특수각

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1. 개요2. 03. [math(\displaystyle {\pi \over 6})] (30°)4. [math(\displaystyle {\pi \over 4})] (45°)5. [math(\displaystyle {\pi \over 3})] (60°)6. [math(\displaystyle {\pi \over 2})] (90°, 직각)7. [math(\displaystyle {2\pi \over 3})] (120°)8. [math(\displaystyle {3\pi \over 4})] (135°)9. [math(\displaystyle {5\pi \over 6})] (150°)10. [math(displaystyle {pi})] (180°, 평각)11. [math(\displaystyle {3 \pi \over 2})] (270°)12. [math(displaystyle 2 pi)] (360°)13. 작도 가능한 각도14. 허수 단위 [math({i})]15. 관련 문서

1. 개요

特殊角 / special angle

각 중에서 특히 중요성이 높은 각의 값을 모아 놓은 문서이다. 일반적인 각과는 달리 특정한 수치로 맞아떨어진다는 특징이 있으며, 삼각형 관련 문제 및 미적분을 풀 때 특수각을 외워놔야 하는 상황이 적지 않다.

크게 [math([0,\,2\pi])](단 [math(\pi)]는 원주율)를 주치로 하는 범위 내의 실수 각과 허수 각을 다루며, 특수각의 삼각함수 값도 서술한다.

파일:external/upload.wikimedia.org/720px-Unit_circle_angles.svg.png

[math(\displaystyle \sin{\theta} = \pm {\sqrt{n} \over 2} , (n = 0, 1, 2, 3, 4) )]이 성립하는 각, 나머지는 유도 가능.

2. 0

말 그대로 각도가 0이다. 한 각이 0인 삼각형은 없으므로 0에 해당하는 삼각비는 우극한이 존재하나, 삼각함수값은 존재한다.

[math(\displaystyle \sin 0 = 0)]
[math(\displaystyle \cos 0 = 1)]
[math(\displaystyle \tan 0 = 0)]
[math(\displaystyle \csc 0)]은 정의되지 않는다. [math((\displaystyle \frac{1}{0}))]
[math(\displaystyle \sec 0 = 1)]
[math(\displaystyle \cot 0)]은 정의되지 않는다. [math((\displaystyle \frac{1}{0}))]

3. [math(\displaystyle {\pi \over 6})] (30°)

정삼각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다.

[math(\displaystyle \sin {\pi \over 6} = {1 \over 2})]
[math(\displaystyle \cos {\pi \over 6} = {\sqrt{3} \over 2})]
[math(\displaystyle \tan {\pi \over 6} = {1 \over \sqrt{3}})]
[math(\displaystyle \csc {\pi \over 6} = 2)]
[math(\displaystyle \sec {\pi \over 6} = {2 \over \sqrt{3}})]
[math(\displaystyle \cot {\pi \over 6} = \sqrt{3})]

4. [math(\displaystyle {\pi \over 4})] (45°)

정사각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다. 뭔가를 쳐서 날릴 때 가장 멀리 가는 각이기도 하다.[1][2]

[math(\displaystyle \sin {\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}})]
[math(\displaystyle \cos {\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}})]
[math(\displaystyle \tan {\pi \over 4} = 1)]
[math(\displaystyle \csc {\pi \over 4} = \sqrt{2})]
[math(\displaystyle \sec {\pi \over 4} = \sqrt{2})]
[math(\displaystyle \cot {\pi \over 4} = 1)]

5. [math(\displaystyle {\pi \over 3})] (60°)

정삼각형의 한 내각의 크기다.

[math(\displaystyle \sin {\pi \over 3} = {\sqrt{3} \over 2})]
[math(\displaystyle \cos {\pi \over 3} = {1 \over 2})]
[math(\displaystyle \tan {\pi \over 3} = \sqrt{3})]
[math(\displaystyle \csc {\pi \over 3} = {2 \over \sqrt{3}})]
[math(\displaystyle \sec {\pi \over 3} = 2)]
[math(\displaystyle \cot {\pi \over 3} = {1 \over \sqrt{3}})]

6. [math(\displaystyle {\pi \over 2})] (90°, 직각)

right angle · 直角

가장 유명하면서도 중요성이 높은 특수각으로, 다름 아닌 직각삼각형과 직사각형을 정의하기 위한 각이다. 원의 중심과 접선이 이루는 각도 이 각이며, 수심도 이것으로 정의된다.
삼각함수의 정의도 이 각을 끼고 있는 삼각형의 변의 비율에서 출발했다. 삼각형과는 상관없는 미적분에서 더 많이 쓰여서 그렇지...

[math(\displaystyle \sin {\pi \over 2} = 1)]
[math(\displaystyle \cos {\pi \over 2} = 0)]
[math(\displaystyle \tan {\pi \over 2})]는 정의되지 않는다.[math((\displaystyle \frac{1}{0}))]
[math(\displaystyle \csc {\pi \over 2} = 1)]
[math(\displaystyle \sec {\pi \over 2})]는 정의되지 않는다. [math((\displaystyle \frac{1}{0}))]
[math(\displaystyle \cot {\pi \over 2} = 0)]

7. [math(\displaystyle {2\pi \over 3})] (120°)

정삼각형 두 개로 평행사변형을 만들면 생기는 각이다. 정육각형의 한 내각의 크기이기도 하다.
라그랑주점을 논할 때 가장 중요하게 여기는 각도이기도 하다.

[math(\displaystyle \sin {2\pi \over 3} = {\sqrt{3} \over 2})]
[math(\displaystyle \cos {2\pi \over 3} = -{1 \over 2})]
[math(\displaystyle \tan {2\pi \over 3} = -\sqrt{3})]
[math(\displaystyle \csc {2\pi \over 3} = {2 \over \sqrt{3}})]
[math(\displaystyle \sec {2\pi \over 3} = -2)]
[math(\displaystyle \cot {2\pi \over 3} = -{1 \over \sqrt{3}})]

8. [math(\displaystyle {3\pi \over 4})] (135°)

정사각형과 그 절반의 직각삼각형을 합쳐 놓은 각이다.
정팔각형의 한 내각의 크기이기도 하다.

[math(\displaystyle \sin {3\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}})]
[math(\displaystyle \cos {3\pi \over 4} = -{1 \over \sqrt{2}})]
[math(\displaystyle \tan {3\pi \over 4} = -1)]
[math(\displaystyle \csc {3\pi \over 4} = \sqrt{2})]
[math(\displaystyle \sec {3\pi \over 4} = -\sqrt{2})]
[math(\displaystyle \cot {3\pi \over 4} = -1)]

9. [math(\displaystyle {5\pi \over 6})] (150°)

정사각형과 정삼각형의 모서리를 붙이면 나오는 각이다.

[math(\displaystyle \sin {5\pi \over 6} = {1 \over 2})]
[math(\displaystyle \cos {5\pi \over 6} = -{\sqrt{3} \over 2})]
[math(\displaystyle \tan {5\pi \over 6} = -{1 \over \sqrt{3}})]
[math(\displaystyle \csc {5\pi \over 6} = 2)]
[math(\displaystyle \sec {5\pi \over 6} = -{2 \over \sqrt{3}})]
[math(\displaystyle \cot {5\pi \over 6} = -\sqrt{3})]

10. [math(displaystyle {pi})] (180°, 평각)

관련 문서: 원주율
straight angle · 平角

평면도형의 모서리가 띠는 각도. 평평하다고 해서 평각이라고도 하며, 관용적으로 "완전히 반대되는 것"을 가리키는 말로도 쓰인다.
주치 구간의 절반 지점이며, 다름아닌 오일러의 등식에 이 각이 들어간다.

[math(\displaystyle \sin {\pi} = 0)]
[math(\displaystyle \cos {\pi} = -1)]
[math(\displaystyle \tan {\pi} = 0)]
[math(\displaystyle \csc {\pi})]는 정의되지 않는다. [math((\displaystyle \frac{1}{0}))]
[math(\displaystyle \sec {\pi} = -1)]
[math(\displaystyle \cot {\pi})]는 정의되지 않는다. [math((\displaystyle \frac{1}{0}))]

11. [math(\displaystyle {3 \pi \over 2})] (270°)

직사각형의 바깥쪽 각이다.

[math(\displaystyle \sin {3\pi \over 2} = -1)]
[math(\displaystyle \cos {3\pi \over 2} = 0)]
[math(\displaystyle \tan {3\pi \over 2})]는 정의되지 않는다. [math((\displaystyle \frac{-1}{0}))]
[math(\displaystyle \csc {3\pi \over 2} = -1)]
[math(\displaystyle \sec {3\pi \over 2})]는 정의되지 않는다. [math((\displaystyle \frac{1}{0}))]
[math(\displaystyle \cot {3\pi \over 2} = 0)]

12. [math(displaystyle 2 pi)] (360°)

관련 문서: 타우(수학)
한 바퀴 돌아 원점으로 돌아왔다. 여기서 주치(周値)라는 말이 생겼으며, 주치 밖의 값은 [math(2 \pi)]로 나눈 나머지와 같은 각도로 취급하게 된다.

[math(\displaystyle \sin 2 \pi = 0)]
[math(\displaystyle \cos 2 \pi = 1)]
[math(\displaystyle \tan 2 \pi = 0)]
[math(\displaystyle \csc 2 \pi)]는 정의되지 않는다. [math((\displaystyle \frac{1}{0}))]
[math(\displaystyle \sec 2 \pi = 1)]
[math(\displaystyle \cot 2 \pi)]는 정의되지 않는다. [math((\displaystyle \frac{1}{0}))]

13. 작도 가능한 각도

정삼각형, 직각이등변삼각형을 이용하여 30°, 60°, 45°가 작도 가능하다는 데서부터 시작한다.

15°: 45°와 30°가 작도가 가능하므로, 이 둘의 차이를 이용하면 15°도 작도 가능하다. 경우에 따라서는 15°, 75°도 특수각 범주에 넣기도 한다.

[math(\displaystyle \sin {\pi \over 12} = \cos {5\pi \over 12} = {\sqrt{6} - \sqrt{2}\over 4})]
[math(\displaystyle \cos {\pi \over 12} = \sin {5\pi \over 12}= {\sqrt{6} + \sqrt{2}\over 4})]

72°: 정오각형은 작도가 가능하다. 그러므로 360°/5 = 72°는 작도 가능하다. 이걸 이용해 18°, 36°, 54° 또한 가능.[3]

[math(\displaystyle \sin {\pi \over 10} = \cos {2\pi \over 5} = {\sqrt{5} - 1\over 4} = {1 \over 2\varphi})]
[math(\displaystyle \sin {\pi \over 5} = \cos {3\pi \over 10}= {\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}\over 4} = {\sqrt{3-\varphi} \over 2})]
[math(\displaystyle \sin {3\pi \over 10} = \cos {\pi \over 5} = {\sqrt{5} + 1\over 4} = {\varphi \over 2})]
[math(\displaystyle \sin {2\pi \over 5} = \cos {\pi \over 10}= {\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}\over 4} = {\sqrt{2+\varphi} \over 2})]

3°: 72°와 60°가 작도 가능하므로, 12° 역시 작도 가능하다. 이를 각의 이등분을 이용해서 6°를 작도 가능하고, 다시 이등분 하면 3° 역시 작도 가능하다. 간단히는 72°와 75°를 작도해도 된다. 다시 말해 3°의 배수에 해당되는 각은 모두 작도 가능하다.

1.5°, 0.75° , 0.375° ... : 3°를 계속 이등분하여 나오는 각들은 모두 작도 가능하다. 또한 이 각들의 정수배들 역시 모두 작도 가능하다.

[math(\displaystyle \frac {2 \pi}{17}= \frac{360\degree}{17})] (약 21.1764705882°) : 정17각형이 작도 가능하므로, 이 각 역시 작도 가능하다. 참고로, 페르마 소수에 해당하는 정다각형과 그의 2ⁿ배수(이하 동일) 정다각형은 모두 작도 가능하다. 즉, 정257각형과 정65537각형도 작도 가능하며, 이로 부터 유래되는 각도도 작도 가능하다. 또 서로 다른 페르마 소수와의 곱에 해당하는 정다각형[4]도 작도 가능하다. 단, 같은 페르마 소수끼리 곱해서 나온 정다각형[5]은 작도 불가능하다. 이들은 유클리드 작도일때 얘기이며 종이접기나 뉴시스 작도로 범위를 넓히면 7, 9, 11, 13, 17, 19각형 등도 작도 가능하다. 다만 종이접기나 뉴시스 작도로도 23각형 등 작도가 불가능한 경우도 있다. 다만 유클리드, 종이접기, 뉴시스 작도가 불가능하더라도 Root of unity에 따라서 모든 다각형은 거듭제곱근의 꼴로 나타낼 수는 있다.

14. 허수 단위 [math({i})]

복소삼각함수를 이용해 허수 각을 생각해 볼 수도 있다. 허수를 취한 삼각함수는 쌍곡선 함수로 나타낼 수 있다. 아래 항등식에서 [math(e)]는 자연로그의 밑이다.

[math(\displaystyle \sin{ i } = i\sinh{ 1 } = \frac{ e - e^{ -1 } }{ 2 } i = \frac{ e^2 - 1 }{ 2e } i)]
[math(\displaystyle \cos{ i } = \cosh{ 1 } = \frac{ e + e^{ -1 } }{ 2 } = \frac{ e^2 + 1 }{ 2e })]
[math(\displaystyle \tan{ i } = {i \sinh{ 1 } \over \cosh{ 1 }} = \frac{ e^2 - 1 }{ e^2 + 1 }i)]
[math(\displaystyle \csc{ i } = {1 \over i\sinh{ 1 }} = -\frac{ 2 }{ e - e^{ -1 } } i = -\frac{ 2e }{ e^2 - 1 } i)]
[math(\displaystyle \sec{ i } = {1 \over \cosh{ 1 }} = \frac{ 2 }{ e + e^{ -1 } } = \frac{ 2e }{ e^2 + 1 })]
[math(\displaystyle \cot{ i } = {\cosh{ 1 } \over i \sinh{ 1 }} = -\frac{ e^2 + 1 }{ e^2 - 1 }i)]

15. 관련 문서

삼각함수
환원 불능 - 특수각이 아닌 각인 경우 각 혹은 삼각함수의 값이 환원 불능이다.

[1] 중력장 내부에 있는 어떤 입자를 비스듬하게 연직 위로 쏘아올려 포물선 운동을 하게 했을 때 초기속력을 [math(v_0)], 발사각을 [math(\theta)], 중력가속도를 [math(g)], 입자의 최대 수평도달거리를 [math(R)]이라 하면 [math(R=\dfrac{{v_0}^{2} \, {\sin2\theta}}{g})]이다. [math(0\degree<\theta<90\degree)]일 때 [math(0<\sin2\theta\le1)]이고 [math(\sin2\theta=1)]이 되도록 하는 [math(2\theta=90\degree)]이므로 [math(\theta=45\degree)]이다.[2] 공기 저항이 있는 현실에서는 [math(π/4)]보다 낮게 던져야 더 멀리 날아가며 대부분 30-45도 사이로 던져야한다.[3] 아래 식에서 [math(\varphi)]는 황금비이다.[4] 정15(=3×5)각형, 정408(=2³×3×17)각형, 정8224(=2⁵×257)각형 등등[5] 정27(=3³)각형, 정225(=3²×5²)각형, 정1156(=2²×17²)각형 등등

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