최근 수정 시각 : 2025-10-08 22:49:48
1. 개요2. 역사3. 정리4. 예시5. 기타6. 관련 문서
대수학에서 [math(n)]차 방정식에 대하여 적당한 변환을 하여 [math((n-1))]차항을 압축하여 소거할 수 있는 정리.
1683년, 취른하우스가 그의 논문에서 이를 제안하였다.
이후 이러한 방법은 카르다노 또는 페로 등에 의해서 사용된바 있다는 언급이 오일러의 1770년 저서 〈대수학원론〉에 나온다.
다음과 같은 [math(x)]에 관한 [math(n)]차 방정식을 고려하자. | [math(\displaystyle \begin{aligned} a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0 \end{aligned} )] |
이때, 다음과 같은 변환 | [math(\displaystyle \begin{aligned} x=y-\frac{a_{n-1}}{n a_{n}} \end{aligned} )] |
을 고려하면, 위 방정식에서 [math((n-1))]차항을 소거할 수 있다.
[math(x)]에 관한 이차방정식 | [math(\displaystyle \begin{aligned} ax^{2}+bx+c=0 \end{aligned} )] |
을 고려하자. 이때, 다음과 같은 변환 | [math(\displaystyle \begin{aligned} x=y-\frac{b}{2a} \end{aligned} )] |
을 고려해보자.
한편, 위에서 제시된 방정식은 다음과 같은 꼴로 다시 쓸 수 있다. | [math(\displaystyle \begin{aligned} x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \end{aligned} )] |
위의 변환식을 대입하면, | [math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl(y-\frac{b}{2a} \biggr)^{2}+\frac{b}{a} \biggl(y-\frac{b}{2a} \biggr)+\frac{c}{a}=0 \end{aligned} )] |
좌변을 정리하면, | [math(\displaystyle \begin{aligned} &\biggl(y-\frac{b}{2a} \biggr)^{2}+\frac{b}{a} \biggl(y-\frac{b}{2a} \biggr)+\frac{c}{a} \\ &=y^{2}-\frac{b}{a}y+\frac{b^{2}}{4a^2}+\frac{b}{a}y-\frac{b^{2}}{2a^2}+\frac{c}{a} \\ &=y^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2} \end{aligned} )] |
이므로 이상의 방정식은 다음과 같이 변환되었다. | [math(\displaystyle \begin{aligned} y^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0 \end{aligned} )] |
즉, 1차항이 소거된 것이다.
이 방정식은 원래의 방정식보다 다루기 쉽다. 해는 바로 | [math(\displaystyle \begin{aligned} y=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned} )] |
이며, 원래의 변환식을 고려하면, | [math(\displaystyle \begin{aligned} x=y-\frac{b}{2a} \end{aligned} )] |
이므로 | [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned} )] |
이차방정식의 근의 공식이 나오게 된다.
삼차방정식과 사차방정식의 근의 공식 유도에서도 이 정리가 쓰이게 된다.
6. 관련 문서