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1. 개요
구데르만 함수(Gudermannian function; [math(\rm gd)])는 람베르트[1]가 발견한 후 독일의 수학자 구데르만이 체계적으로 정리한 특수함수의 일종으로, 실수 [math(\psi)]에 대해 다음과 같이 정의된다.| [math(\displaystyle \operatorname{gd}(\psi) = \underline\phi \equiv \int_0^\psi \operatorname{sech}t {\rm\,d}t )] |
| [math(\begin{aligned} \int_0^\psi \operatorname{sech}t {\rm\,d}t &= \int_0^\psi \frac{\cosh t}{\cosh^2t} {\rm\,d}t \\ &= \int_0^\psi \frac{\cosh t}{\sinh^2t+1} {\rm\,d}t \\ &= \!\Bigl[ \arctan(\sinh t) \Bigr]_0^\psi \\ &= \arctan(\sinh\psi) \end{aligned})] |
| [math(-\dfrac\pi2 < \underline\phi < \dfrac\pi2)] |
2. 성질
쌍곡선 함수의 배편각 공식에 따르면| [math(\cosh t = \cosh^2\biggl(\dfrac t2\biggr) \!+\sinh^2\biggl(\dfrac t2\biggr))] |
| [math(\begin{aligned} \int_0^\psi \operatorname{sech}t {\rm\,d}t &= \int_0^\psi \frac{{\rm d}t}{\cosh^2\biggl(\dfrac t2\biggr) \!+\sinh^2\biggl(\dfrac t2\biggr)} \\ &= \int_0^\psi \frac{2{\rm\,d}\biggl(\dfrac t2\biggr)}{\cosh^2\biggl(\dfrac t2\biggr) \!+\sinh^2\biggl(\dfrac t2\biggr)} \\ &= \int_0^\psi \frac{2\operatorname{sech}^2\biggl(\dfrac t2\biggr)}{1 + \tanh^2\biggl(\dfrac t2\biggr)} {\rm\,d}\biggl(\dfrac t2\biggr) \\ &= \!\left[ 2\arctan \biggl( \tanh\frac t2 \biggr) \right]_0^\psi \\ &= 2\arctan \biggl( \tanh\frac\psi2 \biggr) \end{aligned})] |
| [math( \tan\dfrac{\underline\phi}2 = \tanh\dfrac\psi2 )] |
| [math(s^2+1 = \tan^2\biggl(\dfrac{\underline\phi}2\biggr) + 1 = \sec^2\biggl(\dfrac{\underline\phi}2\biggr))] |
| [math( \begin{aligned} \cos^2\biggl(\dfrac{\underline\phi}2\biggr)&= \dfrac1{1+s^2} \\ \sin^2\biggl(\dfrac{\underline\phi}2\biggr) &= \dfrac{s^2}{1+s^2} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \cos\underline\phi &= \dfrac{1-s^2}{1+s^2} \\ \sin\underline\phi &= \dfrac{2s}{1+s^2} \\ \tan\underline\phi &= \dfrac{2s}{1-s^2} \end{aligned})] |
| [math(s = \tanh\dfrac\psi2)] |
| [math(\begin{aligned} \cos\underline\phi &= \operatorname{sech}\psi \\ \sin\underline\phi &= \tanh\psi \\ \tan\underline\phi &= \sinh\psi \end{aligned} )] |
이를 정리하면 다음과 같다.
| [math(\begin{aligned} \frac{1-s^2}{1+s^2} = \cos\underline\phi = \operatorname{sech}\psi && \quad \frac{1+s^2}{1-s^2} = \sec\underline\phi = \cosh\psi \\ \frac{2s}{1+s^2} = \sin\underline\phi = \tanh\psi && \quad \frac{1+s^2}{2s} = \csc\underline\phi = \coth\psi \\ \frac{2s}{1-s^2} = \tan\underline\phi = \sinh\psi && \quad \frac{1-s^2}{2s} = \cot\underline\phi = \operatorname{csch}\psi \end{aligned})] |
3. 역함수
바로 위의 성질 문단의 결과로부터 [math(-\dfrac\pi2 < \underline\phi < \dfrac\pi2)]에 대해 다음이 성립하며| [math( \sin\underline\phi = \tanh\psi \quad \Leftrightarrow \quad \psi = \operatorname{artanh}(\sin\underline\phi))] |
| [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}\psi}{{\rm d}\underline\phi} &= \frac{\rm d}{{\rm d}\underline\phi} \operatorname{artanh}(\sin\underline\phi) \\ &= \frac{\cos\underline\phi}{1-\sin^2\underline\phi} = \frac{\cos\underline\phi}{\cos^2\underline\phi} \\ &= \sec\underline\phi \end{aligned})] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \psi &= \operatorname{igd}(\underline\phi) \\ &= \operatorname{gd}^{-1}(\underline\phi) \\ &= \int_0^{\underline\phi} \sec\underline\theta {\rm\,d}\underline\theta \end{aligned})] |
4. 그래프 개형
구데르만 함수 및 그 역함수는 원점 대칭함수(기함수)이다.그래프는 다음과 같으며, [math(\rm(a))]와 [math(\rm(b))]는 각각 [math(y=\operatorname{gd}(x))], [math(y=\operatorname{igd}(x))]의 그래프이다.
[math(y=\operatorname{gd}(x))]와 같은 개형의 그래프를 시그모이드라고 한다.
5. 항등식
이 두 함수는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.| [math(\begin{aligned} \operatorname{gd}(\psi) &= \arctan(\sinh\psi) \\ &= \operatorname{arccot}(\operatorname{csch}\psi) \\ &= \operatorname{arcsec}(\cosh\psi) \\ &= \arccos(\operatorname{sech}\psi) \\ &= \arcsin(\tanh\psi) \\ &= \operatorname{arccsc}(\coth\psi) \\ &= 2\arctan \biggl( \tanh\frac\psi2 \biggr) \\ &= 2\arctan(e^\psi) -\dfrac\pi2 \\ \\ \operatorname{igd}(\underline\phi) &= \operatorname{artanh}(\sin\underline\phi) \\ &= \operatorname{arcoth}(\csc\underline\phi) \\ &= \operatorname{arsech}(\cos\underline\phi) \\ &= \operatorname{arcosh}(\sec\underline\phi) \\ &= \operatorname{arsinh}(\tan\underline\phi) \\ &= \operatorname{arcsch}(\cot\underline\phi) \\ &= 2\operatorname{artanh} \biggl( \tan\dfrac{\underline\phi}2 \biggr) \\ &= \ln(\sec\underline\phi + \tan\underline\phi) \\ &= \ln \biggl\{ \tan \biggl( \frac{\underline\phi}2 + \frac\pi4 \biggr) \!\biggr\} \end{aligned} )] |
각 항등식의 마지막 식은 쌍곡선 함수의 정의식을 정적분하여 얻어지는 관계식으로, 다음과 같이 용이하게 유도할 수 있다.
- [math(\underline\phi = \operatorname{gd}(\psi) = 2\arctan(e^\psi) -\dfrac\pi2)]
[math(\psi = \operatorname{igd}(\underline\phi) = \ln \biggl\{ \tan \biggl( \dfrac{\underline\phi}2 + \dfrac\pi4 \biggr) \!\biggr\})]
정의식에서 쌍곡선 함수의 정의를 그대로 대입하자.
[math(\begin{aligned}
\operatorname{gd}(\psi) &= \int_0^\psi \operatorname{sech}t {\rm\,d}t = \int_0^\psi \frac1{\cosh t} {\rm\,d}t \\
&= \int_0^\psi \frac2{e^t+e^{-t}} {\rm\,d}t = 2\int_0^\psi \frac{e^t {\rm\,d}t}{e^{2t}+1} \\
&= 2\int_0^\psi \frac{{\rm d}(e^t)}{e^{2t}+1} \\
&= 2\biggl[ \arctan(e^t) \biggr]_0^\psi \\
&= 2\arctan(e^\psi) -\frac\pi2 \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
위 결과로부터 [math(\operatorname{gd}(\psi) = \underline\phi)]라 놓고 역함수를 취하면 [math(\operatorname{igd}(\underline\phi))]의 마지막 항등식이 얻어진다.
[math(\begin{aligned}
\underline\phi &= 2\arctan(e^\psi) -\frac\pi2 \\
\Rightarrow \quad \frac{\underline\phi}2 +\frac\pi4 &= \arctan(e^\psi) \\
\therefore \operatorname{igd}(\underline\phi) = \psi &= \ln \biggl\{ \tan \biggl( \dfrac{\underline\phi}2 + \dfrac\pi4 \biggr) \!\biggr\} \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
}}}||
- [math(\operatorname{igd}(\underline\phi) = \ln(\sec\underline\phi + \tan\underline\phi))]
구간 [math([0, \underline\phi])]에서 [math(\operatorname{igd}(\underline\phi))]의 정의식을 그대로 정적분하면
[math(\begin{aligned}
\operatorname{igd}(\underline\phi) &= \int_0^{\underline\phi} \sec\underline\theta {\rm\,d}\underline\theta \\
&= \ln|\sec\underline\phi + \tan\underline\phi \,|
\end{aligned})]
인데, [math(\operatorname{igd}(\underline\phi))]가 정의되는 [math(\underline\phi)]의 범위는
[math(-\cfrac\pi2 < \underline\phi < \cfrac\pi2)]
이므로
[math(\sec\underline\phi + \tan\underline\phi > 0)]
가 되어 절댓값을 벗겨낼 수 있다.}}} ||
구데르만 역함수는 타원 적분과도 관계가 있다.
- [math(\operatorname{igd}(\underline\phi) = F(\underline\phi,\,1) \qquad)] ([math(F(\underline\phi,\,k))]는 제1종 타원 적분)
제1종 타원 적분 [math(F(underlinephi,,k))]에 [math(k=1)]을 대입하면 된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
F(\underline\phi, k) &= \int_0^{\underline\phi} \frac1{\sqrt{1-k^2\sin^2\underline\theta}} {\rm\,d}\underline\theta \\
\Rightarrow \quad F(\underline\phi, 1) &= \int_0^{\underline\phi} \frac1{\sqrt{1-\sin^2\underline\theta}} {\rm\,d}\underline\theta \\
&= \int_0^{\underline\phi} \sec\underline\theta {\rm\,d}\underline\theta \\
&= \operatorname{igd}(\underline\phi)
\end{aligned} )]
}}}||
6. 극한값 및 미적분
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{\psi \to \pm\infty} \operatorname{gd}(\psi) &= \pm \frac\pi2 \\
\lim_{\underline\phi \to \pm\pi/2} \operatorname{igd}(\underline\phi) &= \pm \infty
\end{aligned} )]}}}
- [math(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \operatorname{igd}(\underline\phi) {\rm\,d}\underline\phi = 2G \approx 1.8319311884 \qquad)] ([math(G)]는 카탈랑 상수)
구데르만 역함수의 표현식을 그대로 대입한다. 이때 각 적분 변수의 구간 관계 [math(0 \le \underline\theta \le \underline\phi \le \dfrac\pi2)]에 유의하여 중적분의 순서를 교환한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^{\pi/2} \operatorname{igd}(\underline\phi) {\rm\,d}\underline\phi &= \int_0^{\pi/2} \!\int_0^{\underline\phi} \sec\underline\theta {\rm\,d}\underline\theta {\rm\,d}\underline\phi \\
&= \int_0^{\pi/2} \!\int_{\underline\theta}^{\pi/2} {\rm\,d}\underline\phi \cdot \sec\underline\theta {\rm\,d}\underline\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \Bigl( \frac\pi2-\underline\theta \Bigr) \frac{{\rm d}\underline\theta}{\cos\underline\theta}
\end{aligned} )]
[math(\dfrac\pi2 - \underline\theta = \underline\alpha)]로 치환하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^{\pi/2} \operatorname{igd}(\underline\phi) {\rm\,d}\underline\phi &= \int_0^{\pi/2} \Bigl( \frac\pi2-\underline\theta \Bigr) \frac{{\rm d}\underline\theta}{\cos\underline\theta} \\
&= \int_{\pi/2}^0 \underline\alpha \cdot \frac{-{\rm d}\underline\alpha}{\sin\underline\alpha} \\
&= \int_0^{\pi/2} \frac{\underline\alpha}{\sin\underline\alpha} {\rm\,d}\underline\alpha \\
&= 2G \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
[math(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\underline\alpha}{\sin\underline\alpha} {\rm\,d}\underline\alpha = 2G)]인 이유는 카탈랑 상수 문서의 항등식 문단에 증명되어 있다.
}}}||
7. 복소수 범위로의 확장
[math(\operatorname{gd}(x))] 및 [math(\operatorname{igd}(x))]는 해석적 연속을 통해 다음과 같이 정의역을 모든 복소수 [math(z)]로 확장할 수 있다.[math(z = x + iy)]라고 할 때,
| [math(\begin{aligned} \sinh(iy) &= i\sin y \\ \tanh(iy) &= i\tan y \end{aligned})] |
| [math(z \mapsto w = \operatorname{gd}(z))] |
| [math(w = u + iv)] |
| [math(\begin{aligned} w = \operatorname{gd}(z) &\equiv 2\arctan \Bigl( \tanh\frac z2 \Bigr) && (-\pi < \Im(z) \le \pi) \\ z = \operatorname{igd}(w) &\equiv 2\operatorname{artanh} \Bigl( \tan\frac w2 \Bigr) && (-\pi < \Re(w) \le \pi) \end{aligned})] |
위 관계식과 성질 문단의 [math(\tan\underline\phi = \sinh\psi)]와 항등식 문단의 [math(\psi = \ln(\sec\underline\phi+\tan\underline\phi))] (단, [math(\underline\phi = u + iv)], [math(\psi = x + iy)])를 이용하면 [math(u(x, y))], [math(v(x, y))], [math(x(u, v))], [math(y(u, v))]를 각각 구할 수 있다.
- [math(\tan\dfrac{u + iv}2 = \tanh\dfrac{x + iy}2)]
삼각함수와 쌍곡선 함수의 덧셈 공식을 적용한다.
)] ||
각 변의 분모를 유리화하면
\frac{\Bigl( \tan\dfrac u2 + i\tanh\dfrac v2 \Bigr) \Bigl( 1 + i\tan\dfrac u2\tanh\dfrac v2 \Bigr)}{1 + \tan^2\dfrac u2\tanh^2\dfrac v2} &= \frac{\Bigl( \tanh\dfrac x2 + i\tan\dfrac y2 \Bigr) \Bigl( 1 - i\tanh\dfrac x2\tan\dfrac y2\Bigr)}{1 + \tanh^2\dfrac x2\tan^2\dfrac y2} \\= \frac{\tan\dfrac u2\operatorname{sech}^2\dfrac v2 + i\sec^2\dfrac u2\tanh\dfrac v2}{1 + \tan^2\dfrac u2\tanh^2\dfrac v2} &= \frac{\tanh\dfrac x2\sec^2\dfrac y2 + i\operatorname{sech}^2\dfrac x2\tan\dfrac y2}{1 + \tanh^2\dfrac x2\tan^2\dfrac y2}
\end{aligned})] ||
양 변의 실수부와 허수부가 각각 같으므로 각 편각의 탄젠트 값을 구하면[3]
\frac{\sinh\dfrac v2\cosh\dfrac v2}{\sin\dfrac u2\cos\dfrac u2} &= \frac{\sin\dfrac y2\cos\dfrac y2}{\sinh\dfrac x2\cosh\dfrac x2} \\\therefore \frac{\sinh v}{\sin u} &= \frac{\sin y}{\sinh x}
\end{aligned})] ||
- [math(\tan(u + iv) = \sinh(x + iy))]
각각 덧셈 공식을 적용한 뒤 좌변에는 유리화를 적용하고
)] ||
각 편각의 탄젠트 값을 구하고 1.의 결과를 이용하면
\frac{\sinh v\cosh v}{\sin u\cos u} &= \frac{\sin y}{\sinh x}\frac{\cosh v}{\cos u} \\&= \frac{\tan y}{\tanh x} \\
\therefore \frac{\cosh v}{\cos u} &= \frac{\cosh x}{\cos y}
\end{aligned})] ||
- [math(x + iy = \ln\{\sec(u + iv) + \tan(u + iv)\} = \ln\dfrac{1 + \sin(u + iv)}{\cos(u + iv)})]
양 변에 지수함수를 취하고 우변의 분자, 분모에 [math(\cos(u - iv))]를 각각 곱한 뒤 곱을 합으로 고치는 공식을 적용하면
&= \frac{\{1 + \sin(u + iv)\}\cos(u - iv)}{\cos(u + iv)\cos(u - iv)} \\
&= \frac{\cos(u - iv) + \dfrac12 (\sin2u + i\sinh2v)}{\dfrac12 (\cos2u + \cosh2v)} \\
&= \frac{2\cos u\cosh v + 2i\sin u\sinh v + \sin2u + i\sinh2v}{\cos2u + \cosh2v} \\
&= \frac{2(\sin u + \cosh v)(\cos u + i\sinh v)}{\cos2u + \cosh2v}
\end{aligned})] ||
마찬가지로 탄젠트 값을 구하면
\therefore \dfrac{\sinh v}{\cos u} = \tan y)] ||
1.과 3.의 결과를 연립하면 [math(\tan u = \dfrac{\sinh x}{\cos y})], 2.와 3.의 결과를 연립하면 [math(\tanh v = \dfrac{\sin y}{\cosh x})], 이 [math(\tanh v)]의 관계와 1.의 결과를 연립하면 [math(\tanh x = \dfrac{\sin u}{\cosh v})]가 얻어진다.
이를 정리하면 다음과 같다.
| [math(\begin{aligned} \begin{cases} u = \arctan\dfrac{\sinh x}{\cos y} \\ v = \operatorname{artanh}\dfrac{\sin y}{\cosh x} \end{cases} && \begin{cases} x = \operatorname{artanh}\dfrac{\sin u}{\cosh v} \\ y = \arctan\dfrac{\sinh v}{\cos u} \end{cases} \end{aligned} \\ \tan u\tanh v = \tanh x\tan y )] |
| [math(\begin{aligned} \begin{cases} u = \arctan\dfrac{\sinh x}{\cosh(iy)} \\ iv = \arctan\dfrac{\sinh(iy)}{\cosh x} \end{cases} && \begin{cases}x = \operatorname{artanh}\dfrac{\sin u}{\cos(iv)} \\ iy = \operatorname{artanh}\dfrac{\sin(iv)}{\cos u} \end{cases} \end{aligned} \\ \tan u\tan(iv) = \tanh x\tanh(iy))] |
7.1. 덧셈 정리
- [math(\begin{cases} \operatorname{gd}(z + w) = u + v \\ \operatorname{igd}(u + v) = z + w\end{cases})]에 대하여
\end{aligned})] ||
상기 복소 구데르만 함수/역함수의 성질로부터 유도된다.
7.2. 대칭성
- [math(\operatorname{gd}(-z) = -\operatorname{gd}(z))]
[math(\operatorname{igd}(-w) = -\operatorname{igd}(w))] - [math(\operatorname{gd}(iz) = i\operatorname{igd}(z))]
[math(\operatorname{igd}(iw) = i\operatorname{gd}(w))]
[math(\tan\dfrac w2 = \tanh\dfrac z2)]를 이용해서 간단하게 증명할 수 있다. 위 성질은 삼각함수와 쌍곡선 함수의 기함수([math(\sin)], [math(\tan)], [math(\sinh)], [math(\tanh)])가 갖는 성질과 매우 유사함을 알 수 있다. - [math(\operatorname{gd}(\overline z) = \overline{\operatorname{gd}(z)})]
[math(\operatorname{igd}(\overline w) = \overline{\operatorname{igd}(w)})] - [math(\operatorname{gd}(-\overline z) = -\overline{\operatorname{gd}(z)})]
[math(\operatorname{igd}(-\overline w) = -\overline{\operatorname{igd}(w)})]
덧셈 정리 [math(\begin{aligned}
\end{aligned})]를 이용하면 쉽게 증명이 된다.
7.3. 주기성
아래 식에서 [math({\bold 1}_{\R^-}(z))]는 [math(z)]가 음수일 경우 1, 그 외에는 0을 띠는 지시함수다.- [math(\operatorname{gd}(z + 2\pi i) = \operatorname{gd}(z))]
[math(\operatorname{igd}(w + 2\pi) = \operatorname{igd}(w))] - [math(\operatorname{gd}(z \pm \pi i) = (-1)^{{\bold 1}_{\R^-}(\Re(z))} \pi - \operatorname{gd}(z) = \begin{cases} \pi - \operatorname{gd}(z) && (\Re(z) \ge 0) \\ -\pi - \operatorname{gd}(z) && (\Re(z) <0) \end{cases})]
정의식
)] ||
을 이용해서 유도할 수 있다.
\operatorname{gd}(z \pm \pi i) &= 2\arctan \biggl( \tanh\frac{z\pm\pi i}2 \biggr) \\&= \lim\limits_{\underline\phi \to \pm\pi} 2\arctan \!\left( \frac{\tanh\dfrac z2 + i\tan\dfrac{\underline\phi}2}{1 + i\tanh\dfrac z2\tan\dfrac{\underline\phi}2} \right) \\
&= \lim\limits_{\underline\phi \to \pm\pi}2 \arctan \!\left( \frac{\tanh\dfrac z2\cot\dfrac{\underline\phi}2 + i}{\cot\dfrac{\underline\phi}2 + i\tanh\dfrac z2} \right) \\
&= 2\arctan \Bigl( \coth\dfrac z2 \Bigr)
\end{aligned})] ||
이때
\arctan \biggl( \dfrac1x \biggr) = \begin{cases}\operatorname{arccot}x = \dfrac\pi2 - \arctan x && (x > 0) \\
\operatorname{arccot}x - \pi = -\dfrac\pi2 - \arctan x && (x < 0)
\end{cases}
)] ||
임을 적용하면
\operatorname{gd}(z \pm \pi i) &= 2\arctan \Bigl( \coth\dfrac z2 \Bigr) \\&= \begin{cases}
2\biggl\{ \dfrac\pi2 - \arctan\biggl(\tanh\dfrac z2\biggr) \biggr\} && (\Re(z) > 0) \\
2\biggl\{ -\dfrac\pi2 - \arctan\biggl(\tanh\dfrac z2\biggr) \biggr\} && (\Re(z) < 0)
\end{cases}
\end{aligned})] ||
이때 [math(z = 0)]도 [math(\tanh\dfrac z2)]의 정의역에 포함되므로, 편의상 양수 범위에 포함시켜서 다음과 같이 표현할 수 있다.
\operatorname{gd}(z \pm \pi i) &= \begin{cases}\pi - \operatorname{gd}(z) && (\Re(z) \ge 0) \\
-\pi - \operatorname{gd}(z) && (\Re(z) < 0)
\end{cases}
\end{aligned})] ||\operatorname{gd}(z \pm \pi i) = (-1)^{{\bold 1}_{\R^-}(\Re(z))} \pi - \operatorname{gd}(z)
)] ||
- [math(\operatorname{igd}(w \pm \pi) = \begin{cases} \pi i - \operatorname{igd}(w) && (\Im(w) \ge 0) \\ -\pi i - \operatorname{igd}(w) && (\Im(w) < 0) \end{cases})]
[math(\operatorname{gd}^{-1}(w) = \operatorname{gd}^{-1}(i(-wi)) = i\operatorname{gd}(-wi))]임을 상기하면
&= \begin{cases} \pi i - i\operatorname{gd}(-wi) && (\Re(-wi) \ge 0) \\ -\pi i - i\operatorname{gd}(-wi) && (\Re(-wi) < 0) \end{cases} \\
&= \begin{cases} \pi i - \operatorname{igd}(w) && (\Im(w) \ge 0) \\
-\pi i - \operatorname{igd}(w) && (\Im(w) < 0) \end{cases}
\end{aligned})] ||
- [math(\operatorname{gd}(\pm\pi i + \overline z) = (-1)^{{\bold 1}_{\R^-}(\Re(z))} \pi - \overline{\operatorname{gd}(z)} = \begin{cases} \pi - \overline{\operatorname{gd}(z)} && (\Re(z) \ge 0) \\ -\pi - \overline{\operatorname{gd}(z)} && (\Re(z) < 0) \end{cases})]
[math(\operatorname{igd}(\pm\pi + \overline w) = (-1)^{{\bold 1}_{\R^-}(\Im(w))} \pi i - \overline{\operatorname{igd}(w)} = \begin{cases} \pi i - \overline{\operatorname{igd}(w)} && (\Im(w) \ge 0) \\ -\pi i - \overline{\operatorname{igd}(w)} && (\Im(w) < 0) \end{cases})]
상기 성질과 대칭성 항목의 성질을 종합하면 쉽게 유도할 수 있다.