1. 개요
boolean ring모든 원소가 곱셈의 멱등원인 환.
후술할 스톤의 연구 이후 널리 알려진 개념이며,[1] 불 대수 연구의 창안자인 조지 불의 이름이 붙었다.
2. 환으로서의 성질
- 모든 원소의 덧셈의 역원은 자기 자신이다. 즉, 임의의 [math(x)]에 대하여 [math(2 x = 0)]이다. [math(2 x)]는 멱등이므로 [math((2 x)^2 = 2 x)]이며, [math(4 x = 2 x)]이므로 정리하면 [math(2 x = 0)]을 얻는다.
- 가환환이다. 가환이 아닌 일반적인 환에서의 곱셈 공식이 [math((x + y)^2 = x^2 + x y + y x + y^2)]라는 점에서 시작하자. 모든 원소가 멱등이므로 [math(x^2)], [math(y^2)], [math((x + y)^2)]는 전부 축소 가능하며 [math(x + y = x + x y + y x + y)]이니 양변에서 [math(x)], [math(y)]를 소거해 주면 앞서 모든 원소가 자신의 덧셈 역원임을 보였으니 [math(x y = - (y x) = y x)]를 얻는다.
2.1. 불 대수와의 관계
단위원을 가지는 모든 불 환은 불 대수(boolean algebra), 즉 분배 여격자(distributive complemented lattice)이며, 역으로 모든 불 대수는 단위원을 가지는 불 환이다. 이후 편의상 불 대수로 통일해서 부른다.간단히 불 대수의 대수적인 정의를 생각하자. [math((L, \lor, \land))]가 불 대수라 함은 다음 성질을 만족함을 뜻한다.
- [math(x \lor y = y \lor x)], [math(x \land y = y \land x)] (교환법칙)
- [math((x \lor y) \lor z = x \lor (y \lor z))], [math((x \land y) \land z = x \land (y \land z))] (결합법칙)
- [math(x \lor x = x \land x = x)] (멱등성)
- [math(x \lor (x \land y) = x \land (x \lor y) = x)] (흡수법칙)
- [math(x \land (y \lor z) = (x \land y) \lor (x \land z))] (분배법칙)
- [math(\exists 0 ( 0 \lor x = x ))], [math(\exists 1 ( 1 \land x = x ))] (항등원; 최소/최대)
- [math(\exists y ( x \land y = 0, x \lor y = 1 ))] (여원의 존재성)
불 대수에서는 여원이 유일하므로 편의상 [math(x)]의 여원을 [math(\overline x)]라 쓰자.
우선 모든 단위원을 가지는 불 환이 불 대수임을 보이자. 단위원을 가지는 불 환 [math((R, +, \cdot))]에 대해 필요한 연산을 다음과 같이 정의한다. 여기서 1은 단위원, 즉 곱셈의 항등원이다.
| [math(\begin{aligned} x \lor y & = x + y + x y \\ x \land y & = x y \\ \overline x & = 1 + x \\ \end{aligned})] |
[math(R)]은 가환군인 동시에 가환환이므로 교환법칙은 쉽게 보여지며,
| [math(\begin{aligned} (x \lor y) \lor z & = (x + y + x y) + z + (x + y + x y) z \\ & = x + y + z + x y + x z + y z + x y z \\ & = x + (y + z + y z) + x (y + z + y z) & = x \lor (y \lor z) \\ \end{aligned})] |
이므로 [math(\lor)] 결합법칙이 성립하고 [math(\land)]의 결합법칙은 자명히 성립한다. 또한 [math(x \lor x = 2 x + x^2)]이므로 윗 문단에서 보인 성질에 의해 [math(0 + x = x)]이 되어 [math(\lor)]의 멱등성이 보여지며, [math(\land)]의 멱등성 또한 불 환이므로 성립한다.
이어서 [math(x \lor (x \land y) = x + x y + x^2 y = x + 2 (x y) = x)]이며, [math(x \land (x \lor y) = x ( x + y + x y ) = x^2 + x y + x^2 y = x + 2 (x y) = x)]이므로 흡수법칙 또한 성립한다.
또한 [math(x (y + z + y z) = x y + x z + x y z = x y + x z + x y x z)]이니 분배법칙 또한 성립한다.
[math(x \lor 0 = x + 0 + 0 x = x)]이므로 최소원 0은 덧셈의 항등원 0이며, [math(x \land 1 = x 1 = x)]이므로 최대원 1은 곱셈의 항등원이다.
마지막으로 위 [math(\overline \Box)]의 정의는 실제로 여원이 된다.
| [math(\begin{aligned} x \land \overline x & = x (x + 1) = x^2 + x = 2 x = 0 \\ x \lor \overline x & = x + (x + 1) + x (x + 1) = 2 x + 1 + 0 = 1 \\ \end{aligned})] |
이제 모든 불 대수가 불 환임을 보이자. 불 대수 [math((L, \lor, \land))]에 대해 연산을 다음과 같이 정의한다. 덧셈의 정의가 대칭차와 비슷하게 보인다면 우연이 아니다.
| [math(\begin{aligned} x + y & = (x \land \overline y) \lor (\overline x \land y) \\ x y & = x \land y \\ \end{aligned})] |
우선 덧셈에 대한 아벨군임을 보이자. 결합법칙은 노가다를 통해 보여도 되지만 [math(\overline{ x + y } = (x \land y) \lor (\overline x \land \overline y))]라는 보조정리를 사용하자.
| [math(\begin{aligned} (x + y) + z & = ( ( x + y ) \land \overline z ) \lor ( \overline{ x + y } \land z ) \\ & = ( ( ( x \land \overline y ) \lor ( \overline x \land y ) ) \land \overline z ) \lor ( ( ( x \land y ) \lor ( \overline x \land \overline y ) ) \land z ) \\ & = ( x \land \overline y \land \overline z ) \lor ( \overline x \land y \land \overline z ) \lor ( x \land y \land z ) \lor ( \overline x \land \overline y \land z) \\ \end{aligned})] |
정규형으로 내려갔으니 멈추고 보면 안쪽 항들이 전부 대칭임을 확인할 수 있다. 즉 [math(\lor)]과 [math(\land)] 수준의 결합법칙에 의해 반대 방향도 보여지며, 따라서 [math(+)]는 결합법칙을 만족한다. 덧셈의 항등원은 최소원 0으로, [math(x + 0 = (x \land 1) \lor (\overline x \land 0) = x \lor 0 = x)]임을 알 수 있다. 비슷하게 [math(x + x = (x \land \overline x) \lor (\overline x \land x) = 0)]으로 역원은 자기 자신이다.
곱셈은 이미 결합성을 가지며 항등원은 자연히 최대원 1이다. 이어서 두 연산 사이에 분배법칙이 성립함을 보이자. [math(x (y + z))]를 전개하면 정규형이 [math(( x \land y \land \overline z ) \lor ( x \land \overline y \land z ))]로 나온다. 이어서 [math(x y + x z)]를 [math(A = x \land y)], [math(B = x \land z)]라 두고 각각 전개하자. 항 순서를 바꿀 일이 없기 때문에 가능한 일이다.
| [math(\begin{aligned} A \land \overline B & = x \land y \land \overline{ x \land z } \\ & = x \land y \land ( \overline x \lor \overline z ) \\ & = x \land y \land \overline z \\ \end{aligned})] |
비슷하게 [math(B \land \overline A = x \land \overline y \land z)]임을 알 수 있으며 둘을 [math(\lor)]하면 [math(x (y + z))]와 같으므로 분배법칙이 성립한다. 반대 방향도 비슷하게 보이면 된다.
즉, 불 대수와 불 환은 수학적으로 동등한 개념이다. 위 내용은 마셜 스톤이 1935년경 보였으며, 미국국립과학원회보에 게재되었다.[2] 불 환의 범주와 불 대수의 범주를 만들면 상술한 방식을 통해 서로에서 서로로 가는 함자를 만들 수 있으며, 둘의 합성이 항등 함자가 되어 두 범주는 동형이다. 범주의 동치를 말하는 것이 아님에 주의.
둘 다 같다면 격자처럼 대수적/순서론적 정의 모두 하나여야 하지 않나? 싶을 수 있지만 스톤 이후 이름이 Boolean ring으로 붙었고 진실은 저 너머에...
참고로 크기 무관하게 임의의 집합에 대해 해당 집합의 부분집합들 간 합집합, 교집합, 여집합이 불 대수가 되는 것은 잘 알려져 있다. 이를 사용하면 임의의 집합 대수가 다시 불 환이 됨을 알 수 있다. 이 반대도 성립하는데, 즉 임의의 불 환/불 대수에 대해 어떤 집합이 존재하여 해당 집합의 대수가 원래의 불 환/불 대수와 동형이다. 불 환의 경우 해당 환의 극대 이데알들을 모으면 된다. 이를 일반화한 것이 바로 스톤 쌍대성이다.
2.2. 기타 성질
3. 기타
- 논리 연산이 불 환의 대표적인 예시이다.