1. 개요
代數學[1][2] / Algebra초중등교육 수준의 대수학이란 수학 문제를 간단하게 만드는 기술들, 그러니까 미지수에 변수를 '대입'하는 기술, 그리고 이를 '계산'하는 기술[3], 그리고 마침내 '방정식을 푸는' 기술이다.
현대 수학에서의 대수학이란 대수적 구조, 다시 말해 집합과 그 위에 정의된 연산에 대한 규칙을 연구하는 학문이라고 말할 수 있다. 임의의 집합에 (1개 또는 그 이상의) 연산을 정의하면 그것들을 묶어서 대수적 구조라고 부른다.
대수학은 학부 때 해석학과 함께 수학의 양대산맥을 이루는 분야인데 해석학이 ε와 δ를 아름답게 짜내는 디테일한 테크닉에 집중된 스타일이라면, 대수학은 추상적인 논리 위주의 분야라고 볼 수 있다. 물론 학부 때로 한정되는 이야기고 대학원 가면 결국 다른 분야에서 대수적 구조가 발생하지 않을 이유가 없으므로 섞이게 된다.
대수학의 분야로는 표현론, 가환대수학, 대수적 정수론 등이 있다.
- 군론
현대대수학이 발전하는 과정에서 발달하게 된 것이 군론이며 추상대수학의 기본이 되는 분야다. 역사적으로도 19세기 추상대수학이 태동할 때 처음 개발된 분야다. 사실상 추상대수학 자체가 군론에서 뻗어나간 결과물이라고 보아도 무방하다.
2. 역사
대수학의 시작은 아부 압둘라 무하마드 이븐 무사 알콰리즈미(أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي, Abū ʿAbdallāh Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī)로 거슬러 올라간다. 9세기 초 페르시아의 수도 바그다드에서 활동한 학자였던 알콰리즈미는 복원과 상쇄의 책(al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala)을 집필하면서 조각난 부분들의 재결합을 의미하는 단어 al-jabr 를 통해서 방정식의 개념과 해법을 최초로 소개했다.[4] 이 때문에 알콰리즈미는 대수학의 아버지라고 불리고, al-jabr의 라틴어 번역인 algebra는 대수학이 되었고, 알콰리즈미를 라틴어식으로 읽은 알고리스무스(Algorismus)에서 알고리즘(algorithm)이 파생되어 나왔다. 이 다음에 쓴 그의 책 Algoritmi de numero Indorum는 인도의 숫자를 아라비아에 전파해서 아라비아 숫자라는 명칭을 만들어낸 대표적인 책이다.[5]알콰리즈미 이후에 인도와 중국 등지에서 음수의 개념이 전해졌고, 이후 지롤라모 카르다노와 그의 제자 로도비코 페라리에 의해서 음의 근 개념과 3차와 4차 방정식이 추가되는 등 방정식의 계산법에 대한 연구가 이어졌다.
이와 같이 이 당시까지만 하더라도 대수학은 크게 '계산방법', 그리고 '다항방정식을 푸는 방법', 이 두가지가 큰 축을 이루고 있는 일종의 '테크닉', '기술'에 가까운 영역이었다(물론 그 기술의 대상이 정량적인 것이었지만).[6]
그러나 이후 프랑수아 비에트에 의해서 변수의 개념이 도입되게 되고, 이는 큰 전환점이 되어 대수학은 이전까지의 산수방법에 불과했던 학문에서 연산의 성질을 연역적이고 엄밀한 논리를 이용하여 탐구하는 학문으로 진화하게 되었다. 오늘날 수학과생들이 배우는 대학교 전공수학에서 이러한 분야를 공부하는 대수학 과목을
이렇게 다항방정식에 대한 탐구가 가속을 받으며, 마침내 19세기에 닐스 헨리크 아벨이 5차 이상의 다항방정식의 일반해 공식은 찾을 수 없다는 것을 증명하게 된다. 이 업적은 대수학에서의 추가적인 전환점이 되어 대수학에서 방정식에 대한 탐구 방향이 갈루아 등에 의해 방정식 내부의 숨은 원리를 찾는 방향으로 진행되도록 만든다.
이러한 역사적 과정을 거쳐 현대의 대수학은 일반적으로 대수적 구조를 연구하는 학문 분야로 정의되고 있다. 대수적 구조란 집합에 그것의 원소들을 변화시키는 함수들(연산자)이 주어진 것이다. 대수적 구조의 예시로, 반군(semigroup), 모노이드(monoid), 군(group), 환(ring), 가군(module), 체(field), 벡터 공간(vector space), 격자(lattice) 등이 있다.
3. 교육
3.1. 초중등교육에서
- 초등학교: 다양한 경험을 통하여 분수, 큰 수 같은 다양한 수 개념을 형성하도록 한다. 덧셈과 곱셈 등 연산의 이해, 기초 계산 능력을 기르는 데 중점을 둔다. 이러한 과정에서 수학의 유용성을 인식하고, 수의 활용 가치를 알 수 있도록 한다.
- 중학교: 자연수의 개념이 정수, 유리수, 실수 개념으로 확장되며, 이러한 수에 관한 연산 능력을 기른다. 또한 문자를 사용하여 여러 가지 상황을 간단한 식으로 나타냄으로써 대수의 가치를 인식하게 한다.
- 고등학교: 집합과 명제를 이해하고, 이를 통하여 수학적 명제를 논리적으로 다룰 수 있게 한다. 실수에서 복소수로 수 개념을 확장하고 이에 관한 연산 능력을 배양한다. 다항식, 유리식, 무리식에 관한 연산도 할 수 있도록 하고, 이차 방정식 등 다양한 방정식의 근에 관하여 이해하게 한다. 2022 개정 교육과정부터 기존 수학I에 해당하는 내용이 대수로 이름이 바뀌었는데 내용은 지수로그함수와 삼각함수, 수열을 다루는 내용이라 적절한 이름인지에 대해 논란이 있다. 오히려 고등학교 1학년 공통수학1이 '대수'에 더 가깝다.[7]
3.2. 고등교육에서
3.2.1. 학부
1~2학년 때 선형대수학 수강을 완료한 3학년들을 대상으로 하는 현대대수(학), 또는 추상대수(학)이라는 이름의 수업이 기본적인 군론과 환론을 다루며 시작한다. 교재들이 모두 해석학처럼 집합과 대수를 먼저 빠르게 다룬 후, 대수를 보다 적극적으로 활용하여 추상적으로 배우기 때문에 초심자 입장에서 추상적일수록 어렵게 느껴지긴 하지만, 이쪽을 선호하는 교수와 교과서들이 많아지면서 어쩔 수 없게 되었다. 현대대수학에서는 후반부에 가면 선형대수학을 선수과목으로 요구하나[8], 전반부는 집합론을 제대로 이해했다는 가정 하에는 정수론[9] 외엔 따로 선수과목이 없다. 보통은 대수학 계열 교수가 정수론 수업도 오픈하는 경우가 많아서, 대수학 수업 초반부에서 '수강생들 대부분이 이 정도는 알겠지' 하고 정수론 부분을 가볍게만 다루고 넘어가는 교수도 있다. 이 경우에는 고생할 수도 있으니, 만약 정수론 과목을 수강하게 된다면 이왕 듣는 거 열심히 공부하도록 하자.일반적으로 대학교의 현대대수학 수업은 3학년 과정으로, 두 학기에 걸쳐 진행된다. 첫 학기에는 군, 환 등을 배우고 최종적으로 3대 작도 불능 문제의 작도불능성을 증명[10]하며, 첫 학기 수업은 높은 확률로 전공필수라서 수학과생이라면 도저히 피할 수가 없다. 두 번째 학기에는 갈루아 이론을 배우고 이때 일반적인 5차 이상의 방정식부터는 방정식의 계수로 근호 및 사칙연산만으로 방정식의 근의 공식을 구하지 못함(insolvable by radicals, 근의 공식이 존재하지 않음)을 증명한다.[11] 그러나 여느 수학과 학부 과정이 그렇듯이 이것은 어디까지나 이상적인 진도로, 양이 너무 많아서 교수자나 학생이나 현대대수학 교과서 하나를 3학년 두 학기만으로 모두 달리는 것은 생각보다 쉽지 않다. 때문에 1학기에 군 진도만 다 나가기도 벅차서(군만 다뤄도 한도끝도 없이 수업을 이어나가는게 얼마든지 가능하다!) 환과 체, 가군을 2학기 때에 간신히 끝내는 학교들도 많은데, 덕분에 현대대수학 수업은 4학년 때에도 '대수학특강'이나 '호몰로지 대수', '갈루아 이론', '대수기하입문', '대수적 코딩이론', '체론' 등 화려한 간판으로 바꿔 달고 응용이나 심화학습 및 대학원 공부와의 연계를 추구하는 수업으로 계속 이어진다. 경우에 따라서는 4학년을 넘어 대학원에서도 이어진다.
물론 여기까지 배워도 여전히 걸음마 단계이다. 그러나 이 학부 수준의 대수학은 나중에 가면 해석학과 함께 많이 사용하는 툴이 된다. 예를 들어 대수적 정수론의 첫 장을 펴려면 갈루아 이론을 알아야 한다거나. 대체로 학부 수준 대수학 입문 과정에서는, 적어도 현대대수학 첫 학기 진도까지는 추상적이긴 해도 직관적으로 이해하기 쉬운 부분이 많아서 사람에 따라선 쉽다고 느껴질 수 있고, 경우에 따라선 뭐 이렇게 당연한 것을 증명하고 앉았냐고 생각할 수도 있다. 그러나 그런 과정을 하나하나 쌓는 것을 소홀히 하면 가면 갈수록 쏟아져 나오는
초반에 비직관적이고 어려운 개념들[12]이 쏟아져 나오지만 이에 익숙해지면 비교적 직관적인 대상들[13]을 다루면서 수월해지는 해석학과는 과목 성격이 다르다고 보면 된다. 대수학은 초반에는 직관적이지만[14] 후반에 추상적이고 비직관적인 대상들[15]이 쏟아져 나오기 때문이다. 해석학이 결과를 미리 알고 과정에서 고통받는 과목이라면, 대수학은 과정을 미리 알고 결과에서 고통받는 과목이라고 보면 된다.
3.2.2. 대학원
이후에는 수학과의 석사 1년차에 이것들을 더욱 심화되게 배우는 "대수학"이 나오는데, 다루는 내용은 다음과 같다.- 군론: 자유군, 실로우 정리, 가해군, 정규고리, 호몰로지 대수의 기초, 군 표현론의 기초
- 가군론: 가환환, 자유가군, 벡터 공간, 사영가군, 단사가군 등
- 환론: 국소환, 뇌터 환, 가환대수학의 기초, 기초 대수기하학 등
- 체론: 체의 정규확장, 분리확장, 갈루아 정리, 원분체, 가해확장 등
- 범주론(카테고리 이론): 함자, 자연 변환, 층 등
3.2.3. 교재
4. 관련 문서
[1] '大'數學이 아니다! 의외로 많이 헷갈리는 용어로 여기서 대(代)는 숫자에 문자를 대신 대입하여 문제를 해결하는 것을 의미하는 데서 유래한 것이다. 출처 : 두산백과[2] '代' 자가 '對' 자가 되면 로그가 된다.[3] 이항정리, 분배법칙, 교환법칙, 기타 등등[4] 엄밀하게 말하면 al-jabr는 이항이고, wa'l-muqabala는 동류항 정리를 의미한다.[5] 이 숫자들은 13세기가 되어서야 유럽에 전파된다.[6] 반면 이와 달리 동시대의 논증 기하학은 이미 엄밀한 추론과 연역적 논리에 의한 증명이 중요시되었는데 이는 현대 수학의 특징과 비슷하다.[7] 공통수학에서 4차 방정식 까지의 조립제법 해법과 연립방정식을 학습한다. 게다가 2022 개정교육과정부터 공통수학에 선형대수학에서 다루는 내용인 행렬도 추가된다.[8] 갈루아 이론을 공부하기에 앞서 확대체(field extension. 어느 체 F가 주어질 때 F를 부분체로 가지는 체 K)의 다양한 유형을 배우는데, 이 때 확대체는 기존 체 위에서 정의된 벡터공간으로 취급하여 다뤄진다. 여러 대수학 서적에서 확대체를 다루는 챕터 중간에 뜬금없이 벡터공간을 다루는 소단원이 끼어들어있는 경우가 많은데 이런 이유에 기인한다. 선형대수학I 과정에서 배운 기저나 선형독립성 등이 이 부분에서 꽤나 요긴하게 쓰인다. 또한 가군(Module)을 다룰때, 특히 가환대수의 메인 테마인 가군은 특정 조건에 따라 선형대수와 공유하는 정리들이 상당히 많이 있어, 사실상 석사과정 이후로는 하나의 학문으로 취급된다.[9] Well-ordering principle이나 Division Algorithm을 정수론에서 잘 배워 두면 환론과 다항식 부분을 이해하기 더 수월해진다. 계속 배우다 보면 중국인의 나머지 정리를 일반화한 것도 배우는데, 수강하다 보면 정수론 배워 놓길 잘했다는 생각이 들 정도이다. 물론 주 내용이 사전에 익숙하냐 아니냐의 차이일 뿐이라, 필수적으로 들어야 하는 과목까지는 아니다.[10] 사실 세 개 모두를 증명하는 것은 아니고, 두 개만 일반적으로 보인다. 여기까지의 반년 넘는 삽질이 고통스러워서 그렇지 작도를 다루는 챕터까지 와서 마주하는 증명은 많이 어렵지는 않다.[11] 참고로 2~4차 방정식은 이러한 방식을 이용한 근의 공식이 존재한다. 2차방정식의 경우는 우리가 중학교 때 배우는 그 근의 공식이 맞다. 3차 및 4차도 존재는 하는데 이를 유도하는 것은 매우 복잡하다.[12] 완비성 공리, 엡실론 델타 논법, 컴팩트 집합 등, 후반부 과정을 분석하기 위한 도구들이라고 보면 된다. 후반부 과정이 고등학교 1학년 ~ 대학교 1학년에 걸쳐 학부생들이 많이 접하여 익숙한 개념/정리들이라 그렇지, 그것들이 얼마나 논리적이고 어려운 토대 위에 세워졌는지를 알기 위한 사전작업이다.[13] 미적분, 수열과 함수열 등, 학부생들이 기존에 많이 접했지만 논리적 토대가 너무 복잡해서 중간 과정은 다 잘라먹고 결과물만 교과서에서 다룬 것들을 1학기 때 배운 것들을 통해 훨씬 자세히 분석한다. 물론 이것도 푸리에 해석/기초 측도론 과정을 다룬다면 온갖 낯선 개념이 장대비처럼 퍼부어대지만, 어쨌든 그것도 함수 미적분이라서 대수학 후반부 과정에 비하면 훨씬 익숙하고 직관적이다.[14] 기초 군론과 체론, 정수론 부분, 동형사상 정리 등 어지간한 1학기 과정 부분. 군론과 체론은 개념이 쉬운 편이라 한두 번 들어도 이해가 나름 수월한 편이고, 정수론 부분이나 동형사상 같은 경우는 이미 2학년 과정 때 선형대수학이나 정수론을 통해 접한 부분이라서 익숙한 편이다.[15] 실로우 정리, 갈루아 이론, 유클리드 정역 등, 1학기 과정 최후반부나 2학기 과정 중후반부 과정은 그간 배운 것들로 기존에는 배우지도 않았고 익숙하지도 않았던 비직관적이고 추상적인 것들을 분석하는 과정이기 때문에, 1학기 때 제대로 공부를 하지 않았으면 해석학II '따위'와는 비교할 수도 없는 고통에 시달릴 수도 있다.