1. 개요
Fixed-point Theorem정의역과 공역이 공간 [math(X)]인 함수 [math(f:X\to X)]에 대하여 [math(x_0\in X)]가 [math(f(x_0) = x_0)]를 만족할 때 이 점 [math(x_0)]를 함수 [math(f)]의 부동점 또는 고정점(fixed point)이라고 한다.
부동점 정리[1]는 공간 [math(X)]와 함수 [math(f)]에 적당한 조건이 주어지면 [math(X)]내에 [math(f)]의 부동점이 존재한다는 것을 내용으로 한다. 그 적당한 조건이 구체적으로 어떤 조건인가에 따라 많은 부동점 정리가 있다. 그중에 해석학에서 배우는 바나흐의 부동점 정리와 위상수학에서 배우는 브라우어의 부동점 정리가 잘 알려져 있다.
부동점 정리는 많이 응용되는 도구이다. 대표적으로 립쉬츠 조건을 만족하는 미분방정식의 해가 존재한다는 정리를 증명할 때 부동점 정리가 사용된다. 또한 다변수해석학에서 역함수 정리를 증명할 때 사용하기도 한다. 부동점 정리는 수학 이외의 학문에서도 응용되는 경우가 많다. 예를 들자면 경제학에서 완전경쟁교환경제에 일반균형이 존재함을 증명하는 데에 이용된다. 그리고, 영화 뷰티풀 마인드로 유명한 존 내시가 게임이론에서 내시균형의 존재 정리를 증명할 때도 부동점 정리가 이용됐다.
부동점 정리는 여럿 있는데, 아래 소개된 둘 외에도 가쿠타니 부동점 정리, 레프스체츠 부동점 정리, 아티야-보트 부동점 정리 등이 있다.
2. 바나흐 부동점 정리
Twierdzenie Banacha o kontrakcji바나흐 부동점 정리의 내용은 다음과 같다.
공집합이 아닌 완비거리공간 [math((X,d))]에서 정의된 함수 [math(f:X\to X)]가 축소사상이면 [math(f)]는 유일한 부동점 [math(x^*\in X)]를 갖는다. (즉, [math(f(x^*)=x^*)]이다.)
여기서 함수 [math(f)]가 축소사상이라는 것은 임의의 [math(x,y\in X)]에 대하여 상수 [math(0\leq\alpha<1)]가 있어서 [math(d(f(x),f(y)) \leq \alpha d(x,y))]가 항상 성립하는 사상이라는 것을 말한다.증명은 완비거리공간임을 이용해서 [math(X)]안의 임의의 점 [math(x_0)]로부터 출발하여 [math(x_1 = f(x_0))], [math(x_2 = f(x_1))] ...의 방식으로 구성한 수열 [math((x_n))]이 코시수열임을 보임으로써 존재성과 유일성을 한꺼번에 보인다. 자세한 것은 해석학 교과서를 참조하면 된다.[2]
3. 브라우어 부동점 정리
Dekpuntstelling van Brouwer[math(K\subset \mathbb{R}^n)]를 [math(n)]차원 유클리드 공간의 볼록 컴팩트 부분집합이라고 하자. 함수 [math(f:K\to K)]가 연속이면 [math(f)]는 [math(K)]에서 부동점을 갖는다.
여기서 볼록 컴팩트 부분집합은 단위구 [math(D^n = \{ \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n : \Vert \mathbf{x}\Vert \leq 1\})]로 바꾸어도 무방하다. 위의 바나흐 부동점 정리와는 달리 유일성은 브라우어 부동점 정리의 내용이 아니다.여러 위상수학 교과서에 귀류법을 사용하는 증명법이 소개되어 있다.[3] 그 외에도 여러 가지 다른 증명 방법도 있다.