일차방정식

선형대수학 Linear Algebra
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1. 개요2. 상세

2.1. 미지수가 한 개인 일차방정식

2.1.1. 해법2.1.2. 부정과 불능2.1.3. 특별한 미지수가 포함됐을 경우2.1.4. 기하학적 의미

2.2. 미지수가 두 개인 일차방정식

2.2.1. 기하하적 의미

1. 개요

linear equation · 一次方程式

미지수의 차수가 1인 방정식.

[math(x)]에 대한 방정식

[math( ax+b=0 \quad )] (단, [math(a\neq 0)])

을 일차방정식이라 한다. [math(a)], [math(b)]는 상수이다.

등식의 성질을 복습해보자.

이 성질을 이용하여 일차방정식을 [math(px=q)] 형태로 만든다.

이상에서 등식의 성질을 사용하여

[math( \begin{aligned} x=\frac{q}{p} \end{aligned} )]

일차방정식을 [math(px=q)] 형태로 정리했을 때,

[math(p=0)], [math(q \neq 0)]이라면, [math(x)]가 어떤 수가 되더라도 등식은 성립하지 않는다. 즉, 해가 없는 불능이 된다.
[math(p=0)], [math(q = 0)]이라면, [math(x)]가 어떤 수가 되더라도 등식은 성립한다. 즉, 해가 무수히 많은 부정이 된다.

미지수에 절댓값이 포함된 경우에는 다음과 같은 과정을 따른다.

제곱의 제곱근 형태는 절댓값으로 대치하여 위와 같은 과정을 따른다.

일차방정식은 일차함수 [math(f(x))]에 대하여 [math(f(x)=0)] 꼴이다.

즉, 해석 기하학적으로 [math(y=f(x))]와 [math(x)]축이 만나는 교점의 [math(x)]좌푯값이 방정식의 해가 된다.

미지수가 두 개인 일차방정식

[math( ax+by+c=0 \quad )] (단, [math(a\neq 0)], [math(b\neq 0)])

을 고려할 수 있다.

이 경우에는 미지수의 개수보다 항의 개수가 작기 때문에 해는 1개로 정해지지 않는다.

위 예에서 [math(x=t)]라 놓으면,

[math( \begin{aligned} y=-\frac{at+c}{b} \end{aligned} )]

로 결정할 수 있다. 즉, [math(t)]값이 선택되면, [math(y)]가 결정되는 구조로 해는 여러개이다.

부정방정식의 일종이다.

결국 이는 [math(f(x,\,y)=0)]을 푸는 것으로 좌표공간에서 [math(f(x,y))]는 평면을 나타내며, 이 평면이 [math(xy)]평면과 만나는 교점들의 점의 집합이 방정식의 해가 된다.