유형 이론

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1. 개요2. 개념

2.1. 타입

3. 목록

3.1. Martin-Löf type theory (MLTT)3.2. Calculus of Constructions (CoC)3.3. Calculus of Inductive Constructions (CIC)3.4. Homotopy Type Theory (HoTT)

4. 관련 문서

1. 개요

유형 이론은 수학, 논리학 그리고 컴퓨터 과학에서 소박한 집합론의 대안적인 형식 시스템 혹은 형식 이론 관련 연구 분야를 의미한다. 현대에는 증명보조기의 기반이론으로 쓰인다.

2. 개념

2.1. 타입

수학적 대상들을 집합을 통해 분류하고 정의하는 집합론과 다르게, 유형 이론에서는 타입을 이용한다. 타입은 집합과 마찬가지로 원소들의 모임이지만, 몇가지 차이가 있다.

집합론에선 한 대상이 여러 집합의 원소가 될 수 있지만, 유형 이론에서는 일반적으로 한 대상이 한 개의 타입에만 속한다.
집합론에선 어떤 대상을 그 대상이 속하는 집합과 무관하게 고려할 수 있지만, 유형 이론에서 어떤 대상은 반드시 그 대상이 속하는 타입과 함께 고려되어야 한다.
집합의 개념은 논리체계 위에서 선택된 공리와 공리꼴들로부터 만들어지는 반면, 타입의 개념은 그 자체로 논리체계의 일부이다.
한 대상이 어떤 집합의 원소임을 뜻하는 [math(x \in A)]는 명제이지만, 한 대상이 어떤 타입의 원소임을 뜻하는 [math(x : A)]는 명제가 아닌 판단(judgement)이다.

타입은 그 자체로 명제에 대응하는 개념이기도 하다.(propositions as types)

3. 목록

3.1. Martin-Löf type theory (MLTT)

Per Martin-Löf가 고안한 의존 타입 이론. [math(\Pi)]-type, [math(\Sigma)]-type, identity type, W-type 과 universe 등의 개념을 가지고 있다. Agda의 기반 이론으로 사용된다.

3.2. Calculus of Constructions (CoC)

Thierry Coquand 등이 고안한 의존 타입 이론. Impredicative prop universe를 가진것이 특징이다.

3.3. Calculus of Inductive Constructions (CIC)

CoC에 귀납적 타입 정의를 추가하여 확장한 이론이다. Coq의 기반 이론으로 사용되고 있다.

3.4. Homotopy Type Theory (HoTT)

필즈상 수상자이기도 한 블라디미르 보예보츠키가 고안한 타입 이론이다. 연속변형성의 개념에 기반하여 MLTT의 identity type을 재해석하는 과정에서 생겨났다. Univalence axiom을 이용해서 동형인(isomorphic) 두 대상이 같음을(equal) 증명할 수 있다.