최근 수정 시각 : 2025-01-19 23:07:19
1. 개요2. 역사3. 증명4. 실제 실험5. 기타
無限 猿猩이 定理 / infinite monkey theorem
아무리 불가능해 보이는 일이라도, 극소의 개연성을 지닌 확률이라도 존재한다면 이를 무한히 시도할 때 이루어질 가능성을 부정할 수 없다는 이론.
이 이론의 기본 발상은 조너선 스위프트의 걸리버 여행기가 유래로 보인다. 이 소설에서 한 교수가 학생들에게 인쇄 기계로 무작위한 문자열을 계속 만들게 함으로써 모든 과학 지식의 목록을 작성하려고 한다.
걸리버 여행기의 국제적인 인기에 의해 프랑스의 에밀보렐이 1913년 논문을 통해 "원숭이에게 타자기를 줘서 그걸 두들기게 한다면, 언젠가는 프랑스 국립 도서관에 있는 모든 책과 동일한 내용을 쳐낼 수 있다"라는 이야기가 생겨난다. 정확한 내용은 "백만 마리의 원숭이가 매일 10시간씩 타자를 친다고 해서, 프랑스 국립 도서관에 있는 모든 책을 완전히 동일하게 만들어낼 수는 없을 것 같지만, 그렇다고 해서 그것이 가능하다는 확률을 부정할 수는 없다"는 것이다.
이 이야기가 영국으로 넘어가고 아서 에딩턴에 의해 프랑스 국립 박물관이 아니라 영국 박물관으로, 이후 사람들에 의해 셰익스피어의 희곡 전집을 칠 수 있다는 내용으로 바뀌었다.
70년대에는 무한론과 얽히면서 '백만 마리'와 '10시간' 부분이 '무한'으로 바뀌었고, 더 나아가서는 가능성을 부정하지 못하는 걸 넘어서 거의 확실하게 '칠 수 있다.'는 내용이 되어 버렸다.
현대의 대중매체에서는 대개 절대로 불가능해 보이는 일이라도 일말의 가능성이라도 있다면 절대로 불가능한 게 아니라는 뜻으로 쓰인다.
'확률이 0이 아니다'와 '각 시행은 독립적이다'만 증명되면 끝이다. 2가지의 사건이 확률적으로 독립이라면(2가지 사건이 서로의 결과에 영향을 주지 않는다면) 두 가지 사건이 동시에 일어나는 확률은 두 가지 확률의 곱과 같다. 이때 타자기의 한 자판을 치는 사건의 확률이 0%가 아니라는 것을 전제로 깔고 간다면 책 한 권 전체를 쓸 확률도 0%이 아니다. 일반화하면 [math(p>0)]라면 [math(p^n > 0)]이다. 이 둘은 동치라고 말할 수도 있고 자명하다.
* 구체적 예시 1. 한 마리의 원숭이가 무한히 많이 타자를 친다
아래로는 구체적인 예시를 들어 설명한다. 타자기에 50가지 키가 있다고 하고 입력되어야 하는 단어는 banana라고 할 때 b를 칠 확률은 [math(\dfrac{1}{50})]이며, 2번째에 a를 칠 확률은 역시 [math(\dfrac{1}{50})]이고, 나머지 다른 문자들도 이와 같다고 가정하자. 따라서 banana라는 단어를 입력할 확률은 [math(\left(\dfrac{1}{50}\right)^6=\dfrac{1}{50^6} )]이다. 반면 단어 banana를 입력하지 못할 확률은 [math(1-\dfrac{1}{50^6})]이다. 각 사건은 독립이기 때문에, 글자 6개로 이루어진 블록 n개를 연속으로 치고 banana를 한 번도 입력하지 못할 확률은 [math(X=\left(1-\dfrac{1}{50^6}\right)^n)]이다. [math(n)]이 커질수록 [math(X)]는 작아진다. [math(n)]이 백만일 때 [math(X \approx 99.99\%)]이지만, n이 백억이 되었을 때는 [math(X \approx 53\%)]이며, 천억이 되었을 때는 [math(X \approx 0.17\%)]이다. 위와 같이 [math(n)]이 무수히 커질수록 [math(X)]의 값은 0에 근접한다.
- 구체적 예시 2. 무한한 마리의 원숭이가 6번 타자를 친다.
위의 예시와 지금의 예시는 동일하고 여전히 최소한 1단어를 칠 수 있다. [math(n)]마리의 원숭이가 6개의 알파벳으로 구성된 특정 단어를 하나도 입력하지 못할 확률은 [math(X=\left(1-\dfrac{1}{50^6}\right)^n)]이다. 천억 마리의 원숭이가 있다고 할 때 확률은 [math(X \approx 0.17\%)]로 떨어지며, 원숭이의 숫자인 [math(n)]이 무수히 커질 경우에는 원숭이가 목표하는 단어를 입력하지 못할 확률은 0에 가까워진다.
- 구체적 예시 3. 진짜로 원숭이가 셰익스피어의 희곡을 칠 확률
일단 셰익스피어의 희곡에 나올 만한 글자들을 모두 모아보면, 알파벳 대·소문자, 숫자, 큰 따옴표(“ ”), 작은 따옴표(‘ ’), 마침표(.), 쉼표(,), 물음표(?), 느낌표(!) 등으로 모두 70자이다. 셰익스피어의 희곡은 14편이고, 한 책은 약 400페이지라고 하고, 한 페이지당 약 3600개의 문자로 계산하면, 셰익스피어 희곡 전체의 글자는 대략 20,000,000자가 된다. 원숭이 한 마리가 70개의 문자 중 하나를 무작위로 골라 타자를 칠 때, 20,000,000자의 희곡을 입력할 가능성은 위의 공식에 따라 [math(\dfrac{1}{70^{20000000}})]에 불과하다. 이는 매우 희박한 가능성이지만 0%는 아니므로, 만약 '무한히 많은' 원숭이가 준비되어 있다면 실제 확률은 1 - (1-[math(\dfrac{1}{70^{20000000}})])^∞가 된다. 이 결괏값은 언뜻 보기에는 0으로 생각될 수 있으나, 앞에서 본 예시들에서 알 수 있듯이 점차 1에 근접하기 시작한다. 이가 시사하는 바는, 충분히 많은 원숭이와 충분히 오랜 시간이 있다면, 확률적인 관점에서는 확실하게 희곡을 완성할 것이라는 점이다.4. 실제 실험
2002년 미국 플리머스 대학교에서 실제 원숭이 6마리와 컴퓨터 1대로 실험을 한 결과, 한 달 동안 만들어진 겨우 5페이지짜리 문서에는 s로 가득차 있었으며, 간간이 a나 j, l, m이 보였다고 한다. 게다가 대장 원숭이는 돌로 키보드를 공격하고 나머지는 키보드에 똥을 싸는 행위를 보였다.
원숭이의 수가 무한이 아니었던 것이 실패의 원인인 것은 당연하고 위에서 얘기했던 것과 달리 한 자판에 대한 확률이 1/n이 아니었던 것도 실패의 주요 원인이다. 그래도 원숭이가 어떤 자판을 절대로 선택하지 않으리라는 보장이 있지 않는 한 여전히 무한 원숭이 정리는 성립한다.
원문은 아래와 같이 생겼다.
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- [Notes Towards the Complete Works of Shakespeare]
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수학에 등장하는 정규수와 관련이 있다.
유전 알고리즘도 이걸 근간으로 한다. 차이점은 유전 알고리즘은 완전 무작위가 아니라 검증된 유전자만 남긴다는 선택압이 있다는 점이다.
이 정리에 따라 특정 고립계 안의 입자들이 완전히 무작위하게 운동한다면, (거의 무한처럼 느껴질 정도로 기나긴) 충분한 시간이 지나면 그 계는 초기의 상태와 아주 가까운 상태로 돌아갈 수 있다. 다시 말해, 인위적 개입 없이 엔트로피의 감소가 가능하다. 이것이 푸앵카레 재귀정리(Poincaré再歸定理, 프랑스어: Théorème de récurrence de Poincaré, 영어: Poincaré recurrence theorem)이다.
이와 관련한 농담이 하나 있는데, 사실 인류가 이 정리 속의 원숭이들이고, 무한한 시간 속에서 모두가 매일 무한한 수의 단어를 써오고 있으며, 그 중 하나가 이미 셰익스피어 희곡 전집을 완성했다는 것이다.
법원에서 '판사님 이 글은 저희집 고양이가 썼습니다'를 인정받고 싶다면 집에 무한 마리의 고양이가 있다는 걸 증명하면 된다는 농담도 있다.