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1. 개요
一次函數 / linear function[1]일차함수는 다항함수의 일종으로, 다음과 같이 정의된다.
[math(f(x) = ax + b \qquad)]([math(a \neq 0)]이고, [math(a)], [math(b)]는 상수)
그림은 일차함수의 그래프 중 일부이다.
좌측은 [math(f(x):{\mathbb R} \to {\mathbb R})], 우측은 [math(f(z):{\mathbb C} \to {\mathbb C})]의 그래프이다.[2]
일반적으로 다변수함수로 확장하면, 다음과 같이 된다. 이를 선형형식(linear form)[3]이라고 한다. 이를 일반화한 개념이 텐서이다.
[math(\displaystyle f(x_1,\, x_2,\, \cdots,\, x_n) = \sum_{k=1}^{n}a_{k}x_{k} +b)]
위 식은 벡터를 이용해서 아래와 같이 바꿀 수 있다. [math(\ast)]는 수반 연산자이다.
[math(\displaystyle f({\bold x}) = {\bold a}^{\ast}{\bold x} +b)]
1.1. 상세
일차함수 [math(f(x)=ax+b)]는 다음을 만족시킨다.- [math(\deg f(x))][4] [math(= 1)]이다.
- 기울기는 [math(a)]이다.
- 일대일대응이며, 좌표평면상의 그래프는 직선으로 기울기가 일정하다. 곧,
- [math(a>0)]이면, [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값이 증가한다.
- [math(a<0)]이면, [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값이 감소한다.
- 가능한 모든 그래프끼리 닮음이며, 따라서 합동이다.
- [math(x)]절편은 [math(-\dfrac{b}{a})]이다.
- [math(y)]절편은 [math(b)]이다.
- 도함수 [math(f'(x)=a)]로 상수함수이다.
- 역도함수는 [math(\displaystyle \int f(x)\,{\rm d} x=\dfrac{ax^2}{2}+bx+C)]로 이차함수이다.(단, [math(C)]는 적분 상수)
- 역함수는 [math(y=(x-b)/a)]로 일차함수이다.[6]
1.2. 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수
위 그림과 같이 그래프 위의 점에서는 그래프에 접선을 하나[7]만 그을 수 있으며 이는 그 점에서의 접선이다. 그래프 위에 있지 않은 점에서는 접선을 그을 수 없다. 그래프 위의 점에서 그은 접선은 일차함수의 그래프와 일치한다.
2. 해석기하학적 의미
2.1. 직교좌표계에서
그래프가 직선이기 때문에 '선형함수'라고도 부른다.
2.2. 극좌표계에서
극좌표계상에서[math(r(\theta) = a\theta + b \qquad)]([math(a \neq 0)]이고, [math(a)], [math(b)]는 상수)
의 그래프는 나선이 되는데 이를 아르키메데스 나선이라고 한다.
아래는 가장 간단한 경우인 [math(b=0)]인 경우에 대하여 그래프의 개형을 그려본 것이다.
실생활에서 의외로 자주 볼 수 있는데, 다름 아닌 모기향이 아르키메데스 나선을 본떠 만들기 때문이다. 또한 자연계에서도 거미줄이 이 나선으로 만들어졌다.[8]
3. 해석학적 의미
위 정의식에서 [math(a=1)], [math(b=0)]일 경우[9]를 생각해보자.[math(f(x) = x)]
이는 항등함수의 일종이며, 다음과 같은 성질을 가진다:
- 원점에 대칭인 홀함수이다. 즉 [math(x =-(-x))]가 성립한다.
- 역함수의 기준선이다. 즉 역함수 관계의 두 함수는 [math(f(x) = x)]에 대칭이다.
- 역함수는 자기 자신이다.
- 정비례 관계이다. 즉 [math(x)]가 증가하면 함숫값도 증가하는 증가함수이다.
- 도함수는 상수함수로, [math(f'(x) =1)]이다.
- 역도함수는 이차함수로, [math(\displaystyle \int x\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^2}{2} +C)]이다.(단, [math(C)]는 적분 상수.)
3.1. 등차수열
등차수열의 일반항은 일차식으로 나타나기 때문에, 공차를 일차항의 계수로 하고 정의역이 자연수인 일차함수로 볼 수 있다. 등차수열 참고.3.2. 일차함수에 관한 추론
3.3. 길이 및 거리(유클리드 노름)
3.4. 미분가능성
수학에서 미분(derivative, 微分) 또는 도함수(導函數)는 어떤 함수의 정의역 속 각 점에서 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량 비의 극한 혹은 극한들로 치역이 구성되는 새로운 함수다. 어떤 함수의 미분 계수 또는 순간 변화율을 구하는 것을 의미하며 미분 계수는 독립 변수 [math(x)]의 증분에 관한 함숫값 [math(f(x))]의 증분의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값, 즉 함수에서 변수 x값의 변화량에 관한 함숫값 [math(f(x))]의 변화량 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값 [math({\rm d}y/{\rm d}x)]로 나타낸다.동사로서 미분(differentiation)은 이러한 극한이나 도함수를 구하는 일, 즉 미분법을 뜻하기도 한다. 도함수에서 미분의 역연산을 통해 원시함수(antiderivative)를 구하는 것 역시 미분법(differential calculus)의 주요 주제다.
미분은 비선형 함수를 선형함수로 근사적으로 나타내려는 시도다. 비선형 함수를 미분하여 한 점 주변에서 1차 함수로 생각한다. 이를 반복하면 함수의 다항함수 근사를 얻으며 무한 번 하면 테일러 급수를 얻는다. 이는 14세기 인도 수학자의 저작에도 등장한다. 기하학적으로는, 비선형적인 함수로 표현되는 곡선의 한 점에서 그 곡선과 비슷한 직선인 접선을 구하는 것으로도 볼 수 있다. 일반적으로 미분기하학에서는 선형 공간인 접공간을 생각하여 미분다양체를 선형적으로 바라보며, 미분형식, 미분다양체에서 적분등은 모두 접공간이 필수적으로 고려되어야 한다.
4. 선형대수학적 의미
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선형대수학의 알파이자 오메가로, 이것을 하나의 수(벡터)로 가정하고 이를 집합(벡터 공간)으로 삼아 이론을 전개한다.
5. 정수론적 의미
디리클레 정리가 일차함수 위의 소수를 다룬다.6. 고전역학적 의미
등속직선운동이 일차함수의 형태를 띤다.[1] 단, 영단어 linear function은 상수함수도 포함한다.[2] 우측의 경우 [math(f(z)=z)]라는 식에서 보듯 다색 복소평면의 기본형이다.[3] 줄여서 선형(linear)이라고 하기도 한다. 선형형식으로 표현할 수 없는 꼴이면 비선형(nonlinear)이라고 한다.[4] f(x)의 차수[5] 그야말로 모든 경우에 극값을 갖지 않는 다항함수는 일차함수밖에 없다.[6] 역함수와 차수가 일치하는 다항함수는 일차함수밖에 없다.[7] 중복을 허용해서 세면 [math(2^{aleph_0})]개. 겹쳐져서 1개로 보일 뿐 모든 실수에 대한 접선이 대응되기 때문이다.[8] 그래서인지 스파이더맨: 노 웨이 홈에서 이 나선이 언급되었다.[9] 이렇게 단항식으로 정의된 다항함수는 따로 멱함수(冪函數)라고 칭한다.