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1. 개요
Tensor product텐서곱은 선형대수학에서 여러 의미로 사용되는 개념이다.
2. 두 텐서의 텐서곱
[math(k )] 텐서 [math(T )]와 [math(l )] 텐서 [math(S )]가 주어져 있다고 하자. 그러면 [math(T )]와 [math(S )]의 텐서곱은 [math(T\bigotimes S(v_1, ..., v_k, v_{k+1}, ..., v_{k+l}))] [math( := T(v_1, ..., v_k) \times S(v_{k+1}, ..., v_{k+l}) )]로 정의되는 [math(k+l )] 텐서이다. 즉, 처음 [math(k )]개 좌표를 T에 넣고, 그 다음 [math(l )]개 좌표를 S에 넣어서 곱하는 함수이다. 이런 정의 때문에, 텐서 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다.(TS≠ST) 하지만, [math(F )] 상의 곱은 결합법칙이 성립하므로, 결합 법칙은 성립한다고 할 수 있다. 결합 법칙이 성립하므로, 여타 다른 연산과 마찬가지로 텐서 곱을 여러 번 할 때 괄호를 생략할 수 있다.2.1. 두 벡터의 외적(outer product)
랭크가 1인 텐서 두개 사이에 텐서곱을 가하면 랭크가 2인 텐서가 된다. 이같은 텐서곱의 특수한 경우를 외적이라 부르기도 한다. 외적 참조.3. 두 벡터 공간의 텐서곱
벡터 공간 [math( V )]와 [math( W )]가 주어져 있다고 하자. 그러면 [math( V )]와 [math( W)]의 텐서곱 [math( V \bigotimes W )]는 이들로부터 쌍선형적으로 확장되는 벡터 공간이다. 텐서곱의 정의는 여러 방식으로 가능하며, 여기서는 아래의 두 가지를 다루도록 하자.3.1. 텐서곱 연산에 의해 생성되는 벡터공간
[math( V, W )]의 기저 [math( \mathfrak{B} = \left\{ v_1, \cdots, v_n \right\} )], [math( \mathfrak{C} = \left\{ w_1, \cdots, w_m \right\} )]가 주어져 있다고 하자. 그러면 [math( V\bigotimes W )]는 [math( v_i \bigotimes w_j )]들에 의해 생성되는 벡터 공간이다. 이 때 이 공간의 덧셈과 스칼라곱은 다음과 같이 연산자 [math( \bigotimes )]가 [math( V, W )]의 덧셈과 스칼라곱에 대해 선형적이도록 정의된다. 즉,- 임의의 [math( c \in F )]와 [math( v, v' \in V )], [math( w, w' \in W )]에 대해 다음이 성립한다.
- (스칼라곱) [math( c\left( v\bigotimes w \right) := \left(cv \right) \bigotimes w = v \bigotimes \left(cw \right) )]
- (덧셈 1 - 좌분배법칙) [math( v\bigotimes w + v' \bigotimes w := \left(v + v' \right) \bigotimes w )]
- (덧셈 2 - 우분배법칙) [math( v \bigotimes w + v \bigotimes w' := v \bigotimes \left( w + w'\right) )]
이 정의에서 어떤 기저를 골라도 각각의 텐서곱은 동형이다. 또한, 텐서곱을 여러 번 할 때 어떤 순서로 해도 각각은 동형이므로 동형의 관점에서 결합 법칙이 성립한다고 할 수 있다.
여담으로, 사실 텐서 공간 [math( \mathfrak{J}^{k}\left(V\right) )]는 이러한 방식으로 [math(V^{*} )]의 텐서곱으로 정의된 것이다.
3.2. 곱공간의 몫공간
위의 정의는 각각이 동형이기는 해도 정의가 기저에 의존적이라는 문제가 있다. 이 문제를 해결하기 위해 텐서곱 [math( V\bigotimes W )]을 곱공간 [math( V \times W )]의 몫공간[math( \left. V \times W \right/ \sim )]으로 정의하기도 한다. 이 때 동치 관계 [math( \sim )]는 위의 정의에서 주어진 텐서곱의 세 가지 법칙에 따라 주어진다. 즉,- 임의의 [math( c \in F )]와 [math( v, v' \in V )], [math( w, w' \in W )]에 대해 다음이 성립한다.
- (스칼라곱) [math( c\left( v, w \right) \sim \left(cv, w \right) \sim \left(v, cw \right) )]
- (덧셈 1) [math( \left(v, w\right) + \left(v', w\right) \sim \left(v + v', w \right) )]
- (덧셈 2) [math( \left(v, w\right) + \left(v, w'\right) \sim \left(v, w + w'\right) )]
4. 두 가군 사이의 텐서곱
벡터공간을 체 위에서 정의된 가군 이라고 생각할 수 있으며, 가군을 벡터 공간의 확장으로 생각할 수 있다. 자연스럽게 일반적인 환 위서 정의된 가군에에서의 텐서곱 또한 생각할 수 있다.이에 대한 좋은 접근이라고 생각되는 Rotman의 An Introduction to Homological Algebra의 section 2.2 내용을 소개한다. Module의 tensor product를 다음과 같은 universal property를 만족하는 abelian group으로 정의한다:
[math( R)]을 ring이라 하자. Right [math( R)]-module [math(A)]와 left [math( R)]-module [math(B)]에 대하여, biadditive map [math(g: A \times B \rightarrow A\bigotimes_{R} B)]가 주어졌다고 하자.[1] 그러면 [math(A \times B)]에서 임의의 abelian group [math(G)]로 가는 biadditive map [math(f)]에 대하여 [math( f = \tilde{f} \circ g)]를 만족하는 [math(\mathbb{Z})]-map [math( \tilde{f}: A\bigotimes_{R} B \rightarrow G )]가 유일하게 존재한다.
이러한 tensor product [math( A \bigotimes B)]는 abelian group으로서 유일하게 존재한다. 유일성은 두 tensor product에 대한 diagram을 그려서 서로 같다는 것을 보이면 되고, 존재성은 위의 벡터 공간의 텐서곱과 같이 직접 free module의 quotient module을 잡아서 보이면 된다.굳이 이렇게 정의하는 이유는 관련 개념들을 정의할 때 module 간 tensor product의 정의로부터 well-definedness와 존재성, 그리고 유일성을 한꺼번에 보일 수 있기 때문이다. 예를 들어서 tensor functor가 잘 정의됨을 보이려면 [math( f\bigotimes g)]가 [math(\mathbb{Z})]-map으로서 유일하게 존재함을 보여야 할 텐데, 이것을 (학부 대수학에서 하듯이) 직접 잡아서 보여주는 것은 힘들 것이다. 그러나 위의 universal property를 이용하면 셋이 한번에 증명이 된다.
이러한 텐서곱에서 첫 번째 모듈을 [math((S,R))]-bimodule로 바꿔주면 scalar extension을 통해 그 tensor product를 [math(S)]-module로 만들어줄 수 있다. 그러면 tensor functor는 module category 위의 functor가 되며, 위의 universal property 또한 다음과 같이 재서술될 수 있다:
[math( R)]을 commutative ring이라 하자. [math( R)]-module [math(A, B)]에 대하여, bilinear map [math(g: A \times B \rightarrow A\bigotimes_{R} B)]가 주어졌다고 하자. 그러면 [math(A \times B)]에서 임의의 [math( R)]-module [math(M)]으로 가는 bilinear map [math(f)]에 대하여 [math( f = \tilde{f} \circ g)]를 만족하는 linear map [math( \tilde{f}: A\bigotimes_{R} B \rightarrow G )]가 유일하게 존재한다.
[math( R)]이 commutative ring임에 따라 right [math( R)]-module과 left [math( R)]-module의 차이가 없이 모두 bimodule이 됨에 유의하라. 즉, 위에서의 [math(A, B)]는 모두 [math((R,R))]-bimodule이다. 물론 임의의 ring에 대해서 그 center 위의 module로 보는 것도 가능하다. 이렇게 bimodule을 도입하면 텐서곱의 교환법칙이나 결합법칙 등이 적절한 형태로 서술될 수 있고, 실제로 성립한다. 교환법칙의 경우 right [math( R)]-module이 ([math( R)]이 commutative하지 않더라도) [math( (R^{op}, R))]-bimodule이고 반대도 마찬가지라는 사실을 이용한다.한편 위의 universal property로부터 텐서곱을 이해하는 관점 중 하나를 얻을 수 있는데, 바로 'bilinear map의 정보들 중에서 겹치는 부분을 잘라내고 linear map에 대한 정보로 바꿔주는 것'이 tensor product라는 것이다. 다음 사실은 이에 대한 직관을 키워준다:
[math( R)]을 ring, [math( M)]을 left [math( R)]-module이라고 하자. 그러면 [math( R\bigotimes M)]은 [math( M)]과 (natural하게) isomorphic하다.
왜냐하면 [math( M)]이 이미 scalar multiplication으로서 linear map에 대한 정보를 갖고 있기 때문이다.마지막으로 Hom functor와 tensor functor는 다음과 같은 adjoint한 관계를 갖는다:
[math( R, S)]가 ring이고 [math( A)]가 right [math( R)]-module, [math( B)]가 [math((R,S))]-bimodule, [math( C)]가 right [math(S)]-module일 때, [math( \mathrm{Hom}_{S}(A\bigotimes_{R} B, C))]와 [math(\mathrm{Hom}_{R}(A, \mathrm{Hom}_{S}(B,C)))]은 naturally isomorphic하다.
[math( R, S)]가 ring이고 [math( A)]가 left [math( R)]-module, [math( B)]가 [math((S,R))]-bimodule, [math( C)]가 left [math(S)]-module일 때, [math( \mathrm{Hom}_{S}(B\bigotimes_{R} A, C))]와 [math(\mathrm{Hom}_{R}(A, \mathrm{Hom}_{S}(B,C)))]은 naturally isomorphic하다.
[math( R, S)]가 ring이고 [math( A)]가 left [math( R)]-module, [math( B)]가 [math((S,R))]-bimodule, [math( C)]가 left [math(S)]-module일 때, [math( \mathrm{Hom}_{S}(B\bigotimes_{R} A, C))]와 [math(\mathrm{Hom}_{R}(A, \mathrm{Hom}_{S}(B,C)))]은 naturally isomorphic하다.
[1] 이렇게 left와 right를 따로 고려하는 이유는 biadditive 및 bilinear map을 그런 식으로 정의했기 때문이다.