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2023년에 발매된 음율의 EP 1집 수록곡에 대한 내용은 幸福論 (행복론) 문서의 반비례 (反比例) 부분을
참고하십시오.1. 개요
비례와 반비례(比例와 反比例)는 멱함수의 일종으로, 두 변수가 있을 때 한 변수가 2배, 3배 되면 다른 한 변수도 2배, 3배 되는 경우 그 두 변수는 (정)비례 관계에 있다고 한다.[1] 반면 한 변수가 2배, 3배 될 때 다른 변수가 [math(1 \over 2)]배, [math(1 \over 3)]배 된다면 두 변수는 반비례 관계에 있다고 한다.식으로 나타내면 다음과 같다.
- [math(a)]가 상수일 때 [math(y=ax)]를 만족시키는 경우 두 변수 [math(x, y)]는 정비례 관계에 있다.
- [math(a)]가 상수일 때 [math(\displaystyle y=\frac{a}{x}=ax^{-1})]를 만족시키는 경우 [math(x, y)]는 반비례 관계에 있다.
2. 정의
2.1. 정비례
두 변수 [math(x, y)]가 정비례한다(혹은 비례한다)고 함은 다음을 만족시키는 함수 [math(f)]에 대하여 [math(y=f\left(x\right))]를 만족시킨다는 뜻이다.임의의 [math(k, x)]에 대하여 [math(f\left(kx\right)=kf\left(x\right))]
이 정의를 이용해 정비례하는 함수 [math(f)]를 묘사하는 식을 구할 수 있다. [math(a = f(1))]로 두고 [math(x = 1)]을 대입하면 [math(f(k) = kf(1) = ak)], 혹은 [math(f(x) = ax)]. 즉 정비례 관계의 함수는 상수항이 없는 일차함수이다.비례관계의 정의는 역함수를 정의할 때 사용되기도 한다. 가령 지수함수를 [math(f\left(x\right)=x)]에 대칭시키면 로그함수가 튀어나온다.
2.2. 반비례
두 변수 [math(x, y)]가 반비례한다고 함은 다음을 만족시키는 함수 [math(f)]에 대하여 [math(y=f\left(x\right))]를 만족시킨다는 뜻이다.0이 아닌 임의의 [math(k, x)]에 대하여 [math(\displaystyle f\left(kx\right)=\frac{f\left(x\right)}{k}=k^{-1}f\left(x\right))]이다.
즉, 반비례는 역수에 비례한다는 뜻과 같은 말이며, 반비례 함수는 분수함수이다.이때, 반비례 함수를 부정적분하면 자연로그가 나오며[3], 1에서 자연로그의 밑 [math(e)]까지 정적분을 하면 1이 나온다.
반비례 함수의 그래프는 쌍곡선이다. 이 식을 이용해 쌍곡선의 방정식으로 변형시킬 수 있다.
반비례 관계의 항 중 분모가 자연수인 항을 모조리 더한 것을 '조화급수'라고 하며 여기서 자연로그를 뺀 부분을 모두 더하면 오일러-마스케로니 상수를 구할 수 있다.
3. 비례의 기호 ∝
[4]두 변수 [math(x)], [math(y)]가 비례함을 다음과 같이 나타낸다.
[math(y \propto x)]
비슷하게 두 변수 [math(x)], [math(y)]가 반비례함을 다음과 같이 나타낸다.
[math(y \propto \dfrac{1}{x})]
다만
[math(y \propto x)], [math(y \propto \dfrac{1}{z})] 일때,
[math(x \propto \dfrac{1}{z})]은 성립하지 않는다.
4. 물리량의 비례·반비례 관계
과학, 특히 물리학과 화학에서 각 물리량의 관계를 식으로 나타낼 때 비례·반비례 관계가 자주 등장한다. 단순한 비례, 반비례 관계 뿐만 아니라 특정 물리량의 거듭제곱이나 거듭제곱근에 비례 또는 반비례하는 관계 역시 많다.[5]서로 다른 두 물리량이 항상 같은 비례 관계를 가지는 것은 아니며, 특정 조건에 따라 비례와 반비례 관계가 달라지기도 한다. 가장 대표적인 예시가 전압과 전류의 관계인데, 옴의 법칙에서는 전압과 전류는 비례 관계이나, 전력 법칙에서는 반비례 관계이다. 두 물리량은 전기 저항이 일정할 때는 비례 관계이지만, 전력이 일정할 때는 반비례 관계이기 때문이다. 또한 보일 법칙과 샤를 법칙에 의하면 기체의 부피는 온도에 비례하고 압력에 반비례하지만, 단열 과정이라면 비열비와 자유도라는 개념이 등장하여 아주 복잡해진다.[6]
5. 여담
- (2015 개정 교육과정 기준으로) 본격적으로 배우는 시기는 중학교 1학년 수학이며, 원래는 초등학교 6학년 수학으로 잠시 내려온 적도 있었으나 한 차례 시도만 하고 환원되었다. 이를 활용한 개념을 처음 배우는 때는 중학교 1학년 과학 시간에 나오는 보일 법칙과 샤를 법칙이다. 그러나 2015 개정 교육과정부터는 하향평준화가 대대적으로 이어지면서 학자 이름을 생략하고[7] 그냥 '~수록 커진다/작아진다'로 바꿔 버렸다.
- 반비례는 별도의 수학 기호가 없다. 따라서 그냥 역수에 비례하는 것으로 나타낸다.
5.1. 개념 혼동 사례
사람들이 쉽게 혼동하는 것이, 두 변수가 증가 (또는 감소)가 동시에 일어나면 비례 관계라고 혼동하는 것이다. 예를 들어 [math(y = x^2)]의 경우, x와 y는 정비례 관계가 아니고, [math(x^2)]과 y가 정비례 관계가 되는 것이다.또한 한 변수가 커질 때 다른 변수가 작아지면 반비례 관계라고 착각하기 쉬운데 이것 또한 잘못된 생각이다. 예를 들어 y=-x의 경우, x가 커짐에 따라 y는 작아지지만 이 관계는 반비례 관계가 아닌 비례 관계이다. x가 두배(×2)가 되면 y 역시 두배(×2)[8]가 되기 때문이다. 따라서 다음 설명 또한 부정확한 설명이다. "한 변수가 커짐에 따라 다른 변수도 커지고 한 변수가 작아짐에 따라 다른 변수도 작아진다고 하면 이 두 변수는 (정)비례 관계에 있는 것이고, 한 변수가 커지면 커질수록 다른 변수는 작아진다고 하면 이 두 변수는 반비례 관계에 있는 것이다."
결론은 커진다, 작아진다는 부정확한 표현이고, 아래와 같이 비례관계로 정의해야 한다.
- 한 변수가 2배, 3배 되면 다른 한 변수도 2배, 3배 되는 경우 그 두 변수는 (정)비례 관계이고
- 한 변수가 2배, 3배 될 때 다른 변수가 [math(1 \over 2)]배, [math(1 \over 3)]배 된다면 두 변수는 반비례 관계이다.
- [math(a)]가 상수일 때 [math(y=ax)]를 만족시키는 경우 두 변수 [math(x, y)]는 정비례 관계에 있다.
- [math(a)]가 상수일 때 [math(\displaystyle y=\frac{a}{x}=ax^{-1})]를 만족시키는 경우 [math(x, y)]는 반비례 관계에 있다.
[1] 이 함수는 유리함수도 관계가 있다.[2] [math(0x = \dfrac{0}{x} = 0)][3] [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln_{}t=t^{-1})][4] 무한기호 끝을 자르면 된다.[5] 거의 대부분의 경우 네제곱 혹은 네제곱근 범위 안에서 비례·반비례가 성립하는 편이다. 물론 케플러 법칙의 제3법칙(조화 법칙)과 닮은 입체도형의 겉넓이-부피 관계처럼 제곱-세제곱 비례 관계도 존재하며, 핵력과 거리의 관계처럼 여섯제곱에 반비례하는 경우도 있다.[6] 기체의 자유도를 f라 했을 때, 부피의 (f+2)제곱과 압력의 f제곱, 부피의 제곱과 온도의 f제곱이 반비례 관계에 있다. 즉, 단원자 이상 기체는 부피의 5제곱이 압력의 3제곱에, 부피의 제곱이 온도의 3제곱에 반비례하고, 이원자는 부피의 7제곱이 압력의 5제곱에, 부피의 제곱이 온도의 5제곱에 반비례하며, 삼원자 이상 다원자 기체는 부피의 4제곱이 압력의 3제곱에, 부피가 온도의 3제곱에 반비례한다.[7] 원리는 기억 안 나고 학자 이름만 떠돈다는 사유에서 생략했다고 한다. 중학교 과정에서 학자 이름을 생략한 건 좋았다는 평가를 받는다. 어차피 화학Ⅱ에서는 보일-샤를로 배운다.화2러들도 이상기체상태방정식에서 비례/반비례관계를 따지기때문에 학자이름 안 외운다. 다만, 문제는 비례/반비례까지 그렇게 했다는 것.[8] 음의 크기이긴 하지만