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1. 개요
kernel / cokernel이퀄라이저, 영대상과 영사상 등 몇몇 범주론적 조건을 만족하는 범주 위 특별한 사상(morphism). 대수학에서 처음 접하는 kernel 개념의 일반화이지만, 범주론인 만큼 kernel을 (부분) 대상(object)이 아니라 처음부터 아예 사상으로 둔다는 차이가 있다.
2. 정의
pointed인 범주, 즉 영대상(zero object)이 존재하는 범주 [math(C)]를 생각하자.[math(f : A \to B)]가 범주 [math(C)] 안의 두 대상 [math(A)], [math(B)] 사이의 사상이라고 하자. 가정에 의해 유일한 영사상(zero morphism) [math(0 : A \to B)]가 존재하며, 이때 [math(f)]와 사상 [math(0)]의 이퀄라이저를 사상 [math(f)]의 핵(kernel)이라고 부른다. 비슷하게 [math(f)]와 사상 [math(0)]의 코이퀄라이저를 사상 [math(f)]의 공핵(cokernel)이라고 부른다.
3. 성질
- 모든 이퀄라이저는 monic이므로 kernel 또한 전부 monic이다.
- [math(f)]가 monic이라면 [math(f)]의 kernel은 [math(0 \to \mathrm{dom}(f))]이다. [math(u)]가 [math(f)]와 [math(0)]를 equalize한다면 [math(f \circ u = 0 \circ u = 0)]이니 영대상 문서에 나와 있듯 monic [math(f)]를 좌소거해 [math(u = 0)]을 얻으며, 영사상의 성질상 [math(u)]가 [math(0)]에 대해 유일하게 factor되어 보편 성질을 만족시키기 때문.
- 영사상 [math(0)]의 kernel은 항등 사상 [math(\mathrm{id}_{\mathrm{dom}(0)})]와 유일하게 동형이다.
4. 예시
가장 직관적으로 떠오르는 건 다름 아닌 대수 구조의 핵(kernel)이니 간단히 군의 경우를 살펴보자. 군의 범주 Grp는 이퀄라이저가 존재하고 자명군을 영대상으로 가지며 영사상은 흔히 떠올리는 trivial map이다.이제 [math(f : G \to G')]가 두 군 [math(G)], [math(G')] 사이 준동형이라 하고 [math(k : \ker G \to G)]가 단순한 inclusion map이라 하자. 만약 어떤 군 [math(X)]와 준동형 [math(u : X \to G)]가 [math(f)]와 [math(0)]를 equalize한다면 [math(f \circ u = 0 \circ u)]인데, 영사상의 성질에 의해 [math(f \circ u = 0)], 즉 모든 [math(x \in X)]에 대해 [math(G)]의 원소 [math(u(x))]가 [math(\ker f)]의 원소라느 말과 같다.
치역이 [math(\ker f)]의 부분집합이므로 사실상 [math(u)]와 같은 mapping을 가지는 mediator [math(\bar u : X \to \ker f)]를 문제없이 잡을 수 있으며, [math(\bar u)]는 자명히 준동형이고 단순 inclusion인 [math(k)]와 합성했을 때 [math(u = \bar u \circ k)]를 만족시킨다. 또, [math(k \circ \bar u = k \circ \bar u' = u)]를 만족시키는 사상 [math(\bar u' : X \to \ker f)]가 존재한다면, 항상 단사인 inclusion을 좌소거했을 때 [math(\bar u = \bar u')]이므로 이런 mediator는 유일하다. 따라서 준동형 [math(f)]의 kernel 및 그 inclusion이 이퀄라이저를 이룸을 알 수 있다. 이퀄라이저는 uniquely isomorphic하므로 사실상 군의 범주에서 범주론적 kernel은 준동형의 kernel이라고 해도 무방하며, 범주론적 kernel이 되는 다른 군이 있더라도 전부 준동형의 kernel subgroup과 동형이다.