1. 개요
irrational equation · 無理方程式미지수가 근호에 있는 방정식.
2. 형태
무리방정식은 아래의 꼴로 나타낼 수 있다.[math(\displaystyle \sum_{j} a_{j}\sqrt{f_{j}(x)}+\sum_{k}b_{k}g_{k}(x)+c= 0 )]
이때, [math(a_{j})], [math(b_{k})], [math(c)]는 상수이며, [math(f_{j}(x))]와 [math(g_{k}(x))]는 [math(x)]에 대한 임의의 다항식들이다. [math(g_{k}(x))]에 적절한 상수가 있다면 [math(c)]를 생략하여도 되나, 상수가 포함될 수 있다는 것을 명시적으로 표현하기 위해 위와 같이 표현하였다.
물론 제곱근 뿐만 아니라 거듭제곱근이 포함될 수도 있기 때문에 좀 더 일반화된 무리방정식의 꼴은 위의 형태에서 제곱근 대신 유리수 지수를 [math(f_{j}(x))]에 가한 형태이다.
3. 해법
무리방정식은 여러 가지 해법이 있다. 다만, 공통적으로 제곱근이 포함되지 않은 항들을 제곱근이 포함된 항들의 반대 변으로 옮긴 뒤, 양변을 제곱하여 근호를 없앤다는 것이 핵심이다.하지만 위의 방법을 바로 적용할 수 있는 것은 위 식에서 [math(j)]가 최대 2일 때, 즉 제곱근이 포함된 항의 개수가 2 이하일 때이다. 서로 다른 제곱근 항이 세 개 있을 경우 제곱을 하여도 제곱근 항의 개수가 줄어들지 않고, 네 개부터는 제곱을 하면 처리해야할 제곱근의 개수가 증가하기 때문.
제곱근이 아닌 [math(n)]거듭제곱근이나 유리수 지수([math(m/n)])의 경우 양변을 [math(n)]제곱하면 없앨 수 있지만, 이 경우 제곱근이 포함된 항은 한개만 있어야 한다. 나아가 필요한 [math(n)]이 각 항마다, 즉 [math(j)]마다 다르다면 답이 없다.
물론 아주 특별한 경우 거듭제곱근의 숫자가 이상하거나 항의 개수가 많아도 풀 수 있긴 하나 여러 테크닉을 요구하며, 보통은 컴퓨터로 푼다.
4. 기하학적 의미
모든 방정식은 [math(f(x)=0)] 꼴로 만들 수 있고, 이는 [math(y=f(x))]의 그래프와 [math(x)]축과 만나는 교점의 [math(x)]좌표가 결국 방정식의 해가 된다.5. 무연근
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[무연근#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[무연근#|]][[무연근#|]] 부분을무리방정식은 근호 안을 음으로 만드는 무연근이 있을 수 있다. 적절한 연산을 통해 다항방정식으로 변환하여 해를 구하더라도 그 해는 변환된 다항방정식의 해지 무리방정식의 해여야 한다는 보장은 없기 때문. 따라서 변환된 다항방정식의 해 중 [math(f_j(x) \geq 0)]을 만족하는 해만이 풀고자 하는 무리방정식의 해이며, 그 외의 해가 무연근인 것.
홀수제곱근의 경우 내부의 함수가 양수여야 한다는 조건이 없으므로 무연근이 없다.