삼각함수/역도함수

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1. 개요

2. 기본

아래 식에서 [math(\mathsf{const.})]는 적분상수이다.

[math(\displaystyle \int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cos x\, \mathrm{d}x = \sin x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \tan x\, \mathrm{d}x = -\ln \left|\cos x\right| + \mathsf{const.} = \ln\left|\sec x\right| + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \sec x\, \mathrm{d}x = \ln \left|\sec x + \tan x\right| + \mathsf{const.} = \operatorname{igd}(x) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \csc x\, \mathrm{d}x = -\ln \left|\csc x + \cot x\right| + \mathsf{const.} = \ln \left|\csc x - \cot x\right| + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cot x\, \mathrm{d}x = \ln \left|\sin x\right| + \mathsf{const.} = -\ln \left|\csc x\right| + \mathsf{const.})]

위 식에서 [math(\operatorname{igd}(x))]는 구데르만 역함수이다.

참고로, 교과서에서는 삼각함수의 부정적분을 미분 공식을 거꾸로 한 형태만 가르친다. 즉, 사인과 코사인의 적분을 제외하고는 엄밀하게 말하면 교육과정 외의 범위라서 교과서에서는 찾아볼 수 없는 공식들이다. 하지만 나머지 네 개 모두 치환적분을 이용하여 쉽게 증명할 수 있으니 <미적분>(2015 개정 교육과정)을 공부한다면 한 번 해보자.

기본적인 여섯 개의 삼각함수 적분법은 위와 같지만, 적분에서는 미분에서의 연쇄 법칙과 같은 정리가 존재하지 않기 때문에, 삼각함수를 적분하는 수많은 공식이 존재한다.

3. 거듭제곱꼴

하나의 삼각함수가 여러 번 거듭제곱된 식을 적분하는 공식. 일반적으로 적분 상수는 쓰지 않는데, 그 이유는 차수를 낮춘 적분식에 포함된 것으로 간주하기 때문이다.

[math(\displaystyle \int \sin^nx\, \mathrm{d}x = -\frac{\cos x \sin^{n-1}x}n + \frac{n-1}n \int \sin^{n-2}x\, \mathrm{d}x)] (단, [math(n \geq 1)])
[math(\displaystyle \int \cos^nx\, \mathrm{d}x = \frac{\sin x \cos^{n-1}x}n + \frac{n-1}n \int \cos^{n-2}x\, \mathrm{d}x)] (단, [math(n \geq 1)])
[math(\displaystyle \int \tan^nx\, \mathrm{d}x = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1} - \int \tan^{n-2}x\, \mathrm{d}x)] (단, [math(n>1)])
[math(\displaystyle \int \sec^nx\, \mathrm{d}x = \frac{\sin x \sec^{n-1}x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2}x\, \mathrm{d}x)] (단, [math(n>1)])
[math(\displaystyle \int \csc^nx\, \mathrm{d}x = -\frac{\cos x \csc^{n-1}x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2}x\, \mathrm{d}x)] (단, [math(n>1)])
[math(\displaystyle \int \cot^nx\, \mathrm{d}x = -\frac{\cot^{n-1}x}{n-1} - \int \cot^{n-2}x\, \mathrm{d}x)] (단, [math(n>1)])

부분적분 공식을 이용하면 모두 증명 가능한 공식들이다. 맨 윗줄의 사인 함수에 대한 공식만 증명해보자.

[증명]: -------
우선 [math(n\ge2)]인 자연수 [math(n)]에 대해 다음을 보일 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \sin^nx \,{\rm d}x &= \int \sin x \cdot \sin^{n-1}x \,{\rm d}x \\
&= -\cos x \cdot \sin^{n-1}x -\!\int (-\cos x) \cdot (n-1)\sin^{n-2}x \cdot \cos x \,{\rm d}x \\
&= -\cos x \cdot \sin^{n-1}x +(n-1) \int \cos^2x \cdot \sin^{n-2}x \,{\rm d}x \\
&= -\cos x \cdot \sin^{n-1}x +(n-1) \int (1-\sin^2x) \sin^{n-2}x \,{\rm d}x \\
&= -\cos x \cdot \sin^{n-1}x +(n-1) \int \sin^{n-2}x \,{\rm d}x -(n-1) \int \sin^nx \,{\rm d}x \\
\Rightarrow n \int \sin^nx \,{\rm d}x &= -\cos x \cdot \sin^{n-1}x +(n-1) \int \sin^{n-2}x \,{\rm d}x \\
\therefore \int \sin^nx \,{\rm d}x &= -\frac{\cos x \cdot \sin^{n-1}x}n +\frac{n-1}n \int \sin^{n-2}x \,{\rm d}x
\end{aligned} )]

한편, [math(n=1)]일 때도 위 공식이 성립하는지 살펴보자.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \sin x \,{\rm d}x = -\frac{\cos x \cdot \sin^0x}1 +0 \cdot \int \frac{{\rm d}x}{\sin^2x} +{\sf const.} = -\cos x +{\sf const.}
\end{aligned} )]

이와 같이 [math(n=1)]일 때도 위 공식이 성립한다. 따라서 준 공식은 모든 자연수 [math(n)]에 대해 성립한다.

사실 이 적분법은 삼각함수가 아니더라도 각종 함수의 거듭제곱 형태를 적분하는 모든 적분법에 적용 가능하며 이를 reduction formula라고 한다.

3.1. 거듭제곱근꼴

삼각함수의 [math(n)]제곱근 꼴을 적분하는 공식이다. 하지만 이런 꼴을 보기 힘들고, 결과에 초기하함수가 나와서 유용하지 않다.

[math(\displaystyle \int \sqrt[n]{\sin x} \, \mathrm{d}x = \dfrac{n\sqrt{\cos^2 x}\sec x \sin^{1/n +1} {}_2 F_{1}\biggl({\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} (1+ n^{-1}); \dfrac{1}{2} (3+n^{-1}); \sin^2 x}\biggr)}{n+1} +\sf const.)]
[math(\displaystyle \int \sqrt[n]{\sin x} \, \mathrm{d}x =- \dfrac{n\sqrt{\sin^2 x}\csc x \cos^{1/n +1} {}_2 F_{1}\biggl({\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} (1+ n^{-1}); \dfrac{1}{2} (3+n^{-1}); \cos^2 x}\biggr)}{n+1} +\sf const.)]

3.2. 정적분

사인함수와 코사인함수를 자연수로 거듭제곱한 꼴의 식을 [math(0)]부터 [math(\pi/2)]까지 정적분하는 공식. 계산량을 상당히 줄여준다. 참고로 아래에서 [math(k)]는 [math(0)] 이상의 정수이고, [math(!!)]은 이중 계승이고, [math(n^{\overline k})]는 상승 계승이다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
&{\sf if} \;n=2k: &\int_0^{\pi/2} \sin^nx \,{\rm d}x &= \frac\pi2 \cdot \frac{(n-1)(n-3)\cdots3\cdot1}{n(n-2)\cdots4\cdot2} \\
&&&= \frac\pi2 \cdot \frac{(n-1)!!}{n!!} \\
&&&= \frac\pi2 \cdot \frac{(1/2)^{\overline k}}{k!} \\
&{\sf if} \;n=2k+1: &\int_0^{\pi/2} \sin^nx \,{\rm d}x &= \frac{(n-1)(n-3)\cdots4\cdot2}{n(n-2)\cdots5\cdot3} \\
&&&= \frac{(n-1)!!}{n!!} \\
&&&= \frac{k!/2}{(1/2)^{\overline{k+1} }} \\
\end{aligned} )]

[증명]: -------
위의 거듭제곱꼴 문단의 부정적분 결과를 사용하자.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \sin^nx \,{\rm d}x &= -\frac{\cos x \cdot \sin^{n-1}x}n +\frac{n-1}n \int \sin^{n-2}x \,{\rm d}x \\
\Rightarrow \int_0^{\pi/2} \!\sin^nx \,{\rm d}x &= -\biggl[ \frac{\cos x \cdot \sin^{n-1}x}n \biggr]_0^{\pi/2} +\frac{n-1}n \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}x \,{\rm d}x \\
&= \frac{n-1}n \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}x \,{\rm d}x \\
&= \frac{(n-1)(n-3)}{n(n-2)} \int_0^{\pi/2} \sin^{n-4}x \,{\rm d}x \\
&= \cdots \\
&= \begin{cases}
\displaystyle \frac{(n-1)(n-3)\cdots3\cdot1}{n(n-2)\cdots4\cdot2} \int_0^{\pi/2} {\rm d}x &\quad {\sf if} \;n=0,2,4,\cdots \\\\
\displaystyle \frac{(n-1)(n-3)\cdots4\cdot2}{n(n-2)\cdots5\cdot3} \int_0^{\pi/2} \sin x \,{\rm d}x &\quad {\sf if} \;n=1,3,5,\cdots
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
\displaystyle \frac{(n-1)(n-3)\cdots3\cdot1}{n(n-2)\cdots4\cdot2} \cdot \frac\pi2 &\quad {\sf if} \;n=0,2,4,\cdots \\\\
\displaystyle \frac{(n-1)(n-3)\cdots4\cdot2}{n(n-2)\cdots5\cdot3} &\quad {\sf if} \;n=1,3,5,\cdots
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
\displaystyle \frac\pi2 \cdot \frac{(n-1)!!}{n!!} &\quad {\sf if} \;n=0,2,4,\cdots \\\\
\displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!} &\quad {\sf if} \;n=1,3,5,\cdots
\end{cases} \\
\end{aligned} )]

이제 이를 다음과 같은 과정을 거치면 상승계승에 관한 식으로 바꿀 수 있다. 우선 [math(n=2k)]일 때에 대해 먼저 증명해보자.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \sin^nx \,{\rm d}x &= \frac\pi2 \cdot \frac{(n-1)!!}{n!!} = \frac\pi2 \cdot \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \\
&= \frac\pi2 \cdot \frac{(2k-1)(2k-3)\cdots3\cdot1}{(2k)(2k-2)\cdots4\cdot2} \div \frac{2^k}{2^k} \\
&= \frac\pi2 \cdot \frac{\bigl(\frac{2k-1}2\bigr)\bigl(\frac{2k-3}2\bigr)\cdots\frac32\cdot\frac12}{k(k-1)\cdots2\cdot1} \\
&= \frac\pi2 \cdot \frac{(1/2)^{\overline k}}{k!}
\end{aligned} )]

이제 [math(n=2k+1)]일 때에 대해 증명해보자.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \sin^nx \,{\rm d}x &= \frac{(n-1)!!}{n!!} = \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!} = \frac1{2k+1} \cdot \frac{(2k)!!}{(2k-1)!!} \\
&= \frac1{2k+1} \cdot \frac{(2k)(2k-2)\cdots4\cdot2}{(2k-1)(2k-3)\cdots3\cdot1} \div \frac{2^k}{2^k} \\
&= \frac{\frac12}{\frac{2k+1}2} \cdot \frac{k(k-1)\cdots2\cdot1}{\bigl(\frac{2k-1}2\bigr)\bigl(\frac{2k-3}2\bigr)\cdots\frac32\cdot\frac12} \\
&= \frac{k!/2}{(1/2)^{\overline{k+1} }}
\end{aligned} )]

여담으로, 이 식은 초구의 초부피를 구하는 데에도 효과적으로 쓰인다.

4. 절댓값 합성함수의 적분

아래 식에서 [math(\mathrm{sgn}\,x)]는 [math(x)]의 부호를 가져오는 부호 함수(Signum Function)이다.

4.1. 절댓값이 피합성함수인 경우

[math(\displaystyle \int \sin |x|\, \mathrm{d}x = (1- \cos x)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cos |x|\, \mathrm{d}x = \sin x+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \tan |x|\, \mathrm{d}x = (\ln | \sec x |) \mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \sec |x|\, \mathrm{d}x = \ln | \tan x + \sec x | + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \csc |x|\, \mathrm{d}x = (\ln | \cot x - \csc x |)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cot |x|\, \mathrm{d}x = (\ln | \sin x |)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.})]

4.2. 삼각함수가 피합성함수인 경우

아래 식에서 [math(\lfloor \cdot \rfloor)]는 바닥함수이다.

[math(\displaystyle \int \left|\sin x\right| \mathrm{d}x = 2\left\lfloor\frac x\pi\right\rfloor -\cos\left(x - \left\lfloor\frac x\pi \right\rfloor\pi\right) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \left|\cos x\right| \mathrm{d}x = 2\left\lfloor\frac x\pi + \frac12\right\rfloor + \sin\left(x - \left\lfloor\frac x\pi + \frac12 \right\rfloor\pi\right) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \left| \tan x \right| \mathrm{d}x = -(\mathrm{sgn} \circ \tan)(x) \ln \left| \cos x \right| + \mathsf{const.})] [math( \biggl( \biggr.)]단, [math(|x| < n \pi - \dfrac{\pi}{2})][math( \biggl. \biggr))]
[math(\displaystyle \int \left| \sec x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\sec x\right) \ln \left|\sec x + \tan x\right| + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \left| \csc x \right| \, \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x + \cot x\right| + \mathsf{const.} = \mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x - \cot x\right| + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \left| \cot x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\cot x\right) \ln \left|\sin x\right| + \mathsf{const.})] [math( \biggl( \biggr.)]단, [math(|x| < n \pi - \dfrac{\pi}{2})][math( \biggl. \biggr))]

5. 특수함수

일부 형태는 초등함수로 적분이 불가능하다.

5.1. 사인 적분 함수, 코사인 적분 함수

[math(\displaystyle \int \frac{\sin x}x\, \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x) + \mathsf{const.} = \int_0^x \frac{\sin t}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \frac{\cos x}x\, \mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) + \mathsf{const.} = -\int_x^\infty \frac{\cos t}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \sin e^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Si}(e^x) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cos e^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(e^x) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \sin x \ln x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) - \cos x \ln x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cos x \ln x\,\mathrm{d}x = -\mathrm{Si}(x)+ \sin x \ln x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \sin(x^{-1}) = -\mathrm{Ci}(x^{-1}) + x \sin(x^{-1}) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cos(x^{-1}) = \mathrm{Si}(x^{-1}) + x \cos(x^{-1}) + \mathsf{const.})]

5.2. 프레넬 사인 적분 함수, 프레넬 코사인 적분 함수

[math(\displaystyle \int \sin x^2 \, \mathrm{d}x = S(x) + \mathsf{const.} = \int_0^x \sin t^2\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cos x^2 \, \mathrm{d}x = C(x) + \mathsf{const.} = \int_0^x \cos t^2\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.})]

5.3. 폴리로그함수

[math(\displaystyle \int x \tan x\,\mathrm{d}x = \frac i2[\mathrm{Li}_2(-e^{2ix})+x\{x+2i \ln(1+e^{2ix})\}]+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int x \csc x\,\mathrm{d}x = -2i\,\mathrm{Li}_2(e^{ix}) + \frac i2\mathrm{Li}_2(e^{2ix}) - 2x\,\mathrm{artanh}\,e^{ix} + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int x \sec x\,\mathrm{d}x = i\{\mathrm{Li}_2(-ie^{ix}) - \mathrm{Li}_2(ie^{ix}) - 2x\arctan e^{ix}\} + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int x \cot x\,\mathrm{d}x = x\ln(1-e^{2ix}) - \frac12i\{x^2+\mathrm{Li}_2(e^{2ix})\}+ \mathsf{const.})]

5.4. 초기하함수

[math(\displaystyle \int e^x \tan x\,\mathrm{d}x = ie^x{}_2F_1\biggl(-\frac i2,~1;~1-\frac i2;~-e^{2ix}\biggr) - \frac{2 + i}5 e^{(1+2i)x}{}_2F_1\biggl(1,~1-\frac i2;~2-\frac i2;~-e^{2ix}\biggr) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int e^x \csc x\,\mathrm{d}x = -(1+i) e^{(1+i)x} {}_2F_1\biggl(\frac{1-i}2,~1;~\frac{3-i}2;~e^{2ix}\biggr) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int e^x \sec x\,\mathrm{d}x = (1-i) e^{(1+i)x} {}_2F_1\biggl(\frac{1-i}2,~1;~\frac{3-i}2;~-e^{2ix}\biggr) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int e^x \cot x\,\mathrm{d}x = -ie^x {}_2F_1\biggl(-\frac i2,~1;~1-\frac i2;~e^{2ix}\biggr) - \frac{2+i}5 e^{(1+2i)x} {}_2 F_1\biggl(1,~1-\frac i2;~2-\frac i2;~e^{2ix}\biggr) + \mathsf{const.})]

6. 관련 문서

부정적분

역도함수표

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