최근 수정 시각 : 2025-01-24 01:19:41
파일:나무_부채꼴_정의.png
위 그림과 같이 반지름의 길이가 [math(r)]이고, 중심이 [math(\rm O)]인 원을 고려했을 때, 두 반지름과 한 호를 둘러싸는 도형을 부채꼴(circular sector)이라 한다. 위 그림에서 회색 영역에 해당하는 도형이다.
이때, 두 반지름 사이의 각을 [math(\theta)]라 할 때, 그 각을 부채꼴의 중심각이라 하며, 그 범위는 [math(0\degree \le \theta \le 360\degree)]이다. 호도법으로 나타내면 [math(0{\rm\,rad}\le \theta \le 2\pi{\rm\,rad})]이다.
우선 지름이 1인 원의 둘레 [math(pi)]를 아래처럼 정의하자. | [math(\begin{aligned} \pi &\triangleq \int^1_{-1} \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} = 2\int_0^1 \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} \\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{{\rm d}t}{1+t^2} = 2\int_0^\infty \frac{{\rm d}t}{1+t^2} \\ &\approx 3.14159265358979 \cdots \end{aligned})] |
중심각이 [math(\theta)]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 부채꼴의 호의 길이 [math(l)]은 | [math(l=2\pi r\cdot \dfrac\theta{360\degree} = r\cdot\dfrac{\pi\theta}{180\degree})] |
[math(\pi{\rm\,rad} = 180\degree \Leftrightarrow 1{\rm\,rad} = \dfrac{180\degree}\pi)]이므로 위 식을 호도법으로 나타내면 | [math(l = r\theta/{\rm\,rad})] |
이다.
둘레 [math(L)]은 호의 길이 [math(l)]에 반지름 [math(r)]을 두 번 더하면 되므로 | [math(\begin{aligned} l+2r &= r\cdot \frac{\pi\theta}{180\degree}+2r \\ &= r{\left(\frac{\pi\theta}{180\degree} + 2\right)}\end{aligned})] |
임을 알 수 있다. 역시 호도법을 적용하면 | [math(l=r(\theta/{\rm rad} + 2))] |
로 간단하게 나타낼 수 있다.
부채꼴의 호의 길이를 [math(l)], 반지름의 길이를 [math(r)], 넓이를 [math(S)]라 하면 | [math(360\degree:\pi r^2=\theta:S)] |
이를 정리하면 다음과 같다. | [math(\begin{aligned} S &= \pi r^2\cdot \frac\theta{360\degree} \\ &= \frac12r\cdot {\left(r\cdot\frac{\pi\theta}{180\degree}\right)} \\ &= \frac12rl \end{aligned})] |
[math(l = r\theta/{\rm rad})]이므로 호도법으로 나타내면 | [math(S=\dfrac12r^2\theta/{\rm rad})] |
이 된다.
3. 언어별 명칭
- 한자어로는 扇(부채 선)을 써서 선형(扇形)이라고 하는데, 순우리말 '부채꼴'에 비하여 불필요하게 어렵고 선형 변환, 선형대수학 등에 쓰이는 '선형(線型)'과 혼동할 여지가 커서 현재는 거의 쓰이지 않는다.
