| 기호 | ∞ |
| 한자 | 無限(없을 무, 한할 한) |
| 영어 | infinite |
1. 개요
일상적으로 끝이 없는 상태, 제한이 없음을 의미하는 명사이다. 반대로 한계가 있다는 뜻을 가진 유한(有限)2. 수학에서의 무한
무한이라는 개념은 주로 해석학에서 자주 쓰인다. 특히 미적분학의 초석이 되는 개념이다.
일반적으로, 수학적인 엄밀한 정의를 배우지 않는 사람들이 어릴 때의 직관으로 인해 상상할 수 있는 가장 큰 수를 '무한'이라고들 하지만, 무한은 단순히 큰 것만을 의미하지 않으며, 무한대는 실수가 아니다. 하지만 역설적이게도 실수의 개수는 무한하며, 실수의 집합은 무한히 조밀하며 완비성을 논할 때 역시 무한의 파생 개념인 극한과 수렴이 필연적이다.
0.999…=1 같은 명제를 무한에 대한 개념을 이해하지 못하면 틀렸다고 오해하기 쉽다. 무한대와 무한소가 실수 체계에 포함되지 않기 때문에, 0.999...와 1의 차이를 나타내어줄 무한소라는 것이 실수 집합에는 존재하지 않는다. 따라서 실수 집합 내에서 0.999...는 무한의 정의와 관계 없이 1과 동일한 값을 항상 나타낸다.
무한의 정의는 총 3단계로 나뉜다. 1단계는 셀 수 있는 무한, 즉 가산 무한이다. 보통 자연수의 집합, 정수의 집합, 유리수의 집합, 대수적 수의 집합을 가산무한이라고 한다. 무한대의 개념 중에서 가장 작은 무한이며, 가산무한집합끼리는 모두 기수가 같다. 페아노 공리계를 통해 만들어질 수 있으며, 수학적 귀납법을 논할 수 있다. 수학적 귀납법은 유한한 자연수에 한해서 논할 수 있다고 알아왔겠지만, 만약 한단계를 더 거친다면 초한기수에 대해서도 논할 수 있다.
2단계는 자연스럽게 셀 수 없는 무한, 즉 비가산 무한이다. 실수와 복소수의 집합이 일반적으로 꼽힌다. 실수와 자연수의 기수는 다르다는 것이 증명되었고, 이것을 연속체 가설을 공리로 받아들일지, 아니면 받아들이지 않을지에 따라 이 사이에도 기수가 존재할 수 있고 존재하지 않을 수도 있다. 이러한 가산 무한과 비가산 무한을 상대적 무한이라고 한다. 일단 무한하므로 유한한 수끼리 유한한 횟수만큼 더하거나 곱하는 식으로 따라잡는 건 절대적으로 불가능하지만 이 단계에 속하는 무한끼리의 크기 비교가 가능한 수. 주로 극한에서 많이 다룬다. 참고로 초실수체에서 임의의 0이 아닌 유한 초실수를 0이 아닌 무한소로 나누면 이 값이 된다.
마지막으로 대망의 3단계는 절대적 무한. 모든 방법으로 만든 무한을 품는 순수한 무한을 의미한다. 그래서 임의의 유한 초실수나 상대적 무한을 절대적 무한으로 나누면 아예 0이 되어버리며 0.999... = 1에서 소수점 아래에 붙은 9의 개수가 상대적 무한이면 상대적 무한을 포함하지 않는 집합[1] 내에서만 성립하지만, 절대적 무한이면 초실수체에서도 성립한다. 초실수체에서 상대적 무한대의 역수인 상대적 무한소가 일반적으로 생각하는 무한소인 0이 아닌 무한소라면 절대적 무한대의 역수인 절대적 무한소는 0이다. 어떻게 보면 수학적으로 이보다 더 큰 수가 없도록 최종적인 정의를 내린 것이기 때문에 "모든 집합의 집합"과 같은 정의라서 역설이 발생할 수 있기에 조심스럽게 정의를 내려야 한다.
2.1. 절대적 무한
2.2. 상대적 무한
모든 유한보다 크며, 셀 수 있는 무한, 대체 가능한 무한 등을 나타낸다. 무한으로서의 특별한 성질이 절대적 무한보다 작다고 여겨진다.3. 중국의 도시 무한(武漢)
4. 티스토리 블로거
5. 관련 문서
[1] 실수, 복소수 등