1. 개요
quadratic equation · 二次方程式[math(x)]에 대한 방정식을 가장 간단히 정리했을 때,
[math( ax^2+bx+c=0 \quad )](단, [math(a \neq 0)])
형태로 정리되는 것을 이차방정식이라 한다. [math(b)]와 [math(c)]는 0이 될 수 있다.
2. 선수 지식
2.1. 두 다항식의 곱이 0일 때
어떤 두 [math(x)]에 대한 다항식 [math(A)], [math(B)]을 고려했을 때,[math( AB=0 )]
이면, [math(A=0)] 또는 [math(B=0)]이어야 한다.
2.2. 인수분해
이차식은 일반적으로 일차식의 두 곱으로 분해할 수 있다.
3. 해법
3.1. 인수분해 되는 경우
이차방정식 [math(f(x)=0)]에서 [math(f(x))]가 두 일차식 [math(A(x))], [math(B(x))]의 곱 [math(A(x)B(x))]로 인수분해 될 때는 선수 지식의 내용을 적용한다.[math( A(x)B(x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad A(x)=0 \,\,{\sf or}\,\, B(x)=0 )]
이때, 각 방정식 [math(A(x)=0)], [math(B(x)=0)]은 일차방정식이므로 쉽게 풀 수 있다.
3.2. 인수분해 되지 않는 경우
인수분해가 되지 않는 경우 다음과 같은 과정을 따른다.이차방정식 [math(ax^2+bx+c=0)]에 대하여 우선 상수항을 우변으로 이동시킨다.
[math( ax^2+bx=-c )]
이제, 이차항의 계수로 나눈다.
[math( \displaystyle x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} )]
좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해 일차항의 계수를 2로 나눈뒤 제곱한 것을 더하고 뺀다.
[math( \displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\biggl(\frac{b}{2a} \biggr)^{2}-\biggl(\frac{b}{2a} \biggr)^{2}=-\frac{c}{a} )]
좌변의 마지막 항을 우변으로 이항시킨다.
[math( \displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\biggl(\frac{b}{2a} \biggr)^{2}=\biggl(\frac{b}{2a} \biggr)^{2}-\frac{c}{a} )]
이제 좌변은 완전제곱식으로 나타낼 수 있다.
[math( \displaystyle \biggl(x+\frac{b}{2a} \biggr)^{2}=\biggl(\frac{b}{2a} \biggr)^{2}-\frac{c}{a} )]
이상에서
[math( \displaystyle x+\frac{b}{2a} =\pm \sqrt{ \biggl(\frac{b}{2a} \biggr)^{2}-\frac{c}{a} } )]
이므로 근은
[math( \displaystyle x =-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{ \biggl(\frac{b}{2a} \biggr)^{2}-\frac{c}{a} } )]
이다.
이제 이것을 조금 간단히 정리하자. 우선 루트 안을 정리하면,
[math( \displaystyle x =-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } )]
루트안의 분수의 분모는 루트를 벗길 수 있다.
[math( \displaystyle x =-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{ b^2-4ac }}{2a} )]
이에 따라
[math( \displaystyle x =\frac{-b\pm \sqrt{ b^2-4ac }}{2a} )]
가 되는데, 이것을 이차방정식의 근의 공식이라 한다.
만약 [math(b=2p)]인 경우, 즉
[math( ax^2+2px+c=0 )]
인 경우에는 근의 공식에서
[math( \displaystyle \begin{aligned} x &=\frac{-2p \pm \sqrt{ (2p)^2-4ac }}{2a} \\ &=\frac{-2p \pm \sqrt{ 4(p^2-ac) }}{2a} \\ &=\frac{-2p \pm 2\sqrt{ p^2-ac }}{2a} \\ &=\frac{-p \pm \sqrt{ p^2-ac }}{a} \end{aligned} )]
의 짝수 버전의 근의 공식을 얻는다.
4. 특별한 경우
4.1. 중근의 존재
이차방정식은 해의 겹침이 있는 중근이 포함될 수 있으며, 이 경우 근은 1개가 된다.4.2. 실근이 존재하지 않는 경우
해의 범위를 실수로 제한한다면, 이차방정식의 근은 존재하지 않을 수 있다.다만, 복소수 범위로 확장한다면, 이차방정식은 언제나 두 근을 가진다.
5. 해석기하학
모든 이차방정식은 [math(f(x)=0)](단, [math(f(x))]는 이차함수) 형태로 바꿀 수 있으며, 이는 [math(y=f(x))]와 [math(y=0)]([math(x)]축)과의 교점의 [math(x)]좌표가 방정식의 근이 된다.위 경우는 두 실근이 존재하는 경우, 중근인 경우, 실근이 없는 경우를 나타내었다.
6. 근과 계수의 관계
이차방정식 [math(ax^2+bx+c=0)]에 대하여, 다음이 성립한다.
- 두 근의 합: [math(-\dfrac{b}{a})]
- 두 근의 곱: [math(\dfrac{c}{a})]
7. 판별식
모든 이차방정식의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.[math( \displaystyle x =-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{ \biggl(\frac{b}{2a} \biggr)^{2}-\frac{c}{a} } )]
따라서 근호 안의 부호에 따라 근의 종류가 결정된다.
이에 따라 근호 안의 식을 판별식이라 하고,
[math( D=b^{2}-4ac )]
라 한다.
- 두 실근이 존재할 때
이 경우에는 판별식이 양수이면 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( D>0 )]}}}
- 중근일때
이 경우에는 판별식이 0이면 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( D=0 )]}}}
- 두 허근을 가질 때[1]
이 경우에는 판별식이 0이면 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( D<0 )]}}}
다만, [math(b=2p)]인 경우
[math( D=(2p)^2-4ac )]
가 되어 약분한
[math( \dfrac{D}{4}=p^2-ac )]
의 부호를 따져도 된다.
8. 해의 특성
8.1. 세 계수가 유리수일 때
이차방정식 [math(ax^2+bx+c=0)]에서 세 계수가 유리수라면,[math( x=a+\sqrt{b} )]
가 근이라면, 즉 무리수 형태의 근이 나온다면, 그 켤레
[math( x=a-\sqrt{b} )]
도 근이다. 이것은 근의 공식의 특성 때문이다.
8.2. 세 계수가 실수일 때
이차방정식 [math(ax^2+bx+c=0)]에서 세 계수가 실수라면,[math( x=a+bi \quad )] (단, [math(i=\sqrt{-1})])
가 근이라면, 즉 복소수 형태의 근이 나온다면, 그 켤레 복소수
[math( x=a-bi )]
도 근이다. 이유는 상동이다.
9. 이차방정식의 작성
만약 본인이 [math(x=m)] 또는 [math(x=n)]이라는 근을 갖는 이차방정식을 만들고 싶다면,[math( a(x-m)(x-n)=0 )]
형태로 작성하면 된다. [math(a)]는 본인이 선택하면 되는 상수이다.
[1] 바꿔 말하면 실근을 갖지 않을 때