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1. 개요
group theory / 群論대칭(symmetry)과 대칭들이 이루는 구조를 추상화한 개념인 군(group)을 연구하는 대수학의 분야.
2. 상세
학부 수준에서는 사실 군이 다 대수같고 대수가 다 군 비스무리한 것으로 보일 수 있어 구분이 쉽지 않을 수 있다. 단순히 '군을 연구한다' 외의 직관을 생각하면, 환(ring)이나 체(field) 등의 구조는 본질적으로 다항식(polynomial)이나 흔히 수 체계와 가까운 구조, 또는 이러한 구조에서 방정식의 풀이나 해(solution), 나눗셈과 인수분해, 대수적 확대와 closeness 등과 필연적으로 마주치게 된다. 반대로 생각하면 순수히 군에 집중한다는 것은 흔히 생각하는 대수학에서 이런 성질과 토픽들을 포기하고, 순수히 대칭에 대해서 연구한다는 것으로 대략적인 직관을 가질 순 있다.고전적인 군론의 대표적인 갈래 중 하나로 공간의 대칭에 대해 연구하는 공간대칭군이 있다. 사실 수학 외의 분야에서 군론(물리학), 군론(화학)이 연구하는 게 바로 이 공간대칭군들이다. 주요 예시로 평면대칭군, 이면군(dihedrals), 회전이동군, wallpaper groups, classification thm, Burnside thm 등이 있다. 그리고 이런 symmetries를 다루다 보면 군의 작용(action)이라는 매우 심오한 토픽에 도달하기도 한다.
그리고 또 자주 나오는 주제로 유한군론이 있다. 왠지 무한군이 더 어려워 보이지만 정작 복잡하고 괴랄한 성질은 유한군이 더 많이 가지고 있기 때문. 당장 라그랑주 정리(군론), 실로우 정리랑 유한 순환군/아벨군의 기본정리부터 5차방정식의 해법에 가장 중요한 교대군 등 굵직굵직한 토픽들이 전부 유한군 개념이다. 유한 단순군의 분류가 20세기 말-21세기 초 군론의 주요 떡밥 중 하나이기도 했다. 무엇보다 현대 들어서는 암호학에서 유한군론을 줄창 써먹는다.
그리고 군의 generator, free group, presentation을 다루는 분야랑 representation을 다루는 표현론이 존재한다. 둘다 한국어로는 표현으로 번역되는데 다른 거니 주의.
물론 응용분야에서는 연산이 smooth하다거나 하는 식으로 대수적인 걸 넘어 기타 위상적인 성질이 붙은 군을 연구하기도 한다.