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1. 개요
Möbius function뫼비우스 함수는 정수론과 조합론에서 중요한 역할을 하는 함수로, 주로 정수론에서 소인수분해와 관련된 문제에서 사용된다.
정의역이 양의 정수일 때, 함수의 정의는 다음과 같다.
[math(\mu(n)=\begin{cases}1&(n=1)\\(-1)^{\omega(n)}&(n\;{\sf is\;square\;free\;integer})\\0&({\sf otherwise})\end{cases})]
여기서 [math(\omega(n))]은 소인수 계량 함수이다.
함수의 정의를 다시 설명하면 다음과 같다.
- [math(\mu(n)=1)]: [math(n)]의 약수가 제곱 인수를 포함하지 않고, 소인수의 개수가 짝수인 경우
- [math(\mu(n)=-1)]: [math(n)]의 약수가 제곱 인수를 포함하지 않고, 소인수의 개수가 홀수인 경우
- [math(\mu(n)=0)]: [math(n)]의 약수가 제곱 인수를 포함하는 경우 (즉, 어떤 소수의 제곱으로 나누어지는 경우)
1.1. 예시
- [math(\mu (1) = 1)]
- [math(\mu (6) = \mu (2 \times 3) = 1)]
- [math(6)]의 약수는 제곱 인수를 포함하지 않고, 소인수 개수가 짝수임.
- [math(\mu (7) = -1)]
- [math(7)]의 약수는 제곱 인수를 포함하지 않고, 소인수 개수가 홀수임.
- [math(\mu (45) = 0)]
- [math(45)]의 약수 중 제곱 인수 [math(9=3^2)]가 있음.
- [math(\mu (30) = \mu (2 \times 3 \times 5) = (-1)^3 = -1)]
- [math(30)]이 제곱 인수를 포함하지 않고, 소인수 개수가 홀수임.
- [math(\mu (144) = 0)]
- [math(144)]의 약수 중 제곱 인수 [math(144=12^2)] 등이 있음.