나무모에 미러 (일반/밝은 화면)
최근 수정 시각 : 2024-01-31 10:48:49

베르누이 부등식


1. 개요2. 증명3. 확장4. 관련 문서

1. 개요

Bernoulli inequality / - / (프랑스어)Inégalité de Bernoulli

해석학을 배울 때 반드시 배우게 되는 부등식. 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli)가 1689년에 처음 발표하였다. 이 부등식은 [math(\left(1+x\right)^r)]를 일차함수로 근사할 때 사용하며, 수학의 정석에도 나와있을 정도로 유명하다. 자세한 정리는 아래와 같다.
[math(\left(1+x\right)^r\geq1+rx)], 단 [math(x\geq-1)]인 실수, [math(r\geq0)]인 정수.
만약 조건을 조금 더 강화시켜 등호를 없앤다면 다음과 같다.
[math(\left(1+x\right)^r>1+rx)], 단 [math(x\geq-1,\,x\neq0)]인 실수, [math(r\geq2)]인 정수.
증명은 수학적 귀납법을 사용하는 것이 일반적이다.

2. 증명

1), 2)에 의하여 [math(r\geq0)]인 모든 정수 [math(r)]에 대해 부등식이 성립한다.

3. 확장

위 부등식으로는 [math(\left(1+x\right)^r)]를 근사하는게 가능하나, 원래 식보다 작은값으로 밖에 추정을 못한다. 원래 식보다 값으로 추정을 하기 위해선 자연로그의 밑 [math(e)]을 활용한다. 곧,
[math(\left(1+x\right)^r\leq e^{rx})]
이다. 증명은 [math(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<e)]임을 이용하여 간단하게 증명이 가능하다. 이제 이 부등식과 원래 부등식을 합치면,
1+rx\leq\left(1+x\right)^r\leq e^{rx}</math>
가 되고, 이는 [math(\left(1+x\right)^r)]의 근사값을 아주 간단하게 추정할 수 있게 만들어 준다.

그런데 만약 [math(r)]이 정수가 아니라 실수라면? 이 때도 같은 부등식이 성립하나 [math(r)]의 범위에 따라 부등호의 방향이 달라진다.
[math(x\geq-1)]일 때, [math(\begin{cases} \left(1+x\right)^r\geq1+rx\quad & \text{ if }r\geq1,\,r\leq0 \\ \left(1+x\right)^r\leq1+rx\quad & \text{ if }0\leq r\leq1\end{cases})]
증명은 미분을 이용하여 간단하게 할 수 있으니 직접 해보자.

4. 관련 문서



[1] 이건 r이 정수일 때나 통하지 정수 아니면 일반적으로 이항전개는 안 먹히므로 위의 방법이 조금은 더 실용적이다.