1. 개요
확률론과 통계학에서 지수족(exponential family)은 특정한 조건(아래 항목 참고)을 만족하는 매개변수화된 확률분포들의 집합을 원소로 갖는 집합이다(집합족지수족이라는 용어는 확률분포들의 집합을 말하는데, 예를들어 지수족에는 정규분포, 푸아송 분포 등 각각의 매개변수들을 가지는 확률분포들이 속한다. 이 개념은 G.Darmois, B.O.Koopman 등이 1935~1936년에 처음 제시했다. 지수족은 매개변수를 가지는 확률분포들을 각자 고유의 가장 자연스러운 매개변수로 나타내는 보편적인 프레임워크를 제공하고 있다.
2. 정의
2.1. 스칼라 매개변수
매개변수가 [math(\theta)] 하나일 때 지수족의 원소는 다음과 같은 확률밀도함수를 원소로 갖는 집합으로 정의된다.[math(f_X(x|\theta) = h(x)~\exp [\eta (\theta)\cdot T(x)-A(\theta) ])]
이때 [math(T(x),h(x),\eta (\theta), A(\theta))]는 알려진 함수이고, [math(h(x))]는 양수이다.[1] 여기서 [math(\theta)]는 해당 지수족 원소의 매개변수이다.
2.2. 벡터 매개변수
매개변수가 벡터 [math(\boldsymbol\theta = [\theta_1, \theta_2, ..., \theta_s]^T)]로 주어질 때 지수족의 원소를 다음과 같은 확률밀도함수를 원소로 갖는 집합으로 정의한다:[math(f_X(x|\boldsymbol\theta) = h(x)~\exp[\sum_i^s \eta_i (\boldsymbol\theta) T_i(x)-A(\boldsymbol\theta)])]
혹은, 벡터 곱 형식으로 쓰면:
[math(f_X(x|\boldsymbol\theta) = h(x)~\exp[\boldsymbol\eta (\boldsymbol\theta)\cdot {\boldsymbol T}(x)-A(\boldsymbol\theta)])]
이외에도 확률밀도함수를 표현할 때 자주 쓰이는 형태로는:
[math(f_X(x|\boldsymbol\theta) = h(x)g(\boldsymbol\theta)~\exp(\boldsymbol\eta (\boldsymbol\theta)\cdot {\boldsymbol T}(x)))]
가 있다.
3. 예시
지수족의 원소로는 정규분포, 베르누이 분포, 지수분포, 베타분포, 감마분포, 푸아송분포, 카이제곱분포 등이 있다.몇몇 확률분포들은 특정 매개변수가 고정되었을 때 지수족이 되기도 하는데, 예를들어 시행횟수 N이 고정된 이항분포들의 집합은 지수족의 원소가 된다.
[1] 확률분포니까 당연하다.