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Categories for the Working Mathematician


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저자 손더스 맥레인(Saunders Mac Lane)
출판사 
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Springer NY
시리즈 Graduate Texts in Mathematics
Vol. 5
분야 범주론 (MSC2020 18-01)
최초 출판 1971년
개정판 2E* (1998년)
ISBN 9780387984032 (하드커버)
9781441931238 (소프트커버)
9781475747218 (eBook)
DOI https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4721-8
1. 개요2. 제목과 working mathematician에 대해3. metacategory?4. 기타

1. 개요

에일렌베르크와 함께 범주론의 창시자 중 한 명으로 평가받는 손더스 맥레인(Saunders Mac Lane)이 직접 집필한 범주론 교재.

이 책이 고전적인 교재로 평가받지만 신생분야치고는 연식이 오래된 책이라 처음 카테고리 이론을 배우려는 학생들 눈높이와는 조금 괴리감이 있을 수 있다.

2. 제목과 working mathematician에 대해

The book under review is an introduction to the theory of categories which, as the title suggests, is addressed to the (no-nonsense) working mathematician, thus presenting the ideas and concepts of Category Theory in a broad context of mainstream examples (primarily from algebra).
손더스 맥레인, 개정 2판 리뷰

제목이 희한한데, Working Mathematician이라는 이 요상한 말은 원래 니콜라 부르바키에게서 나온 것으로 알려져 있다. 부르바키는 기호논리학 저널에 낸 기고와 원론 시리즈를 통해 자신들은 (수학자라기보다는 철학자라 봐야 할 듯한) 수리논리학자들이 좋아하는 메타수학보다는 논리를 가지고 호몰로지 대수라던가, 대수위상이라던가, 가환대수라던가, 대수기하학 같은 실용적(...)인 연구를 하는 수학자들의 언어에 더 큰 관심을 갖고 있다는 취지로 이 말을 썼는데, 부르바키의 본체 중 하나였던 사무엘 에일렌베르크와 함께 범주론의 기초를 다진 맥레인도 이 말을 썩 맘에 들어했는지 고전으로 남은 교과서의 제목에다 박제를 해버렸다.

결국 에밀리 릴(Emily Riehl) 등 후대의 카테고리 이론가들도 즐겨 쓰는 등 Working Mathematician이라는 말은 반쯤 밈이 되어버렸다. 굳이 한국어로 번역하자면 실용수학(...)자, 실전수학자, 현역수학자 노동수학자 등의 용어로 번역할 수 있는데, 영미권 수학자들이 이 용어를 쓰는 실제 용도도 수학기초론과는 동떨어진 '실용'적인 분야를 연구하는 수학자들을 가리키는 목적으로 쓰이곤 한다.

이외에 가끔 수학과를 나와 연구를 계속 하고 싶었지만 생계를 위해 학계를 떠난 소프트웨어 개발자나 사교육 강사 등이 이 말을 자조적으로 쓰기도 하며, 범주론/교재 문서의 GitHub 링크에서 보이는 여러 책의 제목에서 알 수 있듯이 만국의 노동과학자들이 이 제목으로 단결하여 교과서를 내기도 한다.

3. metacategory?

First we describe categories directly by means of axioms, without using any set theory, and call them "metacategories". (...) This is why we initially gave the definition of a category C in a set-free form, simply by regarding the axioms as first-order axioms on undefined terms (...). In this style, axioms for the elementary (i.e., first-order) theory of the category of all sets, as an alternative to the usual axioms on membership can be given-as an "elementary topos" (cf. Mac Lane-Moerdijk [1992][1]).
Chapter 1

하필 이 CWM으로 범주론을 처음 접하게 되는 학생들이 마주치고 가장 헷갈려하는 개념 중 하나. metacategory는 손더스 맥레인이 본 책에서 범주의 크기 문제를 피하기 위해 일반적인 범주와 구분하기 위해 도입한 개념인데, 정작 현대 범주론에서는 자주 거론되지 않는다.

쉽게 생각하면 Chapter 1.1부터 등장하는 metacategory의 axiom은 ETCS처럼 집합 없이 범주를 정의하는 first order theory이고, metacategory는 단순히 이 axiom들의 model이라고 생각하면 된다. 즉, metacategory에서의 object, morphism 등은 단순한 many-sorted first order structure에서의 각 sorts라고 생각하면 되며, '모든 object들의 집합/class' 같은 걸 따로 생각할 필요는 없다. 참고로 metagraph는 일종의 퀴버(quiver)에 대한 first-order model이라고 생각하면 된다. 즉, metagraph axiom에 사상의 합성에 대한 axiom 및 연산들을 추가한 theory가 metacategory의 axiom이다.

반대로 CWM에서 category란 위 metacategory axiom (theory)을 만족시키는 집합 기반의 model을 말한다. 즉, 모든 category는 metacategory이지만 그 역은 성립하지 않으며, 흔히 범주론에서 만나는 '모든 집합'들의 범주, '모든 아벨군'들의 범주 등은 CWM에선 범주로 보지 않는다! 이는 필연적으로 집합 model로 표현이 불가능하기 때문. 대신 metacategory로 표현한다.

물론 CWM에서 large category가 아예 안 나오는 것도 아니고, 현대 범주론에서 흔히 자주 쓰이는 Grothendieck universe가 나오지 않는 것도 아니다. 실제로 Chapter 1.6, 1.7에서 구체적으로 Grothendieck universe를 다루고, given universe [math(\mathcal U)]에 대해 small한 set들의 집합을 유효한 category의 model로 설명한다. 즉, 위 예시와 달리 '모든 [math(\mathcal U)]-small 집합'들의 범주 [math(\mathbf{ Set })]은 CWM에서 metacategory 대신 category로써 설명한다.

별개로 좀더 직관적인 NBG 공리계를 이용한 정의도 Gödel-Bernays axiom이라는 이름으로 짤막하게 소개하고 넘어간다.

즉 흔히 large하다 여겨지는 범주를 다루기 위해 first-order theoretic한 접근법과 실용적(?)인 universe 접근법을 둘다 소개한 다음, 전자를 metacategory, 후자를 category라고 불러 구분했다고 생각하면 직관적인데, 정작 후세의 수학자들은 그렇게 생각하지 않았는지(...) metacategory라는 개념은 영 빛을 보지 못하게 되었다. CWM가 현대의 범주론 입문용 교재들과 용어 차이가 다소 벌어지는 이유가 이것.

4. 기타

참고로 저자인 손더스 맥레인은 MacLane으로 쓰면 안 된다. 아내가 남편의 원고 및 구술 타이프라이팅을 하면서 MacLane이라는 이름을 자꾸만 Mac Lane이라 띄어쓰는 버릇이 있었는데 남편이 아내의 버릇을 맘에 들어하여 아예 정식으로 이름을 바꿔버렸다고 한다.(...) 사랑꾼
[1] MacLane, S., & Moerdijk, I. (2012). Sheaves in geometry and logic: A first introduction to topos theory. Springer Science & Business Media.


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