \quad \text{및} \quad h \circ i_C = v)]
[math(f \circ \pi_1 = g \circ \pi_2)]
5.3. 예시 비교
- 집합의 범주:
- 위상 공간의 범주:
- 밂: 동치 관계를 통한 결합.
- 당김: 조건을 만족하는 튜플 집합.
- 밂: 공간의 결합과 동일화.
- 당김: 공간의 교차와 조건 만족.