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방정식/풀이/활용문제

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1. 방정식 문제
1.1. 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기1.2. 치환을 이용한 방정식의 풀이1.3. 이차방정식의 판별식을 이용하여 미정계수의 값 또는 범위 구하기1.4. 활용문제
1.4.1. 일차방정식1.4.2. 이차방정식1.4.3. 고차방정식 1.4.4. 연립방정식
1.4.4.1. 연립일차방정식1.4.4.2. 연립이차방정식
1.4.5. 부정방정식1.4.6. 미분방정식

1. 방정식 문제

1.1. 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기

방정식에서 근이 주어졌을 경우 주어진 근을 대입하여 미지수에 대한 새로운 방정식을 세우고 그것을 풀기만 하면 된다. 단, 이차 이상의 방정식의 경우 최고차항의 계수가 0이 되도록 하는 미지수의 값을 제거해야 하는 경우가 있으니 주의.

1.2. 치환을 이용한 방정식의 풀이

이차 이상의 방정식만 해당. 공통부분을 치환하여 푼다. 이때 (치환한 부분)=(치환한 미지수의 값)을 한 번 더 풀어야 하는 경우가 있으니 주의하자. 선형 변환은 이 치환을 일반화한 개념이다.

참고로 군론에서의 치환과는 다른 개념이다.

1.3. 이차방정식의 판별식을 이용하여 미정계수의 값 또는 범위 구하기

이차 이상의 방정식만 해당. 이차방정식에서 [math(D>0)]이면 서로 다른 두 실근을 가지고, [math(D=0)]이면 중근을 가지고, [math(D<0)]이면 서로 다른 두 허근을 가진다[1]는 성질을 이용하여 미정계수의 값 또는 범위를 구하는 문제가 출제된다. 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지면 부등식 [math(D>0)]을 풀고, 중근을 가지면 방정식 [math(D=0)]을 풀고, 서로 다른 두 허근을 가지면 부등식 [math(D<0)]을 풀어 미정계수의 값 또는 범위를 구하면 된다. 고차방정식의 근의 조건에서도 이를 이용한 문제가 등장하는데, 인수분해하여 나온 이차방정식에서 판별식 D를 이용하면 된다. 어렵지 않은 유형이기 때문에 시험에서는 배점이 4점으로 높지 않은 편이다.

1.4. 활용문제

1.4.1. 일차방정식

도형, 농도, 증가/감소, 원가/정가, 거리/속력/시간 등 여러 가지 유형이 많이 등장한다. 일차방정식은 실생활에서도 매우 많이 사용하는 영역이기 때문이다. 풀이 자체는 간단하지만 식을 세우는 과정이 쉽지 않다. 이로 인해 많은 학생들이 힘들어하는 부분이기도 하다. 아래의 문제는 오답률 80%의 킬러문제이다.
[예제]
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파일:2018년 고1 3월 모의고사 수학.png
2018년 고1 3월 모의고사 30번

[풀이]
M=a'*103+b'*102+6*10+c'라고 하자. M=3(K+2)이고 M과 3(K+2) 모두 네 자리 수이므로 a<a'이어야 한다. 이것이 가능한 건 a=2, a'=8뿐이다. 이제 두 수의 차 M-K에 집중하자.[2] K ≤ 2888 < 2900이므로 M-K = 2K+6 < 5806이다. 그러나 b≤b'라면 자릿수에서 M-K ≥ 6000 - 22 = 5978이므로 성립하지 않는다. 따라서 b>b'이고 이것이 가능한 것은 b=8, b'=6뿐이다. 이제 c만 남았다. K와 M의 일의 자리 숫자를 비교하면 c = 7만 가능함을 쉽게 알 수 있다. 따라서 a+b+c=2+8+7=17이다.

1.4.2. 이차방정식

도형이 주를 이루며, 농도, 증가/감소, 원가/정가는 잘 등장하지 않고 시험에는 출제되더라도 도형에의 활용에 비해 어렵지 않게 출제되는 편이다.[3] 실생활에서는 이차방정식을 그리 많이 사용하지 않기 때문이다. 풀이 자체는 조금 복잡하지만 식을 세우는 과정은 어렵지 않다.
[예제]
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파일:2019년 고1 3월 모의고사 수학.png
2019년 고1 3월 모의고사 18번 [4]

1.4.3. 고차방정식

거의 도형이다. 풀이 자체는 복잡하지만 식을 세우는 과정은 어렵지 않다. 참고로 고차방정식부터는 활용문제가 잘 등장하지는 않으며 시험에는 출제되더라도 쉽게 출제되는 경우가 많다. 다만, 아래의 문제처럼 매우 어렵게 출제되는 경우도 간혹 있으니 방심은 금물. 참고로 아래의 문제는 오답률 90%의 킬러문제이다.
[예제]
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파일:2021년 고1 11월 모의고사 수학.png
2021년 고1 11월 모의고사 29번[5]

1.4.4. 연립방정식

1.4.4.1. 연립일차방정식
도형, 농도, 증가/감소, 원가/정가, 거리/속력/시간 등 여러 가지 유형이 많이 등장한다. 풀이 자체는 간단하지만 식을 설계하는 과정이 어렵고 설계 과정이야말로 연립방정식 풀이의 꽃, 즉 알파이자 오메가라고 할 수 있다.[6] 이로 인해 많은 학생들이 힘들어하는 부분이기도 하다.[7] 대학교 과정의 경우 행렬과도 연관이 있다.
[예제]
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파일:2017년 고1 3월 모의고사 수학.png
2017년 고1 3월 모의고사 25번
[풀이]
직사각형이므로 2a=3b···㉠
4a+5b=88···㉡
㉠, ㉡에 의해 a=12, b=8
a+b=20

1.4.4.2. 연립이차방정식
거의 도형이다. 풀이 자체는 복잡하지만 식을 세우는 과정은 어렵지 않다. 참고로 이차 이상의 연립방정식부터는 활용문제가 잘 등장하지는 않으며 시험에는 출제되더라도 쉽게 출제되는 경우가 많다. 다만, 아래의 문제처럼 어렵게 출제되는 경우도 간혹 있으니 방심은 금물. 참고로 아래의 문제는 오답률 75%의 준킬러문제이다.
[예제]
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파일:2017년 고1 11월 모의고사 수학.png
2017년 고1 11월 모의고사 27번[8]

1.4.5. 부정방정식

부정방정식이 쓰이는 대표적인 분야로 암호학이 있다. 무지막지하게 큰 수[9]를 다루는데, 여기에 부정방정식 관련 이론을 써먹는 식이다.

1.4.6. 미분방정식

아이작 뉴턴이 고전역학을 수식으로 정립했기 때문에, 미분방정식을 모르면 아예 역학 자체에 발을 들여놓기 어렵다.

[1] 중3 과정에서는 허수를 다루지 않으므로 근을 가지지 않는다고 배운다.[2] 2를 8로 바꾸고 8을 6으로 바꾸는 것 외에는 자릿수 변화가 없는데, 자릿수 변화가 없으면 차이가 0이 되기 때문에 집중하는 것이다.[3] 도형에의 활용은 문제를 어렵게 내면 매우 어렵다.[4] 답 : 5[5] 답 : 164[6] 연립방정식 계산 작업은 아무리 복잡하더라도 MATLAB 등 컴퓨터 소프트웨어들이 인간의 뇌보다 월등히 고성능으로 처리해주는 방식으로 자동화된 반면, 구체적인 조건 및 필요한 값(물리량, 금액 등)으로부터 추상화된 식을 도출해내는 설계 작업은 여전히 인간의 뇌에 의존한다. 이에 따라 앞으로 계산놀음만 할 줄 아는 수동적 인재는 점점 설 자리를 잃어갈 것이다.[7] 아무래도 미지수(필요한 값)가 2개 이상이고 식(조건)도 2개 이상이기 때문에 일차방정식의 활용보다 더 어려운 듯하다. 참고로 미지수 개수와 식 개수가 일치해야 해가 한 순서쌍으로 결정된다.[8] 답 : 39[9] 가령 RSA-2048에 쓰이는 수는 617자리나 된다.

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