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1. 개요
르장드르 함수는 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre; 1752~1833)[1]에 의해 알려진 함수이며, 아래의 르장드르 방정식을 만족시키는 함수이다.[math(\displaystyle (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+n(n+1)y=0 )]
이 미분 방정식은 구면 좌표계에서 라플라스 방정식을 풀었을 때 등장하게 된다. 한편,
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]=(1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} )]
임을 이용하면, 르장드르의 미분 방정식은 다음과 같이 간략히 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]+n(n+1)y=0 )]
2. 상세
르장드르의 미분 방정식은 [math(x=0)]이 정상점임에 따라 방정식의 해를 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.[math(\displaystyle y(x)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m} )]
이것을 미분 방정식에 대입하면,
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{m=2}^{\infty} a_{m}m(m-1)x^{m-2}-\sum_{m=2}^{\infty} a_{m}m(m-1)x^{m}-2\sum_{m=1}^{\infty}a_{m}mx^{m}+n(n+1)\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m}&=0 \\ \sum_{m=0}^{\infty} a_{m+2}(m+1)(m+2)x^{m}-\sum_{m=2}^{\infty} a_{m}m(m-1)x^{m}-2\sum_{m=1}^{\infty}a_{m}mx^{m}+n(n+1)\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m}&=0 \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \frac{a_{m+2}}{a_{m}}=-\frac{(n-m)(m+n+1)}{(m+1)(m+2)} \quad (n \geq 0) )]
이상에서 일반해는 다음과 같다.
[math(\displaystyle y(x)=A_{1}y_{0}(x)+A_{2}y_{1}(x) )]
관례적으로 [math(a_{0}=a_{1}=1)]로 잡아 다음과 같이 쓴다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} y_{0}(x) & := 1-\frac{n(n+1)}{2!}x^{2}+\frac{n(n+1)(n-2)(n+3)}{4!} x^{4}-\cdots \\ y_{1}(x) & := x-\frac{(n-1)(n+2)}{3!}x^{3}+\frac{(n-1)(n+2)(n-3)(n+4)}{5!}x^{5}+\cdots \end{aligned} )] |
르장드르의 미분 방정식의 해의 특징은 [math(n)]이 정수일 경우 [math(y_{0}(x))]나 [math(y_{1}(x))] 중 하나는 무한급수가 아닌 다항식 꼴로 표현된다는 것이다. 이때, 다항식 꼴의 해에서 약간의 규격화 상수를 붙인 것을 [math(P_{n}(x))]로 하여 제1종 르장드르 함수(Legendre function of the first kind) 혹은 르장드르 다항식(Legendre polynomials)이라 하고, 다항식이 아닌 해를 [math(Q_{n}(x))]으로 한 뒤 관례적으로 약간의 규격화 상수를 붙여 제2종 르장드르 함수(Legendre function of the second kind)로 정의한다. 따라서 [math(n)]이 정수인 경우 일반해는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle y(x)=A_{1}P_{n}(x)+A_{2}Q_{n}(x) )]
2.1. 르장드르의 미분 방정식의 다른 형태
구면 좌표계에서 스칼라 함수 [math(f(r,\,\theta))]에 대하여 [math(f(r,\,\theta)=R(r) \Theta(\theta))]로 놓고 라플라스 방정식을 풀면 [math(\theta)]에 관한 식이 나온다.[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \!\left( \sin{\theta} \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d} \theta} \right)+m^{2} \Theta\sin{\theta}=0 )]
여기서 [math(m)]은 상수이다. 이것을 [math(\Theta(\theta) \to \Theta(x))], [math(x=\cos{\theta})]로 치환하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{1-x^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d} x} \right]+\sqrt{1-x^{2}} m^{2}\Theta &=0 \\ (1-x^2)\frac{\mathrm{d}^{2} \Theta}{\mathrm{d} x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d}x}+m^{2}\Theta&=0 \end{aligned})]
[math(m^{2} := n(n+1))]로 놓으면 위 식은 아래와 같아진다.
[math(\displaystyle (1-x^2)\frac{\mathrm{d}^{2} \Theta}{\mathrm{d} x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d}x}+n(n+1)\Theta=0)]
이것은 명백히 르장드르의 미분 방정식이므로, [math(\theta)]에 대한 해를 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \Theta(\cos{\theta}) \propto P_{n}(\cos{\theta}) )]
3. 분석
이 문단에서는 물리학적으로 가장 유용한 해인 제1종 르장드르 함수만을 심층적으로 분석하였다.3.1. 종류
제1종 르장드르 함수는 [math(P_{n}(1)=1)], [math(P_{n}(-1)=(-1)^{n})]이 되게끔 약간의 규격화 상수를 붙여 해로 정의한다. 아래는 몇몇의 제1종 르장드르 함수를 나타낸 것이다.| [math(\displaystyle \begin{aligned} P_{0}(x)&=1 \\ P_{1}(x)&=x \\ P_{2}(x)& =\frac{1}{2}\!\left(3x^2-1\right) \\ P_{3}(x)&=\frac{1}{2} \!\left(5x^3-3x\right) \\ P_{4}(x)&=\frac{1}{8} \!\left(35x^4-30x^2+3\right) \\ P_{5}(x)&=\frac{1}{8} \!\left(63x^5-70x^3+15x\right) \\ P_{6}(x)&=\frac{1}{16} \!\left(231x^6-315x^4+105x^2-5\right) \\ P_{7}(x)&=\frac{1}{16} \!\left(429x^7-693x^5+315x^3-35x\right) \\ P_{8}(x)&=\frac{1}{128} \!\left(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35\right) \\ P_{9}(x)&=\frac{1}{128} \!\left(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x\right ) \\ P_{10}(x)&=\frac{1}{256} \!\left(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63\right) \end{aligned} )] |
3.2. 그래프
아래는 [math([-1,\,1])] 구간에 몇몇의 제1종 르장드르 함수의 그래프를 나타낸 것이다.3.3. 생성 함수
제1종 르장드르 함수에 대한 생성 함수는 아래와 같다.[math(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2} }}=\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}(x)t^{n} )]
3.4. 로드리게스 공식
Rodrigues Formula제1종 르장드르 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle P_{n}=\frac{1}{2^{n} \cdot n!} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^{2}-1)^{n} )]
다음과 같은 식에서 출발하여 이를 증명하여 보자.
[math(\displaystyle u := (x^{2}-1)^{n} )]
양변을 미분하면
[math(\displaystyle u'=2nx(x^{2}-1)^{n-1} \, \to \, (x^{2}-1)u'=2nxu )]
라이프니츠 미분 규칙을 이용해, 양변을 [math((n+1))]번 미분하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (x^{2}-1)^{(k)}u^{(n+2-k)}=2n \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^{(k)}u^{(n+1-k)} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} (x^{2}-1)u^{n+2}+2(n+1)xu^{n+1}+n(n+1) u^{n}&=2nxu^{n+1}+2n(n+1)u^{n} \\ (1-x^{2})u^{n+2}-2xu^{n+1}+n(n+1)u^{n}&=0 \\ (1-x^{2})\frac{\mathrm{d}^{2} u^{n}}{\mathrm{d}x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d}u^{n}}{\mathrm{d}x}+n(n+1)u^{n}&=0 \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^2-1)^{n}=CP_{n}(x) )]
[math(C)]는 상수이다. 이상에서 라이프니츠 미분 규칙을 적용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} P_{n}(x)&=\frac{1}{C}\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^2-1)^{n} \\ &=\frac{1}{C} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} [(x+1)^{n}]^{(k)}[(x-1)^{n}]^{(n-k)} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} P_{1}(x)&=\frac{1}{C}n!\cdot(1+1)^{n}=1 \, \to \,C=2^{n}\cdot n! \end{aligned} )]
따라서 다음과 같은 결과를 얻으며, 이를 제1종 르장드르 함수에 대한 로드리게스 공식(Rodrigues' formula)이라 한다.
[math(\displaystyle P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}\cdot n! } \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^{2}-1)^{n} )]
3.5. 재귀 관계
생성 함수를 이용하면 다음의 관계식을 증명할 수 있다.- [math( \displaystyle nP_{n}(x)=(2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x) )]
- [math( \displaystyle xP_{n}'(x)-P_{n-1}'(x)=nP_{n}(x) )]
- [math( \displaystyle P_{n}'(x)-xP_{n-1}'(x)=nP_{n-1}(x) )]
- [math( \displaystyle (1-x^{2})P_{n}'(x)=nP_{n-1}(x)-nxP_{n}(x) )]
- [math( \displaystyle (2n+1)P_{n}(x)=P_{n+1}'(x)-P_{n-1}'(x) )]
- [math( \displaystyle (1-x^{2})P_{n-1}'(x)=nxP_{n-1}(x)-nP_{n}(x) )]
3.6. 직교성
제1종 르장드르 함수는 [math([-1,\,1])] 구간에서 직교하는 다항식으로, 다음을 만족시킨다. [math(\delta_{mn})]은 크로네커 델타이다.[math(\displaystyle \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1}\delta_{mn} )]
우선 [math(m \neq n)]일 때를 증명해보자. [math(P_{n}(x))]와 [math(P_{m}(x))]가 만족시키는 르장드르의 미분 방정식을 적어보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}P_{n}(x)}{\mathrm{d}x}\right]+n(n+1)P_{n}(x)&=0 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}P_{m}(x)}{\mathrm{d}x}\right]+m(m+1)P_{m}(x)&=0 \end{aligned} )]
위쪽 방정식에는 [math(P_{m}(x))]를, 아래쪽 방정식에는 [math(P_{n}(x))]를 각각 곱한 후 위에서 아래를 빼고 정리하면 다음과 같다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}P_{n}(x)}{\mathrm{d}x}\right]P_{m}(x)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}P_{m}(x)}{\mathrm{d}x}\right]P_{n}(x)+[n(n+1)-m(m+1) ]P_{n}(x)P_{m}(x)&=0 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \!\left( P_{m}(x) \frac{\mathrm{d} P_{n}(x)}{\mathrm{d}x}-P_{n}(x) \frac{\mathrm{d} P_{m}(x)}{\mathrm{d}x} \right)\right]+[n(n+1)-m(m+1) ]P_{n}(x)P_{m}(x)&=0 \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \!\left[ (1-x^{2}) \!\left( P_{m}(x) \frac{\mathrm{d} P_{n}(x)}{\mathrm{d}x}-P_{n}(x) \frac{\mathrm{d} P_{m}(x)}{\mathrm{d}x} \right) \right]_{-1}^{1}=-[n(n+1)-m(m+1) ] \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm{d}x )] |
[math(\displaystyle -[n(n+1)-m(m+1) ] \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm{d}x=0 )]
그런데 [math(n \neq m)]을 가정한 상황이므로 최종적으로 다음과 같이 증명된다.
[math(\displaystyle \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm{d}x=0 \quad (n \neq m) )]
이번에는 [math(m=n)]인 경우를 보자. 제1종 르장드르 함수의 재귀 관계 중 다음 식을 고려해보자.
[math(\displaystyle nP_{n}(x)=xP_{n}'(x)-P_{n-1}'(x) )]
이때, 양변에 [math(P_{n}(x))]를 곱한 뒤 구간 [math([-1,\,1])]에 대하여 적분하면
[math(\displaystyle n\int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x= \int_{-1}^{1} xP_{n}'(x)P_{n}(x)\,\mathrm{d}x- \int_{-1}^{1} P_{n-1}'(x)P_{n}(x)\,\mathrm{d}x )]
우변의 마지막 항은 0[2]이 되고, 우변의 첫 항은 다음처럼 정리된다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-1}^{1} xP_{n}'(x)P_{n}(x)\,\mathrm{d}x&=\biggl[ x\frac{[P_{n}(x) ]^{2}}{2} \biggr]_{-1}^{1} -\int_{-1}^{1} \frac{[P_{n}(x) ]^{2}}{2}\,\mathrm{d}x \\ &=1-\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x \end{aligned})] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \!\left( n+\frac{1}{2} \right) \int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x &=1 \, \to \, \int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1} \quad (n=m) \end{aligned})] |
참고로 구간 [math([-b,\,b])]에 대하여 다음이 성립함을 치환적분을 통해 증명할 수 있다.
[math(\displaystyle \int_{-b}^{b} P_{n}\biggl( \frac{x}{b} \biggr)P_{m}\biggl( \frac{x}{b} \biggr)\,\mathrm{d}x=\frac{2b}{2n+1}\delta_{mn} )]
3.6.1. 푸리에-르장드르 급수
푸리에 급수로 주기가 [math(2L)]인 함수 [math(f(x))]를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여[math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \sin{\frac{n\pi x}{L}}+b_{n} \cos{\frac{n \pi x}{L}} )]
로 전개할 수 있었으며, 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다.
이와 유사하게 구간 [math([-b,\,b])]의 함수 [math(f(x))]에 대하여
[math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} P_{n}\!\left( \frac{x}{b} \right) )]
으로 전개할 수 있는데, 이 급수를 푸리에-르장드르 급수(Fourier-Legendre series)라 한다. 계수 [math(a_{n})]을 구하기 위해, 양변에 [math(P_{m}(x/b))]를 곱하고 구간 [math([-b,\,b])]에 대하여 적분하면 다음처럼 정리된다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-b}^{b}f(x) P_{m} \!\left( \frac{x}{b} \right) \,\mathrm{d}x&=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{-b}^{b} P_{n}\!\left( \frac{x}{b} \right) P_{m}\!\left( \frac{x}{b} \right)\,\mathrm{d}x \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \frac{2b}{2n+1} \delta_{nm} \\ &=a_{m}\frac{2b}{2n+1} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} a_{n}=\frac{2n+1}{2b}\int_{-b}^{b}f(x) P_{m} \!\left( \frac{x}{b} \right)\mathrm{d}x \end{aligned} )]
4. 연관 함수
4.1. 버금 르장드르 함수
버금 르장드르 함수(associated Legendre function)는 미분 방정식[math(\displaystyle (1-x^2){\mathrm{d}^2 y\over \mathrm{d}x^2} - 2x{\mathrm{d}y\over \mathrm{d}x}+\!\left[n(n+1)-{m^2\over 1-x^2} \right]y=0 )]
(단, [math(m)]은 정수)을 만족하는 함수로
[math(\displaystyle y(x)=A_{1}P_{n}^{m}(x)+ A_{2}Q_{n}^{m}(x) )]
로 쓰고, 각각을 제1종 버금 르장드르 함수(associated Legendre function of the first kind), 제2종 버금 르장드르 함수(associated Legendre function of the second kind)라 한다. 버금 르장드르 함수에서 m=0이면 르장드르 함수이다.
제1종 버금 르장드르 함수와 제1종 르장드르 함수 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle P_{n}^{m}(x)&=(1-x^{2})^{|m|/2} \frac{\mathrm{d}^{|m|}P_{n}(x)}{\mathrm{d}x^{|m|}}\\P_{n}^{-m}(x)&=(-1)^{m} \frac{(n-m)!}{(n+m)!}P_{n}^{m}(x)\end{aligned})]
이 함수 또한 구간 [math([-b,\,b])]에 대하여 아래의 직교성이 있다.
[math(\displaystyle \int_{-b}^{b} P_{n}^{m}\!\left( \frac{x}{b} \right) P_{l}^{m}\!\left( \frac{x}{b} \right)\mathrm{d}x=\frac{2b}{2n+1}\frac{(n+|m|)!}{(n-|m|)!}\delta_{nl} )]
제1종 버금 르장드르 함수의 재귀 관계는 아래와 같다.
- [math(\displaystyle P_{n}^{m+1}(x)=\frac{2mx}{\sqrt{1-x^{2}}}P_{n}^{m}(x)+[m(m-1)-n(n+1) ]P_{n}^{m-1}(x) )]
- [math(\displaystyle (2n+1)xP_{n}^{m}(x)=(n+m)P_{n-1}^{m}(x)+(n-m+1)P_{n+1}^{m}(x) )]
- [math(\displaystyle (2n+1)\sqrt{1-x^{2}} P_{n}^{m}(x)=P_{n+1}^{m+1}(x)-P_{n-1}^{m+1}(x) )]
- [math(\displaystyle 2\sqrt{1-x^{2}} \frac{\mathrm{d}P_{n}^{m}(x)}{\mathrm{d}x}=P_{n}^{m+1}(x)-(n+m)(n-m+1)P_{n}^{m-1}(x) )]
4.2. 구면 조화 함수
구면 조화 함수(spherical harmonics)는 구면좌표계에서 아래와 같이 정의되는 함수이다.[3][math(\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi) := A P_{l}^{m}(\cos{\theta}) e^{i m \phi} )]
[math(A)]는 규격화 상수로
[math(\displaystyle \oint_{\Omega }Y_{l}^{m\ast}(\theta,\,\phi) Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi)\, \mathrm{d} \Omega=1 )]
이 되도록 관례적으로 잡는다. [math(\Omega)]는 입체각이고, [math(\oint_{\Omega})]는 전체 입체각에 대한 적분임을 나타내는 기호이다. 이것은
[math(\displaystyle |A|^{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \phi \int_{0}^{\pi} [P_{l}^{m}(\cos{\theta}) ]^{2}\sin{\theta}\,\mathrm{d}\theta )]
으로 쓸 수 있고, [math(x := \cos{\theta})]라 잡으면,
[math(\displaystyle |A|^{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \phi \int_{0}^{1} [P_{l}^{m}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{4 \pi}{2l+1}\frac{(l+|m|)!}{(l-|m|)!} |A|^{2}=1 )]
이고, 결국
[math(\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi) = \sqrt{ \frac{2l+1}{4 \pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} } \,P_{l}^{m}(\cos{\theta}) e^{i m \phi} )]
으로 정의된다. 또한 모든 입체각에 대해 다음과 같은 직교성이 있다.
[math(\displaystyle \oint_{\Omega }Y_{l'}^{m'\ast}(\theta,\,\phi) Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi)\, \mathrm{d} \Omega=\delta_{ll'}\delta_{mm'} )]
또한 기본적으로 제1종 버금 르장드르 함수와 [math(e^{im \phi})]의 곱으로 이루어진 함수이기 때문에 다음을 증명할 수 있다.
[math(\displaystyle Y_{l}^{-m}(\theta,\,\phi)=(-1)^{m}Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi) )]
이 구면 조화 함수는 양자역학에서 3차원 입자의 각운동량을 논할 때 사용된다.
이곳(영어)에서 몇몇 구면 조화 함수의 목록을 볼 수 있고, 아래의 그래프[4]는 몇몇 [math(Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi))]에 대하여 [math(|Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi)|^{2})]의 개형[5]을 나타낸 것이다. [math(\hat{\mathbf{z}})]는 [math(z)]축 방향의 단위 벡터이다.
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그래프는 수소 원자에 대한 오비탈의 개형과 비슷하다. 그 이유는 실제로 수소 원자에 대한 전자의 확률 밀도 함수 중 이 구면 조화 함수가 포함되어 있기 때문이다.
5. 관련 문서
[1] 르장드르는 적분학과 타원 함수 등의 분야에서 많은 업적을 남긴 바 있다. 나무위키에는 본 문서 외에도 르장드르 변환 문서가 만들어져 있다.[2] 우리는 주어진 구간 [math([-1,\,1] )] 위에서 서로 다른 차수의 제1종 르장드르 함수끼리의 내적은 0이 됨을 증명하였다. [math(P_{n-1}'(x))]는 [math(P_{n}(x))]와 비교해볼 때 차수가 작은 다항식임을 예상할 수 있다. 즉, [math(P_{n}(x))]의 최고차항이 없기 때문에 [math(P_{n-1}'(x))]는 [math(P_{n}(x))]과 비교했을 때 최고차항이 [math(P_{n}(x))]보다 최고차항이 낮은 차수의 제1종 르장드르 함수끼리의 합으로 전개될 것이므로 적분항은 결국 0이 된다.[3] 기호가 제2종 베셀 함수 [math(Y_{n}(x))]와 닮아있으나, 둘은 전혀 다른 함수임에 주의하라.[4] 회전축으로 자른 단면을 나타내는 그래프임.[5] 단, 크기는 한 정사각형의 가로 혹은 세로 길이에 규격화 됨.