1. 개요
不等式 / Inequation방정식이 [math(a=b)]와 같이 어떤 두 정식의 같음을 비교하는 것이라면, 부등식은 같지 않음을 비교하는 것. 다만 [math(a\neq b)]라고만 표현하면 어느 쪽이 더 큰지 작은지 비교를 할 수 없기 때문에 [math(<,>,\leq,\geq)]와 같은 기호를 동원한다. 이를 부등호라고 하며 각 기호의 뜻은 차례대로 "작다", "크다", "작거나 같다 (크지 않다)", "크거나 같다 (작지 않다)"이다.
영어의 경우, 규범문법에서는 단일 표현으로 이상 이하를 지칭하는 것은 불가능하다고 규정한다. 각각 'is X or greater than', 'is X or less than'로 표현하는 것이 규범상 정확하다. 그러나 greater와 less 가 비교대상수를 포함하는 것이 잠재적으로 가능하다. 따라서 above, over, excess, bigger than, under, below, in short of, upward, more 등의 표현은 엄밀하게 말하자면 '수학'에서 사용할 수 없다. 수학에서 쓰이는 부등식 용어는 greater, less(smaller도 인정)로 엄격하게 정해져 있으므로 장차 외국인과 학술적인 대화를 나누거나 에세이를 쓸 때 유의하자. 불어의 경우는 상황이 더 심각하여서, 퀘벡불어와 프랑스불어 사이에 기준수를 포함하는가의 여부가 규범적으로도 다르다.
이렇기에, 2007 개정 교육과정부터서는 수학 교과서에서 '이상', '이하' 표현을 삭제하고 대신에 '크거나 같다'(greater than or equal to), '작거나 같다'(less than or equal to)로 통용한다. 학문적 정밀함이 요구되는 경우 일상언어에서의 모호함이 문제가 되어 해당 용어를 피하는 경우가 발생한다. '이상/하'의 경우도 그러하다고 할 수 있다. 미래에는 '이상'과 '이하'이라는 용어가 앞으로 수학계에서 사어화가 될 예정이다.
2. 상세
2.1. 정의
각 부등호는 엄밀하게 다음을 의미한다.- [math(a>0\equiv a\in\mathbb{R}^+)]
- [math(a<0\equiv a\in \mathbb{R}^-)]
- [math(a\ge 0\equiv a\in\mathbb{R}^+ \cup \{0\})]
- [math(a\le 0\equiv a\in \mathbb{R}^- \cup \{0\})]
- [math(a>b \equiv a-b>0)]
- [math(a<b \equiv a-b<0)]
- [math(a\ge b\equiv a-b\ge 0)]
- [math(a\le b \equiv a-b\le 0)]
여기서 [math(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^-)]는 다음 성질을 만족하는 실수의 부분집합이다.
- [math(0\notin \mathbb{R}^+)], [math(0\notin \mathbb{R}^-)], [math(\mathbb{R}^+ \cap \mathbb{R}^- = \emptyset)]
- [math(\complement\mathbb{R}^+ = \mathbb{R}^- \cup \{0\} \Leftrightarrow \complement\mathbb{R}^- = \mathbb{R}^+\cup \{0\})]
- [math(a,b\in \mathbb{R}^+\Rightarrow (a+b)\in \mathbb{R}^+)]
- [math(a,b\in \mathbb{R}^+\Rightarrow ab\in \mathbb{R}^+)]
- [math((a\in \mathbb{R}^+ \vee a=0 \vee a\in \mathbb{R}^-)\wedge \neg ((a\in \mathbb{R}^+ \wedge a=0) \vee (a\in \mathbb{R}^+ \wedge a \in \mathbb{R}^-) \vee (a=0 \wedge a\in \mathbb{R}^-)))]
일반적으로 [math(\mathbb{R}^+)]를 양의 실수 또는 양수, [math(\mathbb{R}^-)]를 음의 실수 또는 음수라고 부른다.
2.2. 성질
방정식과 마찬가지로, 조건부등식은 그 자체로는 명제가 될 수 없다. 그렇다고 진릿값이 정해지지 않은 부등식이 없는 건은 아니다. 방정식에 항등식이 있듯이, 부등식에도 항상 성립하는 부등식인 절대부등식은 항상 참이다.앞으로 나오는 모든 문자는 특별한 말이 없는 한 모두 임의의 실수이다. 또한 특별한 말이 없는 한 다른 부등호 기호에도 모두 성립하는 성질이다.
- 추이율: [math(a\leq b, b\leq c)]이면 [math(a\leq c)]가 성립한다. 단, 여기서 어느 하나라도 강부등호[1]가 들어가면 결과에도 강부등호가 쓰인다.[2] 추이율은 모든 부등호 기호에 대해 성립하나, 반사율과 대칭율은 부등호 기호에 따라서 성립하기도 하고 성립하지 않기도 한다. 반사율은 [math(\leq,\geq)]의 경우만, 대칭율은 등호가 성립할 때만 성립한다. 따라서 부등호는 동치관계가 아니다.
- 덧셈, 뺄셈: [math(a\leq b)]일 때, [math(a+c\leq b+c, a-c\leq b-c)]이다.[3]
- 곱셈, 나눗셈: [math(a\leq b)]이고 [math(c>0)]이면 [math(\displaystyle ac\leq bc,\,\frac{a}{c}\leq\frac{b}{c})]가, 만약 [math(c<0)]이면 [math(\displaystyle ac\geq bc,\,\frac{a}{c}\geq\frac{b}{c})]가 성립한다. 특히, [math(a\leq b)]이면 [math(-a\geq -b)]가 성립한다. 알아놔야 할 점은 양변에 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다는 것이다.
- 역수: [math(0<a\leq b)]이면, [math(\displaystyle 0<\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a})]가, [math(a\leq b<0)]이면 [math(\displaystyle \frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}<0)]이, 그리고 [math(a<0<b)]이면 [math(\displaystyle \frac{1}{a}<0<\frac{1}{b})]가 성립한다. 즉, 역수를 취하면 부등호 양 쪽 두 수의 부호가 같으면 부등호의 방향이 바뀌고, 부호가 다르면 바뀌지 않는다.
- 보존성: 증가, 감소 함수를 합성해도 부등호의 방향은 유지된다. 증가함수를 예로 들어보자. 함수 [math(f)]가 단조 증가 함수라 가정하고,[4] [math(a\leq b)]라 하자. 그럼 [math(f\left(a\right)\leq f\left(b\right))]가 그대로 성립한다. [math(a<b)]여도 그대로 성립한다. 만약 함수 [math(f)]가 강증가 함수이고,[5] [math(a\leq b)]이면 [math(f\left(a\right)\leq f\left(b\right))], [math(a<b)]이면 [math(f\left(a\right)<f\left(b\right))]가 성립한다. [math(f)]가 감소 함수이면 부등호 방향이 전부 반대. 참고로 이를 이용해서 일부 부등식을 쉽게 증명할 수 있다. 부등식에 지수가 많으면 로가리듬을 이용, 그후 미분을 사용하는 식으로.
- [math(a<b)]라 하자. 그럼 이는 적당한 실수 [math(r>0)]이 존재하여 [math(a+r=b)]를 만족함과 동치이다. 만약 [math(a\leq b)]이면 적당한 실수 [math(r\geq0)]이 존재하여 [math(a+r=b)]를 만족함과 동치. 이를 사용하여 부등식을 방정식 문제로 바꿀 수 있다.
1번 부터 5번까지의 기본 성질은 모두 실수의 기본 성질과 6번 성질, 그리고 정의를 사용하여 증명이 가능하다.
2.3. 부등식의 해법
풀이는 대체로 방정식과 비슷한 느낌으로 하면 된다. 부등호의 방향에만 신경쓰면 된다. 부등호의 방향을 실수하는 경우가 많다. 부등식의 성질과 마찬가지로 아래 부등식의 모든 예는 특별한 말이 없는한 모든 부등호에 대해 성립한다.2.3.1. 일변수 부등식
중고등학교에서 주로 풀게 되는 부등식. 식으로는 [math(f\left(x\right)\geq 0)]의 형태의 부등식을 말한다.2.3.1.1. 일차 부등식
[math(ax+b\geq 0)]과 같은 형태의 부등식이다. 일차부등식이므로 [math(a\neq 0)]이다.[math(b)]를 이항한 뒤 [math(a)]를 양변에 나눠주면 된다. 이 때 [math(a)]가 양수냐 음수냐에 따라 부등호의 방향이 바뀌므로 주의. [math(a)]가 양수이면 나누어도 부등호가 그대로이지만 음수라면 부등호의 방향이 바뀌게 된다.일차 부등식은 아니지만 위 부등식에서 [math(a=0)]인 경우
- [math(b\geq 0)]: [math(x)]값에 관계없이 항상 성립하므로 절대부등식이 된다.
- [math(b<0)]: [math(x)]값에 관계없이 항상 성립하지 않는다.
2.3.1.2. 이차 부등식
[math(ax^2+bx+c>0)] 혹은 [math(ax^2+bx+c\geq0)] 형태의 부등식. 여기서 부터 방정식과 풀이법이 조금씩 달라지기 시작한다. 풀이는 아래와 같다.- 먼저 [math(x^2)]의 계수를 양수로 바꿔준다.
- [math(ax^2+bx+c=0)]의 근을 구한다. 근을 [math(\alpha, \beta)]라 하자. (단 [math(\alpha\leq\beta)])
- 만약 부등호가 [math(>0)]이면, [math(x<\alpha, x>\beta)]가 답. 부등호가 [math(\geq)]이면 답에도 등호가 들어간다. 단, [math(\alpha=\beta)]일 경우 전자는 [math(x=\alpha)]를 제외한 모든 값, 후자는 모든 [math(x)]값이 답이다.
- 부등호가 [math(<0)]이면 [math(\alpha<x<\beta)]가 답. 부등호가 [math(\leq)]이면 답에도 등호가 들어간다. 단, [math(\alpha=\beta)]일 경우 전자는 답이 없음, 후자는 [math(x=\alpha)]만 답.
2.3.1.3. 고차 부등식
삼차 이상의 부등식. 방정식은 근의 공식이 4차까지 존재하기 때문에[6] 위 이차 부등식의 풀이와 비슷하게 해법 알고리즘을 짤 수 있지만 그러기엔 너무 비효율적이다. 여기서부터는 함수의 그래프를 적극 활용하게 된다. 풀이 방법은 아래와 같다.- 부등식을 방정식으로 바꿔준 뒤 근을 전부 구한다.
- 수직선에 근을 찍고 그래프의 개형을 그려준다.
- 부등호가 [math(<)]나 [math(\leq)]였다면 수직선 아랫부분에 해당하는 [math(x)]값이 답.
- 부등호가 [math(>)]나 [math(\geq)]였다면 수직선 윗부분에 해당하는 [math(x)]값이 답.
[math(\left(x+6\right)\left(x-1\right)\left(x-4\right)<0)]을 예로 들면, 위 그래프에서 [math(x)]축 아래에 해당하는 부분, 즉 [math(x<-6, 1<x<4)]가 답이 된다.
사실 이 그래프를 이용하는 방법은 거의 모든 부등식에 사용이 가능하다. 다만 다변수 부등식의 경우는 그래프를 그리려면 고차원으로 확장해야 하기 때문에...
2.3.2. 여러 가지 부등식
- 연립 부등식: 부등식이 여러개 연결되어 있는 형태. 간단하게는 [math(a<b<c)]도 [math(a<b)]와 [math(b<c)]의 연립 부등식이라 볼 수 있다. 풀이는 각 부등식을 따로 풀어준 뒤, 교집합에 해당하는 부분만 골라내면 된다.자세한 설명[7]
- 절댓값이 들어간 부등식[8]: [math(\left|x\right|<a,\,\left(a>0\right))]는 [math(-a<x<a)], [math(\left|x\right|>a)]는 [math(x<-a, x>a)]와 동치임을 이용하여 절댓값을 벗겨준 뒤 부등식을 풀어주면 된다. 다만 이는 절댓값을 간단히 풀어줄 수 있을 때의 얘기고, 그렇지 않을 경우에는 그래프를 그려서 해결하자.
- 유리 부등식: [math(\displaystyle \frac{1}{x+1}\leq\frac{1}{x^2+1})]과 같이 변수가 분모에도 있는 부등식을 말한다. 이를 풀 때는 부등식의 양변에 양수를 곱해도 부등호의 방향이 바뀌지 않는다는 성질을 이용한다. 다만 [math(x+1)]같은 경우는 양수인지 음수인지 확실히 알 수 없으므로 제곱을 해서 곱한다.[9] 즉, 위 부등식의 경우에는 [math(\left(x+1\right)^2\left(x^2+1\right))]을 곱한 뒤 풀어준다. 주의할 점은, 분모를 [math(0)]으로 만드는 [math(x)]값을 체크해서 꼭 제외해 주어야 한다.
- 무리 부등식[10]: [math(\sqrt{x+1}\leq\sqrt{x^2+1})]과 같이 근호 안에 변수가 들어가 있는 부등식. 양변을 제곱하여 근호를 벗겨준 뒤 풀어주면 된다. 단, 근호 안을 음수로 만드는 [math(x)]값은 반드시 제외해 주어야 한다.
- 함수 부등식: 부등식에 지수, 로가리듬, 삼각함수와 같은 것이 섞여있는 경우를 말한다. 보통 [math(f\left(x\right)<g\left(x\right))]의 형태로 나타난다. 푸는 방법은 바로 함수의 그래프를 이용하는 방법. 좌표계에 [math(f\left(x\right))]와 [math(g\left(x\right))]의 그래프를 각각 그려준 뒤, [math(f)]가 [math(g)]보다 아래 쪽에 있는 부분의 [math(x)]값만 취해주면 된다. 혹은 [math(f\left(x\right)-g\left(x\right))]의 그래프를 그린 뒤 [math(x)]축 아래에 있는 부분을 취해도 된다. 양변 다 지수함수거나 로그함수일 경우는 부등식의 보존성을 활용할 수도 있다. 예를 들어 [math(2^x<2^{3x+1})]을 푼다고 하자. 그럼 [math(2^x)]는 강증가 함수이므로 간단하게 [math(x<3x+1)]만 풀면 [math(\displaystyle x > -{1 \over 2} )]이 나온다. 개중에는 [math(e^x < \pi x)] 같이 풀기 어려운 꼴의 부등식도 더러 존재한다. 풀이
- 미분부등식, 적분부등식 : 미분방정식과 적분방정식의 부등식 버전. 위와는 차원이 다른 난이도를 맛볼 수 있다.
[math(\displaystyle u'\left(t\right)\le \beta\left(t\right)u\left(t\right)\phantom{\cdots}\left(t\in I^{\circ}\right))]
[math(\displaystyle u\left(t\right)\le u\left(a\right)\exp\left(\int_{a}^{t}\beta\left(s\right) ds\right))]
[math(\displaystyle u\left(t\right)\le u\left(a\right)\exp\left(\int_{a}^{t}\beta\left(s\right) ds\right))]
대표적인 미적분 부등식인 그뢴발 부등식. 이쯤에서 대략 정신이 멍해진다.(...)
2.3.3. 다변수 부등식
변수가 [math(x)]하나만 있는게 아닌 [math(y,z)]등 2개 이상이 있는 부등식. 여기서 부터는 함수의 그래프가 필수다. 또한 답도 1차원적으로 간단히 나오는게 아니라 특정 영역의 형태로 나타나게 된다. 예로 [math(x^2+y^2<1)]의 경우는 원 안의 영역에 해당하는 모든 [math(x,y)]값이 답이 된다. 답을 제출할 때에는 그래프를 그린 뒤 영역을 색칠(...)하면 된다. 한국의 수학 교육과정에서는 보통 이차곡선[11]을 배울 때 자주 하게 된다.당연하지만 다변수를 다루는 편미분부등식이나 중적분부등식은 게슈탈트 붕괴를 맛볼 수 있다(...).
[math(\displaystyle \left \| u \right \|_{L^{p}(\Omega)} \leq C \left \| \boldsymbol{\nabla} u \right \|_{L^{p}(\Omega)})]
대표적인 편미분부등식인 푸앵카레 부등식. 이건 뭐...
2.4. 부등식의 영역
위에 잔뜩 부등식의 풀이법을 적어 놨지만, 사실 그 모든 것은 이 부등식의 영역 하나로 해결할 수 있다.1차원 부등식의 영역은 뭔가 거창한 이름이지만 사실 초등학교 때 부터 해온 수직선 위 색칠놀이이다. 등호가 들어가 있으면 색칠 된 원(●), 등호가 없으면 색칠 안 된 원(○)으로 나타내며, 부등호에 따라 오른쪽(큰 쪽), 왼쪽(작은 쪽)을 칠하면 된다. 보통 중2때 부터 배우기 시작한다.
2차원 부등식의 영역은 위 직교좌표계 위 색칠놀이이다. 부등호에 등호가 들어가 있으면 경계선을 실선으로, 없으면 점선으로 표시한다. 점의 경우는 수직선 위 부등식의 영역과 마찬가지로 포함되면 색칠, 아니면 비워둔다. 그런데 이 2차원 부등식의 영역이 보통 귀찮은게 아닌데, 하나 그리기도 짜증나는 복잡한 함수들의 그래프를 그린 뒤, 각 부등식에 해당하는 부분을 색칠하고, 최종적으로는 모두 겹치는 부분만 남겨야 한다. 게다가 그래프의 교점도 찾아야 하므로 방정식도 풀어야 한다! 점선과 실선을 헷갈린다든가, 교점이 포함되는지 제외되는지 헷갈린다든가, 아니면 통째로 색칠해야 하는 부분을 틀린다던가... 그런데 2015 개정 교육과정에서는 진로 선택 과목인 경제수학으로 이동한다.
2.5. 절대부등식
항등식과 대응되는 개념. 부등식 내 변수에 어떤 값을 대입하더라도 항상 성립하는 부등식을 말한다. 위에 나오는 계량틱한 부등식들은 고등학교 선에서는 기본으로 가지고 있어야 하는 내용이고, 실제로 KMO 같은 경시대회나 판을 주름잡는 끝판왕은 절대부등식이다. 자세한 건 문서 참조. 한국에선 보통 수학 (하)에서 배운다.2.6. 부등식 목록
- 산술·기하 평균 부등식
- 평균부등식
- 재배열 부등식
- [math(T_2)]의 도움정리
- 코시-슈바르츠 부등식
- 슈르 부등식
- 젠센 부등식
- 베르누이 부등식
- 삼각부등식
- 홀더 부등식
- 민코프스키 부등식
- 뮤어헤드 부등식
- 오일러 부등식
- 벨의 부등식
- 투퍼의 자기지시 부등식 - 그래프가 해당 그래프를 기술하는 부등식의 형태이다.
3. 여담
간혹 [math(\ll)]나 [math(\gg)]를 쓰기도 하는데, 이는 각각 "아주 작다", "아주 크다"를 의미한다.크기 비교는 자연수나 실수같이 크기가 정렬된 집합 (ordered set)에서만 성립한다. 고등학교 때 복소수의 부등식은 없다고 배울 텐데, 그 이유가 바로 복소수 집합은 크기가 정렬되어 있지 않기 때문. 간단하게 i (?) 0 중간에 어떤 등호나 부등호를 넣어서 억지로 정의한다 쳐도 제곱하면 판타스틱하게도 결과는 -1 ≥ 0이 나오는 데에서 알 수 있다.[12][13]
방정식을 푸는 데 익숙한 학생들은 "뭐야? 똑같네?"라고 생각하게 되지만 뒤로 갈수록 방정식에서 쓰이는 기술과는 다른 기술이 쓰여 차이점이 벌어지게 된다.
의외로 유치원에서도 배우는 과정으로, 부등호를 악어로 묘사해서 가르치는 것이 일반적이다.
부등식 항목은 방정식과는 다른 많은 성질들이 있는데도 아주 오랫동안 방정식 문서의 한 문단으로만 서술되어 있었다.
4. 관련 문서
[1] Strict Inequality. 등호가 들어가지 않은 [math(<)]나 [math(>)]를 뜻한다.[2] 예시로, [math(a<b, b\leq c)]이면 [math(a<c)][3] 강부등호 역시 동일[4] [math(x_1<x_2)]이면 [math(f\left(x_1\right)\leq f\left(x_2\right))]인 함수[5] [math(x_1<x_2)]이면 [math(f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right))]인 함수[6] 5차방정식의 경우 브링 근호라는 게 있기는 하다.[7] 연립이차부등식은 미지수가 x 하나 뿐이고, 두 개의 부등식을 각각 근의 공식을 이용하여 풀어주면 된다. 단, 방정식의 꼴로 풀었을 때 하나라도 허근이 나온다면 그 부등식은 해가 없다.[8] 당연하지만 절대부등식과는 다르다.[9] [math(x)]가 복소수 범위인 경우는 예외[10] 한국 고등학교 수학 정규과정에서는 배우지 않는다.[11] 원, 타원, 포물선, 쌍곡선[12] [math(1+i)]와 [math(2+i)]의 차를 계산하면 [math(\left(2+i\right)-\left(1+i\right)=1>0)]이므로 [math(1+i<2+i)]가 아니냐고 생각할 수 있는데, 전혀 의미없는 주장이다.[13] 하지만 복소수의 크기는 크기를 비교할 수 있다. 크기가 실수 값이므로... 뭣하면 절댓값([math(|z| = \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2})])으로 크기를 비교해볼 수도 있다.