| 정다면체 Regular Polyhedron | |
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| 정사면체 regular tetrahedron | |||||
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| 슐레플리 기호 | {3,3} 또는 {32} | ||||
| 대칭 | 점군 | [math(A_3)], [3,3][Cox]또는 [math(T_d)][Scn] | |||
| 대칭 차수 | 24 | ||||
| 쌍대 | 정사면체 (자기쌍대) | ||||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px);" {{{#!folding 측정 [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px" | [math(a)] = 한 변의 길이 | ||||
| 겉넓이 | [math(\sqrt{3}a^2)] | ||||
| 부피 | [math(\dfrac{\sqrt2}{12} a^3)] | ||||
| 이면각 | [math(\displaystyle \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right))][3] | ||||
| 높이 | [math(\dfrac{\sqrt{6}}{3} a)] | ||||
| 반지름 | 외접구 | [math(\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4} a)] | |||
| 중접구 | [math(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4} a)] | ||||
| 내접구 | [math(\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{12} a)] | ||||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px);" {{{#!folding 구성요소 [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px" | 차원 | 형태 | 개수 | |||
| 0 | 점(V) | 4 | ||||
| 1 | 모서리(E) | 6 | ||||
| 2 | 면(F) | {3} (정삼각형) | 4 | |||
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1. 개요
正四面體/Regular tetrahedron(복수는 -hedra)한 개의 꼭짓점에 세 개의 정삼각형이 만나고, 총 네 개의 정삼각형으로 이루어진 정다면체.
2. 꼭짓점 좌표
한 변이 [math(a)]인 정사면체에 대해,- 반정다면체로서의 정사면체
[math(\displaystyle \left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\right))] 중, 모든 부호의 곱이 같은 4개의 꼭짓점[4] - 중심이 원점에 있고, 한 꼭짓점이 z축을 향하는 정사면체
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p}_1&= \left(0,0,\frac{\sqrt{6}}{4}\right) \\ \mathbf{p}_2&= \left(\frac{\sqrt{3}}{3},0,-\frac{\sqrt{6}}{12}\right) \\ \mathbf{p}_3&= \left(-\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{6}}{12}\right) \\ \mathbf{p}_4&= \left(-\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{6}}{12}\right) \end{aligned})]
3. 다른 도형들과의 관계
- 쌍대(dual)[5]: 정사면체 (자기 쌍대)[6]
- 정다면체 순환
- 임계 절단(rectification), 정사면체 → 정팔면체
정사면체의 꼭짓점에서 모서리들의 절반 지점에 있는 점들을 이은 4개의 면들로 잘라내면 정팔면체가 만들어진다. - 반감(halvation), 정육면체 → 정사면체
정육면체의 8개 꼭지점 중에서 서로 이웃하지 않은 4개의 꼭짓점을 이은 선분으로 이루어진 도형(절반화, halvation)은 정사면체이다. - 정사면체를 단위로 해서 만들 수 있는 4차원 도형로 정오포체, 정십육포체, 정육백포체가 있다.
4. 실생활 예시
[Cox] 콕서터(Coxeter) 표기법[Scn] 숀플리스(Schönflies) 표기법[3] ≈ 70.53°[4] 모든 부호의 곱이 양수일 경우, 1, 3, 6, 8 팔분공간에 꼭짓점이 존재하는 정사면체가, 모든 부호의 곱이 음수일 경우 2, 4, 5, 7 팔분공간에 꼭짓점이 존재하는 정사면체가 된다. 이 두 정사면체를 서로 겹친 것이 '별모양 팔면체'(stellated octahedron, 또는 stella octangula)다.[5] 어떤 다면체의 꼭짓점을 면으로, 면을 꼭짓점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.[6] 정사면체 뿐만 아니라 모든 다각뿔의 쌍대 다면체 또한 자기 자신이다.