행렬곱

1. 개요

2. 부자연스럽게 정의되는 이유

3. 이 문서의 표기법

4. 정의

4.1. 예시

4.2. 성질

• 교환법칙이 성립되지 않음
  

  ---

  
  두 정사각행렬 [math(A)], [math(B)]를 고려하자.
  {{{#!wiki style="text-align: center"
  
  [math(\displaystyle \begin{aligned} [AB]_{ij}&=\sum_{k}a_{ik}b_{kj} \\ [AB]_{ij}&=\sum_{k}b_{ik}a_{kj} \end{aligned})]}}}
  이다. 그런데 일반적으로
  {{{#!wiki style="text-align: center"
  
  [math(\displaystyle \begin{aligned} a_{ik} &\neq b_{ik} \\ a_{kj} &\neq b_{kj} \end{aligned})]}}}
  이므로 [math(AB \neq BA)]이다.
  
  그러나 성립하는 경우도 있는데, 다음과 같다.
• 곱하려는 행렬 중 하나가 단위행렬이거나 영행렬인 경우
• 곱하려는 행렬 중 하나가 단위행렬의 상수배인 경우

• 상수배
  

  ---

  
  두 행렬 [math(A)], [math(B)]에 상수배한 [math(cA)], [math(dB)]를 생각하자. 여기서 [math(c)], [math(d)]는 상수이다. 따라서 두 행렬의 곱 [math((cA) (dB))]를 고려하자. 행렬을 [math(C)]라 할 경우
  {{{#!wiki style="text-align: center"
  
  [math(\displaystyle \begin{aligned} c_{ij}&=\sum_{k}(ca_{ik})(db_{kj}) \\ &=cd \sum_{k} a_{ik}b_{kj} \\ &=cdAB \end{aligned})]}}}
  
• 결합법칙
  

  ---

  
  세 행렬 [math(A)], [math(B)], [math(C)]에 대하여
  {{{#!wiki style="text-align: center"
  
  [math(\displaystyle \begin{aligned} [(AB)C ]_{ij}&=\sum_{km} (a_{ik}b_{km})c_{mj} \\ &=a_{ik} (b_{km}c_{mj}) \\&=[A(BC ) ]_{ij} \end{aligned})]}}}
  이므로 [math((AB)C=A(BC))]이다. 이것은 실수에 대하여 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하기 때문이다.

• 분배법칙
  

  ---

  
  세 행렬 [math(A)], [math(B)], [math(C)]에 대하여
  {{{#!wiki style="text-align: center"
  
  [math(\displaystyle \begin{aligned} [(A+B)C ]_{ij}&=\sum_{k} (a_{ik}+b_{ik})c_{kj} \\ &=\sum_{k} a_{ik}c_{kj} + \sum_{k} b_{ik}c_{kj} \\&=[AC+BC ]_{ij} \end{aligned})]}}}
  마찬가지의 방법으로 [math(A(B+C)=AB+AC)]임을 얻는다. 이것은 실수 연산에서 분배법칙이 성립하기 때문이다.

• 영인자
  

  ---

  
  [math(AB=O)]가 성립한다고 하자. 이때, [math(A)]가 영행렬이 아니라면, [math(B)]는 반드시 영행렬이 될 필요가 없다. 이때, 행렬 [math(B)]를 영인자라고 한다.
• 예시
  

  ---

  
  두 행렬 [math(A)], [math(B)]가 다음과 같이 주어진다.
  {{{#!wiki style="text-align: center"
  
  [math(\displaystyle \begin{aligned} A&=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1& 1 \end{bmatrix} \\ B&=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1& 0 \end{bmatrix} \end{aligned})]}}}
  이때, [math(AB=BA=O)]이다.

4.3. 거듭제곱

4.3.1. 규칙성

• 곱해지는 행렬의 모든 성분이 -1, 0, 1 또는 문자로 나타내어진 변수임
• 곱한 결과 행렬의 모든 성분(일반항)을 숫자 및 연산 기호를 포함하고 아래 첨자를 제외하여 10개 이하의 문자로 나타낼 수 있음

• [math(I^k=I, O^k=O)]
• [math(A=\begin{bmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{bmatrix})]일 때, [math(A^k=\begin{bmatrix}1 & ka \\ 0 & 1\end{bmatrix})]
• [math(A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ a & 1\end{bmatrix})]일 때, [math(A^k=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ ka & 1\end{bmatrix})]
• [math(A=\begin{bmatrix}a & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix})]일 때, [math(A^k=\begin{bmatrix}a^k & 0 \\ \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}a^i & 1\end{bmatrix})]
• [math(A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & a\end{bmatrix})]일 때, [math(A^k=\begin{bmatrix}1 & \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}a^i \\ 0 & a^k\end{bmatrix})]
• [math(A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ a & b\end{bmatrix})]일 때, [math(A^k=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ a\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}b^i & b^k\end{bmatrix})]
• [math(A=\begin{bmatrix}a & b \\ 0 & 1\end{bmatrix})]일 때, [math(A^k=\begin{bmatrix}a^k & b\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}a^i \\ 0 & 1\end{bmatrix})]

4.4. 제곱근행렬

#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를

#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[제곱근행렬#s-|]]번 문단을

#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[제곱근행렬#|]][[제곱근행렬#|]] 부분을

5. 기타

5.1. 아드마르 곱

5.2. 연산 횟수

• [math((AB)C)]
  

  ---

  
  [math(abc+acd=ac(b+d))]회
• [math(A(BC))]
  

  ---

  
  [math(abd+bcd=bd(a+c))]회

6. 컴퓨터에서

• Microsoft Excel에서는 MMULT 함수를 이용하여 행렬곱을 구한다. 자세한 것은 Microsoft Excel/함수 목록 문서 참고.
• Python의 NumPy 라이브러리에서는 dot() 메소드를 이용하여 두 행렬의 곱을 구한다.

7. 활용

• 인공신경망의 다층 퍼셉트론 (Multi Layer Perceptron, MLP)
• 네트워크 이론에서의 인접행렬(adjacency matrix)에서 길이가 [math(n>1)]인 걸음의 수 구하기

7.1. 선형변환의 행렬표현과 행렬곱

• 선형변환 [math(T_A)], [math(T_B)]의 행렬표현을 각각 [math(A)], [math(B)]라 하면, [math(AB)]는 어떤 도형에 [math(T_B)]를 적용하여 변환시킨 다음에 [math(T_A)]를 적용하여 또 한번 변환시키는 것을 의미한다. (합성변환)
• 특정 행렬표현의 [math(n)]제곱은 해당 선형변환을 [math(n)]번 반복한다는 것을 의미한다.

• 원점 대칭변환, 특정 직선에 대한 대칭변환, 3차원 이상의 좌표계에서 특정 평면, 입체 등에 대한 대칭변환 등 대부분의 대칭변환의 행렬표현의 제곱은 단위행렬 [math(I)]이다.
• 원점을 중심으로 [math(\theta)]만큼 회전시키는 회전변환 행렬의 [math({2n\pi}/{\theta})]제곱은 단위행렬이다.

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