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1. 개요
방정식의 풀이법에 대한 문서다.2. 일원방정식
2.1. 일차방정식
[math( ax + b = 0 )]의 꼴로 정리한 뒤 [math(\displaystyle x = -{b \over a} )]로 나타낼 수 있다. 일차방정식의 정의에 의해 [math( a \neq 0 )]이기 때문이다. 중학교 시험에 출제되는 게 이 부분.[1]하지만 고등학교에 올라와서 배우는 일차방정식은 다르다. 형식상만 일차방정식일 뿐 [math( a=0 )]인 경우도 존재한다. 이럴 때는 [math( a )]로 (0으로) 나눌 수 없으므로 다음과 같이 [math( b \neq 0 )]인 경우와 [math( b=0 )]인 경우로 나누어 생각한다.
- [math( a=0 )], [math( b \neq 0 )]인 경우: 이를테면 [math( 0 x = 2 )]의 꼴이므로 [math( x )]에 어떤 값을 대입해도 성립하지 않는다. 따라서 해는 없고, 이를 간단히 불능(不能)(가능하지 않음)이라고 한다.
- [math( a=0 )], [math( b=0 )]인 경우: [math( 0 x = 0 )]의 꼴이므로 [math( x )]에 어떤 값을 대입해도 항상 성립한다. 따라서 가능한 [math( x )]는 수 전체이고, 이를 간단히 부정(不定)(정해지지 않음) 혹은 항등식이라고 한다. 이런 방정식을 부정방정식이라고도 한다. [2]
참고로 [math( a \neq 0 )], [math( b=0 )]인 경우 이를테면 [math( 2 x = 0 )]의 해는 [math( x=0 )], 단 하나 존재한다. 따라서 [math( a \neq 0 )]일 때는 [math( b \neq 0 )]이든 [math( b=0 )]이든 관계없이 [math(\displaystyle x = -{b \over a} )]이다. 이것이 중학교에서 했던 부분이다.
중ㆍ고등학교 때 배운 일차방정식의 내용을 다원일차연립방정식으로 확장, 일반화시켜 배우는 것이 선형대수학이다. a와 b가 정수라면 정수 혹은 유리수의 근이 나온다.
2.1.1. 절댓값을 포함한 일차방정식
일차방정식이 절댓값 기호를 포함하는 경우도 있다. [math(ax=b)] 풀이처럼 고1 때 시험문제로 자주 나온다.[3] 절댓값 기호를 포함한 방정식은 중학교 1학년 때 배운[math(\left|A\right|=\begin{cases}A & \phantom{\cdots}A\ge0\\-A & \phantom{\cdots}A<0\end{cases})]을 이용하여 절댓값 기호를 없애는 것이 문제 해결의 핵심이다. 일반적으로 절댓값 기호를 포함한 방정식은 다음과 같은 순서로 푼다.
- 절댓값 기호 안의 식의 값이 [math(0)]이 되는 [math( x )]의 값을 경계로 하여 [math( x )]의 값의 범위를 나눈다.
- 각 범위에서 절댓값 기호를 없앤 후 식을 정리하여 [math( x )]의 값을 구한다.
- 위에서 구한 [math( x )]의 값 중 해당 범위에 속하는 것만 주어진 방정식의 해이다.
- 드물게 제곱근을 씌워놓고 출제하는 교사들도 있다. 중학교 3학년 때 배운 제곱근과 절댓값의 관계를 아는지 모르는지를 시험하기 위해서이다.
2.2. 이차방정식
중3 수학 교육과정에서 처음으로 배운다.이차방정식의 일반식을 이항해서 정리하는 방법으로 도출한다. 이걸 풀려면 앞에서 했던 제곱근, 곱셈 공식, 인수분해를 알고 풀어야 한다. 고1 올라가면 이차함수, 일차함수, 항등식이랑 연관지어 배운다. 거기다가 수의 범위도 넓어지는데 [math(a)]와 [math(b)]와 [math(c)]가 상수라면 정수, 유리수, 실수 혹은 복소수의 근이 나온다.[4]
좌변에 미지수와 상수항을 내림차순으로 정리하고, 우변을 [math(0)]으로 놓아 [math( ax^2 + bx + c = 0 )]으로 정리한다. 이때, [math( a\ne 0)]이다. 이는 당연히 이차항이 사라지면 이차방정식의 의미가 사라지기 때문이다.
여기서부터 복소수가 나올 수 있는데, 복소수를 허용한다는 조항이 없다면 [math( \Im(x) =0 \Leftrightarrow x^2 \geq 0 )]이라는 조건이 붙는다.
- 정수 또는 간단한 유리수 범위 안에서 인수분해되는 꼴일 경우 [math( a \left(x - \alpha\right) \left(x - \beta\right) = 0 )]의 형태로 정리한다. 이때의 근은 [math(\alpha)] 혹은 [math( \beta)]. 즉 근이 2개 존재할 수 있게 되는 것. [math(\alpha )] 혹은 [math(\beta )]가 근인 이유는 실수가 체를 이루고 0이 덧셈에 대한 항등원이기 때문에 [math( AB=0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0)]이기 때문이다.
- 정수 또는 간단한 유리수 범위 안에서 인수분해되지 않는 꼴도 있다. 그럴 경우 근의 공식 [math(\displaystyle x = {-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac} \over 2a} )]에 대입시키면 된다. 즉 근이 2개.
근의 공식은 다음과 같이 유도한다.
상수항을 우변으로 이항하고, 양변을 [math(a)]로 나눈다.
[math( x^{2} + \dfrac{b}{a}x = -\dfrac{c}{a} )]좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해 양변에 [math(\left ( \dfrac{b}{2a} \right )^{2})]를 더한다.
[math(\displaystyle x^{2} + \frac{b}{a}x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} = -\frac{c}{a} + \left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} )]
좌변을 완전제곱식으로 만들고, 우변을 정리한다.
[math(\displaystyle \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^{2} = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}} )]
제곱근을 구한다.
[math(\displaystyle x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} )]
마지막으로 좌변의 [math(\dfrac{b}{2a})]를 우변으로 이항하면 근의 공식이 나온다.
[math(\displaystyle \therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} )]||
- 다음과 같이 유도하기도 한다.
양변을 [math(a)]로 나눈다.
[math( x^{2} + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}=0 )]좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해 좌변에 [math(\left ( \dfrac{b}{2a} \right )^{2})]을 더하고 뺀다.
[math( x^{2} + \dfrac{b}{a}x + \left ( \dfrac{b}{2a} \right )^{2} -\left ( \dfrac{b}{2a} \right )^{2} + \dfrac{c}{a}=0 )]
완전제곱식을 만들기 위하여 뺀 [math(\left ( \dfrac{b}{2a} \right )^{2})]과 상수항 [math(\dfrac{c}{a})]을 이항하고, 좌변을 인수분해한 후, 우변을 통분하여 표기한다.
[math(\displaystyle \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^{2} = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}} )]
양변에 자승근을 한다.
[math(\displaystyle x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} )]
마지막으로 좌변의 [math(\dfrac{b}{2a})]를 우변으로 이항하면 근의 공식이 나온다.
[math(\displaystyle \therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} )]||
- 이차항의 계수가 1일 때, 즉 [math(x^2 + px + q = 0)]이면 PQ 공식을 사용할 수가 있다.
상수항을 우변으로 이항한다.
[math(x^2 + px = -q)]
완전제곱식으로 만들기 위해 양변에 [math(\left( \dfrac p 2 \right)^2)]를 더한다.
[math(x^2 + px + \left( \dfrac p 2 \right)^2 = -q + \left( \dfrac p 2 \right)^2)]
좌변을 완전제곱식으로 만들고 우변을 정리한다.
[math(\left( x + \dfrac p 2 \right)^2 = \left( \dfrac p 2 \right)^2 - q)]
제곱근을 구한다.
[math(x + \dfrac p 2 = \pm \sqrt{ \left( \dfrac p 2 \right)^2 - q })]
좌변의 [math(\dfrac p 2)]를 우변으로 이항하면 PQ 공식이 나온다.
[math(\therefore x = -\dfrac p 2 \pm \sqrt{ \left( \dfrac p 2 \right)^2 - q })]
- [math(b)]가 짝수인 경우[5] [math(b=2b')]로 치환해서 약분하면 [math(\displaystyle x = {- b' \pm \sqrt{{b'}^{2} -ac} \over a} )]가 나온다. 이것을 짝수 근의 공식[6][7][8]이라고 한다. 한마디로 근의 공식 어레인지 버전.
- 여기서 [math(D \triangleq b^2 - 4ac)][9] 라고 할 때, 이차방정식의 근을 직접 구하지 않고 근이 실근인지 허근인지를 판별하기 위해서는 이차방정식의 근 판별식이라는 게 있는데 이때 [math(D > 0)]이면 서로 다른 두 실근을 가지고 [math(D = 0)]이면 중근 하나만 가진다. 그리고 [math(D < 0)]이면 서로 다른 두 허근[10]을 가진다. 즉 두 근의 값이 허수라는 이야기다. 이차함수나 이차부등식을 배울 때도 아주 잘 쓰이는 것이니 잘 익혀두자. 참고로 판별식은 계수가 실수일 때만 사용할 수 있다. 계수가 허수인 경우에는[11] [math(D = 0)]일때는 허근인 중근, 0이 아닐 때는 서로 다른 두 근을 가지며, 적어도 하나의 허근을 가진다.
근의 판별식 [math(D = b^2 - 4ac)] [math(D > 0)] 서로 다른 두 실근 [math(D = 0)] 중근 [math(D < 0)] 서로 다른 두 허근
- 짝수 근의 공식이 존재하는 것처럼 짝수 판별식 [math(D' = D/4 = b'^2 - ac)]도 존재한다.[12][13]
- [math(ax^2 + bx + c = 0)]에서 [math(b)]가 실수이고, [math(a)]와 [math(c)]의 부호가 서로 다르면 반드시 서로 다른 두 실근을 가진다. [math(b^2 - 4ac)]에서 [math(a)]와 [math(c)]를 곱하면 음수가 되므로 [math(-4)]와 곱해서 양수가 되는 것을 통해 매우 쉽게 검증할 수 있다.
- 방정식을 [math(t^2=n)]꼴로 변형한 후 양변에 루트를 씌워주면 [math(t=\pm\sqrt{n})]이 되고 이렇게 나온 일차방정식을 두 번 풀어 근을 구할 수도 있다. 사실 이 방법이 이차방정식의 근의 공식을 유도하는 과정에서 쓰인다.
- 일차방정식처럼 절댓값ㆍ제곱근 씌워놓고 출제하는 교사들도 있다. 어떤 교사들은 가우스 기호까지 씌워서 내기도 한다.
- 근의 공식을 잘 외울 수 있도록 노랫가락에 붙여서 부르기도 하는데, 특히 산할아버지 곡에 붙이는 것이 유명하며 개그콘서트에서도 소개된 바가 있다. 방영분 보기
2.3. 삼차방정식
[math( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 )]으로 정리한 뒤 여러 가지 방법을 이용한다.- 인수분해가 되는 꼴일 경우 [math( a \left(x - \alpha\right) \left(x - \beta\right) \left(x - \gamma\right) = 0 )] 혹은 [math( a \left(x - \alpha\right) \left(x^2 + \beta x + \gamma\right) = 0 )]으로 정리한 뒤 근을 구한다. 일반적으로 삼차 이상의 방정식은 풀기가 쉽지 않지만 이차방정식의 인수분해를 이용하면 그 해를 구할 수 있다.
- 그 외의 경우 삼차방정식의 근의 공식을 이용한다. 이 공식은 S. 페로와 니콜로 폰타나가 발견했으나, 카르다노는 삼차방정식의 일반적인 해법을 완성하였다. 그 이름을 따와 카르다노의 공식이라고 불린다. 이에 대해서는 니콜로 폰타나, 지롤라모 카르다노 문서로.[math(\displaystyle-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{{-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}}\omega^{k}+\sqrt[3]{{-q-\sqrt{q^{2}+p^{3}}}}\omega^{2k})]([math(\displaystyle p:=\frac{c}{3a}-\frac{b^{2}}{9a^{2}})], [math(\displaystyle q:=\frac{d}{2a}+\frac{b^3}{27a^3}-\frac{cb}{6a^2})], [math(\omega)]는 [math(x^3=1)]의 원시근([math(\omega^2+\omega+1=0)][14])이다.)정수 [math(k)]의 값에 따라 세 가지 값이 나오는데, 각각이 세 근이다. [math(2p\equiv -p\pmod 3)]이고, [math(\omega^2=\bar{\omega})]이므로 [math(\omega^{2k})]제곱 대신 [math(\omega^{3-k})]나 [math(\omega^{-k})], [math(\bar{\omega}^{k})]로 표기하기도 한다.
다항식 챕터에서 인수분해 풀기 싫어서 공식 외우려는 고등학생은 그냥 인수분해 하는 걸 추천한다.[15] 수학과 교수도 (유도과정만 알면 충분히 구하므로) 안 외우는 식이다. 일부 용자들은 이거 외워서 3차 방정식을 풀기도 한다. 4차 방정식도 외우는 용자도 있다. 물론 세제곱근을 암산해야 한다는 게 함정(...) 게다가 식에 [math(\sqrt[3]{\phantom{\cdots}})]이 있기 때문에 종이랑 연필만으로는 답이 안 나오는 경우가 허다하다. 공학용 계산기쯤은 동원해야 되는데 공학용 계산기엔 이미 다항식 풀이 기능이 있다. 다만, Wolfram Alpha 사용자가 카르다노의 해법을 이용한 값을 입력하면 원래 근의 수치해와는 다른 값이 나오므로 주의해야 한다.[16]
유도 과정은 [math(x=y-\frac{b}{3a})]로 치환해 [math(x^2)]의 계수를 없앤 뒤, [math(a'y^3+c'y+d'=0)]로 정리하고, 여기에서 [math(y=u+v)]로 다시 치환해서 정리하면 [math(\left(3a'uv+c'\right)\left(u+v\right)+a'\left(u^3+v^3\right)+d'=0)]임을 이용, [math(3a'uv+c'=0)]과 [math(a'\left(u^3+v^3\right)+d'=0)]의 연립방정식을 통해 [math(u^3)], [math(v^3)]값을 찾아서 그걸로 [math(y)]값을 구하고 다시 [math(x)]값을 계산한다. 단, 이차항이 없는 방정식 같은 경우 이차항 없애는 과정 없이 바로 [math(y=u+v)]로 치환하는 과정부터 시작하면 된다.[17]
- 인수분해로 유도하는 방법도 있는데 [math((y+u+v)(y+\omega u+\omega^2 v)(y+\omega^2 u+\omega v)=y^3+u^3+v^3-3yuv=0)]을 이용하는 경우 [math(y+u+v=0)]으로 치환해서 [math(y=-u-v)]로 놓으며 [math(-u^3-v^3+d'=0)]로 d'를 u와 v에 관한 식으로 푼 후 [math(v=-\dfrac{c'}{3u})]로 u에 관해서 풀면 [math(u^6-d'u^3-\dfrac{c'^3}{27}=0)]로 u^3에 관해 이차방정식으로 풀면 나온다.
판별식을 분석하거나 y = 삼차식의 그래프를 그려봤을 때 분명 구한 세 근은 모두 실근인데, 카르다노의 해법으로 풀었을 때 두 켤레복소수의 세제곱근의 합으로 이루어져 있는 경우도 많다. 이런 경우를 환원 불능(casus irreducibilis)이라고 하며, 허수단위 [math(i)]를 없앤 상태로 표기할 수 없다.[18] 이 경우, 실수(real number)로만 표기하려면 뉴턴-랩슨 방법등을 사용하여 근사값을 구하는 방법 밖에는 없다.
* 만약 해가 정수/유리수라는 조건[19]이 걸려 있다면, 타원곡선을 이용하는 것이 빠르다. 풀이[20]
* 만약 해가 정수/유리수라는 조건[19]이 걸려 있다면, 타원곡선을 이용하는 것이 빠르다. 풀이[20]
- 다음은 삼차방정식 [math(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0(a \neq 0) )]의 근의 공식이다.
| [math(\displaystyle x_1 = -\frac{b}{3a} - \frac{1}{3a}A - \frac{1}{3a}B)] [math(\displaystyle x_2 = -\frac{b}{3a} + \frac{1+i\sqrt3}{6a}A + \frac{1-\sqrt3}{6a}B)] [math(\displaystyle x_3 = -\frac{b}{3a} + \frac{1-i\sqrt3}{6a}A + \frac{1+\sqrt3}{6a}B)] [math(\displaystyle A = \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left[ 2b^3 - 9abc + 27a^2d + \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4(b^2 - 3ac)^3} \right]})] [math(\displaystyle B = \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left[ 2b^3 - 9abc + 27a^2d - \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4(b^2 - 3ac)^3} \right]})] |
이를 간추리면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(P=b^2-3ac)]
[math(Q=2b^3-9abc+27a^2d)]
[math(x_1=-\dfrac{b}{3a}-\dfrac{\sqrt[3]{Q+\sqrt{Q^2-4P^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}-\dfrac{\sqrt[3]{Q-\sqrt{Q^2-4P^3}}}{3\sqrt[3]{2}a})]
[math(x_2=-\dfrac{b}{3a}+\dfrac{(1-\sqrt{3}i)\sqrt[3]{Q+\sqrt{Q^2-4P^3}}}{6\sqrt[3]{2}a}+\dfrac{(1+\sqrt{3}i)\sqrt[3]{Q-\sqrt{Q^2-4P^3}}}{6\sqrt[3]{2}a})]
[math(x_3=-\dfrac{b}{3a}+\dfrac{(1+\sqrt{3}i)\sqrt[3]{Q+\sqrt{Q^2-4P^3}}}{6\sqrt[3]{2}a}+\dfrac{(1-\sqrt{3}i)\sqrt[3]{Q-\sqrt{Q^2-4P^3}}}{6\sqrt[3]{2}a})]
이것보다 최대한 더 간추리려면
[math(R=\dfrac{\sqrt[3]{Q+\sqrt{Q^2-4P^3}}}{6\sqrt[3]{2}a})]
[math(S=\dfrac{\sqrt[3]{Q-\sqrt{Q^2-4P^3}}}{6\sqrt[3]{2}a})]
으로 놓고
[math(A=-\dfrac{b}{3a})]
[math(B=R+S)]
[math(C=\sqrt{3}i(R-S))]
라고 한다면
[math(x_1=A-2B)]
[math(x_2=A+B-C)]
[math(x_3=A+B+C)]
이처럼 아주 간단히
2.4. 사차방정식
- 유리수 범위에서 인수분해가 되는 사차방정식의 경우는 인수분해를 해서 이, 삼차방정식과 같이 구한다.
- 상반방정식 혹은 대칭방정식이라 불리는 방정식의 경우 [math(ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0)]은 [math(cx^2)]을 기준으로 거울처럼 나뉘는데,
- [math(a \ne 0)]이고 [math(x \ne 0)]이므로 양변을 [math(ax^2)]로 나누면 [math(x^2 + \displaystyle {b \over a} x + \displaystyle {c \over a} + \displaystyle {b \over ax} + \displaystyle {1 \over x^2} = 0)]가 된다.
- [math(x^2 + \displaystyle {1 \over x^2} + \displaystyle {b \over a} x + \displaystyle {b \over ax} + \displaystyle {c \over a} = 0)]으로 묶어낸다.
- 여기서 양변에 2를 더해준 뒤 계수가 [math(\displaystyle {b \over a})]인 항끼리 묶어낸다. 이러면 식은 [math(x^2 + 2 + \displaystyle {1 \over x^2} + \displaystyle {b \over a} \left({x + {1 \over x}} \right) + {c \over a} - 2 = 0)]이 된다.
- 그리고, [math(x^2 + 2 + \displaystyle {1 \over x^2})]는 [math(\left({x + \displaystyle {1 \over x}} \right)^2)]로 묶어내지게 된다. 최종적으로는 [math(\left({x + \displaystyle {1 \over x}} \right)^2 + \displaystyle {b \over a} \left({x + \displaystyle {1 \over x}} \right) + \displaystyle {c \over a} - 2 = 0)]이 되는데,
- 이제 치환을 하여 [math(y = x + \displaystyle {1 \over x})]로 놓으면, 이것은 [math(y)]에 관한 2차방정식이 되므로 [math(y^2 + \displaystyle {b \over a} y + \displaystyle {c \over a} - 2 = 0)]이라는 식을 얻는다.
- 마지막으로 두 근을 [math(y)], [math(y')]라고 하면 각각 [math(y = x + \displaystyle {1 \over x})]와 [math(y' = x + \displaystyle {1 \over x})]에 대입하여 [math(x)]의 값 4개를 처음 4차방정식의 근으로 정한다.
- [math(ax^4 + bx^2 + c = 0)]과 같은 복이차식의 경우,
- [math(x^2)]을 [math(X)]로 치환하여 [math(aX^2 + bX + c)]에 대한 방정식을 풀어내어 두 근 [math(X_1)], [math(X_2)]를 얻어낸다.
- 그리고 [math(X_1=x^2)], [math(X_2=x^2)]을 또 한번 풀어내어 4개의 근을 구하면 된다.
- 공식을 이용한다. 이 공식 역시 유도 과정이 매우 복잡하다.[21] 증명자는 루도비코 페라리. 위에서 말한 카르다노의 제자다. 보다시피 사차방정식을 풀 때 삼차방정식도 함께 풀어야 한다. 그런데, 이 공식을 이용하면 실수체 위에서 기약인 이차식 둘이 곱해진 사차식을 인수분해할 수 있다. 좌변을 [math((x^2+(b/2a)x+z/2)^2)]로 쓰고 우변이 완전제곱식이 되는 z값을 찾는게 핵심.
- 인수분해로 유도하는 과정은 [math(x=y-\frac{b}{4a})]로 치환해 [math(x^3)]의 계수를 없앤 뒤, [math(a'y^4+c'y^2+d'y+e'=0)]로 정리하고, 여기에서 [math((y+u+v+s)(y+u-v-s)(y-u+v-s)(y-u-v+s)=y^4+u^4+v^4+s^4-2y^2u^2-2y^2v^2-2y^2s^2-2u^2v^2-2u^2s^2-2v^2s^2+8yuvs=0)]에 대해서 [math(y+u+v+s=0)]로 치환해서 [math(y=-u-v-s)]로 놓은 후 [math(-u^4-v^4-s^4+2u^2v^2+2u^2s^2+2v^2s^2+e'=0)]로 e'를 u와 v와 s에 관한 식으로 푼 후 [math(vs=\dfrac{d'}{8u})], [math(v^2+s^2=-u^2-\dfrac{c'}{2})]로 u에 관해서 풀면 [math(-4u^6-2c'u^4+\left(-\dfrac{c'}{4}+e'\right)u^2+\left(\dfrac{d'^2}{16}\right)=0)]로 [math(u^2)]에 관해 삼차방정식으로 풀면 나온다.[22]
4차방정식의 근의 공식을 간추리면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(P=3b^2-8ac)]
[math(Q=b^3-4abc+8a^2d)]
[math(A=c^2-3bd+12ae)]
[math(B=2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)]
[math(C=a\left(\sqrt[3]{B+\sqrt{B^2-4A^3}}+\sqrt[3]{B-\sqrt{B^2-4A^3}}\right))]
[math(x_1=-\dfrac{b}{4a}-\dfrac{\sqrt{P+2\sqrt[3]{4}C}}{{4\sqrt{3}a}}+\sqrt{\dfrac{P-\sqrt[3]{4}C}{24a^2}+\dfrac{\sqrt{3}Q}{8a^2\sqrt{P+2\sqrt[3]{4}C}}})]
[math(x_2=-\dfrac{b}{4a}-\dfrac{\sqrt{P+2\sqrt[3]{4}C}}{{4\sqrt{3}a}}-\sqrt{\dfrac{P-\sqrt[3]{4}C}{24a^2}+\dfrac{\sqrt{3}Q}{8a^2\sqrt{P+2\sqrt[3]{4}C}}})]
[math(x_3=-\dfrac{b}{4a}+\dfrac{\sqrt{P+2\sqrt[3]{4}C}}{{4\sqrt{3}a}}+\sqrt{\dfrac{P-\sqrt[3]{4}C}{24a^2}-\dfrac{\sqrt{3}Q}{8a^2\sqrt{P+2\sqrt[3]{4}C}}})]
[math(x_4=-\dfrac{b}{4a}+\dfrac{\sqrt{P+2\sqrt[3]{4}C}}{{4\sqrt{3}a}}-\sqrt{\dfrac{P-\sqrt[3]{4}C}{24a^2}-\dfrac{\sqrt{3}Q}{8a^2\sqrt{P+2\sqrt[3]{4}C}}})]
반면 [math(\sqrt{P+2\sqrt[3]{4}C}=0)] 즉 [math(u^2=0)]이 되는 경우는 다음과 같으며 복이차식으로 축약 가능한 케이스이다. [math(d')]도 [math(0)]이 되며 판별식은 [math(b^3-4abc+8a^2d)]이다.
[math(P=3b^2-8ac)]
[math(R=b^4-32a^2bd+256a^3e)]
[math(x_1=-\dfrac{b}{4a}+\dfrac{\sqrt{P+\sqrt{P^2-R}}}{4a})]
[math(x_2=-\dfrac{b}{4a}-\dfrac{\sqrt{P+\sqrt{P^2-R}}}{4a})]
[math(x_3=-\dfrac{b}{4a}+\dfrac{\sqrt{P-\sqrt{P^2-R}}}{4a})]
[math(x_4=-\dfrac{b}{4a}-\dfrac{\sqrt{P-\sqrt{P^2-R}}}{4a})]
2.5. 오차 이상의 방정식
결론부터 말하면 5차 이상의 방정식의 '일반적인' 대수적 근의 공식은 없다.그러나, 착각하지 말아야 할 것은 대수적인 해가 없는 것 뿐이지 타원곡선, 브링 근호, 초기하함수 등을 이용하면 일반적인 해를 구할 수 있다. 초기하함수로 나타낸 방정식 [math(x^5+x+a=0)]의 일반해[23] 애당초 일반적으로 말하는 근의 공식은 사칙연산과 거듭제곱근 연산만을 토대로 만들어진 식의 유무를 물어보는 것 뿐이지, 초월함수등을 이용한 대수적 범위를 벗어난 공식의 유무까지 부정하는 것은 아니다.
- 당연한 얘기지만, 인수분해가 되면 인수분해해서 다른 방정식과 같은 방법으로 해를 구하면 된다. 그중에서도 차수가 홀수인 경우 최소한 한 개의 실근이 존재[24]한다는 것을 이용해 인수 정리를 이용해 인수분해할 수 있다.
- 복삼차식이나 복사차식, 삼복이차식, 복복이차식,... 등도 근의 공식으로 해를 구할 수 있으며 최대 4차까지로 인수분해 가능한 형태이면 근의 공식으로 풀 수 있다. 당장 3차방정식, 4차방정식 근의 공식 유도 과정중에 이러한 과정이 나온다.
- 수학자 아벨이, [math(n\ge5)][25]일 때, [math(n)]차방정식은 주어진 식에서(유리수든 실수든 복소수든 관계없다.) 유한 번의 제곱근 처리 및 사칙연산으로 답을 구할 수 있는 일반화된 해법이 존재하지 않는다는 사실을 증명했다.
- 수학자인 갈루아는 '오차 이상의 대수방정식이 해법이 구해질 수 있는 조건'에 대해 논문을 썼다. 뭔가를 밝혀냈다는 말 없이 논문[26]을 썼다는 것 하나로 서술이 끝났다는 것에서 감이 잡힐 듯 싶다.
- 브링 근호(Bring radical)를 사용하면 임의의 5차방정식의 해를 나타낼 수 있다. 방정식 [math(x^5+x+a=0)]는 오직 하나의 실근을 가지는데, 이 근을 [math(\mathrm{BR}(a))] 또는 [math(\mathrm{ultraradical}(a))][27]로 정의하고 이것을 이용해 오차방정식의 해를 나타낸다. 모든 오차방정식은 치른하우스 변환(Tschirnhaus Transformation)을 통해 [math(x^5+x+a=0)]의 꼴로 축약할 수 있다. 브링 근호는 타원곡선, 초기하함수 등을 이용하여 나타낼 수 있다.
- 다만, 일반화된 해법이 없을 뿐이지, 모든 오차이상의 방정식을 사칙연산과 (거듭)제곱근을 유한번 이용해서 풀 수 없는 것은 아니다. 모든 Root of Unity[28]는 사칙연산과 유한 번 제곱근 처리로 답을 낼 수 있으며,[29] [math(x^5 - 5x + 12 = 0)]나 [math(x^6 + x^4 - x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0)] 등 특수한 5차 이상의 방정식이 사칙연산과 유한 번 제곱근 처리로 계산이 가능하다는 것을 보여주는 Dummit이나 Hagedorn 등 수학자들의 연구 또한 존재한다. 정확히는 어떤 주어진 5차 이상의 방정식으로 갈루아군을 만들었을 때, 가해군이 된다는 것을 보일 수만 있다면 그 방정식은 대수적인 풀이가 존재하게 된다. 다만 일반화된 5차 이상의 방정식의 경우, [math(\rm{S}_{5})] 이후의 갈루아군은 일반적으로 가해군이 아니기 때문에 대수적인 풀이는 존재하지 않는다.[30][31]
위 영상은 blackpenredpen이 설명하는 "드 무아브르" 형태 5차방정식의 근의 공식이다.
2.6. 분수방정식과 무리방정식
좀 특수한 방정식이지만 2007 개정 교육과정까지 수학2에 들어있던 거라 같이 붙인다. 그런데 2009 개정 교육과정부터는 삭제했다. 2015 개정 교육과정에서는 심화 수학Ⅰ에만 들어간다.[32]- 분수방정식 [math(\displaystyle \frac{a}{bx^3+cx^2+dx+e}=1)]은[33] 뒤에 있는 다항식을 상수 [math(a)]를 이항시켜서 [math(bx^3+cx^2+dx+f=0)] 꼴로 변형 후 다항함수의 꼴로 만들어서 근을 구하면 된다. 주의할 점은, 일반적으로 분모는 0이 될 수 없으므로, 해당 근들은 배제해야 한다는 점이다. 허수의 경우에는 경우에 따라 가능한 경우도 있으니 유의하자.
- 분수방정식은 분모의 최소공배수를 곱하여 다항방정식으로 고친다.
- 무리방정식은 양변을 제곱하여 다항방정식으로 고친다. 이름대로 일부 항의 계수가 무리수이기 때문에 허근에만 켤레근 적용이 가능하다.
- 그 이후로는 다항방정식의 풀이방법과 동일하다.
- 주의! 이들 방정식은 무연근이라는 게 있다. 분수방정식은 분모를 0이 되게 하는 해가, 무리방정식은 해를 대입한 결과 양변의 값이 일치하지 않으면 무연근이다. 유리함수에서 2개의 점근선 중 x축 쪽에 있는 것이 무연근이다. 하지만, 분수방정식이라고 꼭 무연근이라는 것을 가지지는 않지만, 무리방정식은 적어도 1개 이상의 무연근을 갖는다.
2.7. 상반방정식
특정항을 기준으로 계수만 뽑았을 때 대칭수가 되는 방정식이다. 이 경우 치환을 이용해서 식을 간단하게 만든 뒤 푸는 방법을 사용한다.3. 부정방정식
3.1. 디오판토스 방정식
4. 연립방정식
5. 미분방정식
6. 일반적인 방정식의 해법
- 일단 기본적으로는, 치환을 한 다음 인수분해를 해서 주어진 방정식을 1차 방정식들의 곱으로 만든 다음, 그 1차 방정식들에 대해 [math(ab=0)]이면 [math(a=0)] 또는 [math(b=0)]이란 사실을 이용하여 치환된 방정식의 해를 구하고 대입법과 치환된 방정식의 해를 이용해 원래 방정식의 해를 구하면 된다.
- 함수를 이용하는 방법도 있다. 자세한 내용은 다항함수/추론 및 공식 문서로.
- 수치해석학적 알고리즘를 이용해 근사값을 구할 수도 있다. 보통 무한급수의 꼴이나 점화식으로 나타내어지는데, 원하는 오차가 아무리 작더라도 그 오차 이내의 근사값을 충분히 구할 수 있다. 뉴턴-랩슨 방법, 보간법 등을 쓰는데, 이 기법들을 이용하면 연속함수로 이루어진 방정식의 대부분의 해의 근사값을 구할 수 있다.
- 다항방정식인 경우, 유리근 정리를 이용해 해의 후보군을 뽑을 수 있다. 간단히 말하면, 최고차항 계수의 약수와 상수항의 약수의 몫 중에 근이 있을 수 있다는 것이다.
7. 방정식 문제
7.1. 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기
방정식에서 근이 주어졌을 경우 주어진 근을 대입하여 미지수에 대한 새로운 방정식을 세우고 그것을 풀기만 하면 된다. 단, 이차 이상의 방정식의 경우 최고차항의 계수가 0이 되도록 하는 미지수의 값을 제거해야 하는 경우가 있으니 주의.7.2. 치환을 이용한 방정식의 풀이
이차 이상의 방정식만 해당. 공통부분을 치환하여 푼다. 이때 (치환한 부분)=(치환한 미지수의 값)을 한 번 더 풀어야 하는 경우가 있으니 주의하자. 선형 변환은 이 치환을 일반화한 개념이다.참고로 군론에서의 치환과는 다른 개념이다.
7.3. 이차방정식의 판별식을 이용하여 미정계수의 값 또는 범위 구하기
이차 이상의 방정식만 해당. 이차방정식에서 [math(D>0)]이면 서로 다른 두 실근을 가지고, [math(D=0)]이면 중근을 가지고, [math(D<0)]이면 서로 다른 두 허근을 가진다[34]는 성질을 이용하여 미정계수의 값 또는 범위를 구하는 문제가 출제된다. 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지면 부등식 [math(D>0)]을 풀고, 중근을 가지면 방정식 [math(D=0)]을 풀고, 서로 다른 두 허근을 가지면 부등식 [math(D<0)]을 풀어 미정계수의 값 또는 범위를 구하면 된다. 고차방정식의 근의 조건에서도 이를 이용한 문제가 등장하는데, 인수분해하여 나온 이차방정식에서 판별식 D를 이용하면 된다. 어렵지 않은 유형이기 때문에 시험에서는 배점이 4점으로 높지 않은 편이다.7.4. 활용문제
7.4.1. 일차방정식
도형, 농도, 증가/감소, 원가/정가, 거리/속력/시간 등 여러가지 유형이 많이 등장한다. 일차방정식은 실생활에서도 매우 많이 사용하는 영역이기 때문이다. 풀이 자체는 간단하지만 식을 세우는 과정이 쉽지 않다. 이로 인해 많은 학생들이 힘들어하는 부분이기도 하다. 아래의 문제는 오답률 80%의 킬러문제이다.- [예제]
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2018년 고1 3월 모의고사 30번
- [풀이]
- M=a'*103+b'*102+6*10+c'라고 하자. M=3(K+2)이고 M과 3(K+2) 모두 네 자리 수이므로 a<a'이어야 한다. 이것이 가능한 건 a=2, a'=8뿐이다. 이제 두 수의 차 M-K에 집중하자.[35] K ≤ 2888 < 2900이므로 M-K = 2K+6 < 5806이다. 그러나 b≤b'라면 자릿수에서 M-K ≥ 6000 - 22 = 5978이므로 성립하지 않는다. 따라서 b>b'이고 이것이 가능한 것은 b=8, b'=6뿐이다. 이제 c만 남았다. K와 M의 일의 자리 숫자를 비교하면 c = 7만 가능함을 쉽게 알 수 있다. 따라서 a+b+c=2+8+7=17이다.
7.4.2. 이차방정식
도형이 주를 이루며, 농도, 증가/감소, 원가/정가는 잘 등장하지 않고 시험에는 출제되더라도 도형에의 활용에 비해 어렵지 않게 출제되는 편이다.[36] 실생활에서는 이차방정식을 그리 많이 사용하지 않기 때문이다. 풀이 자체는 조금 복잡하지만 식을 세우는 과정은 어렵지 않다.- [예제]
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2019년 고1 3월 모의고사 18번 [37]
7.4.3. 고차방정식
거의 도형이다. 풀이 자체는 복잡하지만 식을 세우는 과정은 어렵지 않다. 참고로 고차방정식부터는 활용문제가 잘 등장하지는 않으며 시험에는 출제되더라도 쉽게 출제되는 경우가 많다. 다만, 아래의 문제처럼 매우 어렵게 출제되는 경우도 간혹 있으니 방심은 금물. 참고로 아래의 문제는 오답률 90%의 킬러문제이다.- [예제]
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2021년 고1 11월 모의고사 29번[38]
7.4.4. 연립방정식
7.4.4.1. 연립일차방정식
도형, 농도, 증가/감소, 원가/정가, 거리/속력/시간 등 여러 가지 유형이 많이 등장한다. 풀이 자체는 간단하지만 식을 설계하는 과정이 어렵고 설계 과정이야말로 연립방정식 풀이의 꽃, 즉 알파이자 오메가라고 할 수 있다.[39] 이로 인해 많은 학생들이 힘들어하는 부분이기도 하다.[40] 대학교 과정의 경우 행렬과도 연관이 있다.- [예제]
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2017년 고1 3월 모의고사 25번 - [풀이]
- 직사각형이므로 2a=3b···㉠
4a+5b=88···㉡
㉠, ㉡에 의해 a=12, b=8
a+b=20
7.4.4.2. 연립이차방정식
거의 도형이다. 풀이 자체는 복잡하지만 식을 세우는 과정은 어렵지 않다. 참고로 이차 이상의 연립방정식부터는 활용문제가 잘 등장하지는 않으며 시험에는 출제되더라도 쉽게 출제되는 경우가 많다. 다만, 아래의 문제처럼 어렵게 출제되는 경우도 간혹 있으니 방심은 금물. 참고로 아래의 문제는 오답률 75%의 준킬러문제이다.- [예제]
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2017년 고1 11월 모의고사 27번[41]
7.4.5. 부정방정식
부정방정식이 쓰이는 대표적인 분야로 암호학이 있다. 무지막지하게 큰 수[42]를 다루는데, 여기에 부정방정식 관련 이론을 써먹는 식이다.7.4.6. 미분방정식
아이작 뉴턴이 고전역학을 수식으로 정립했기 때문에, 미분방정식을 모르면 아예 역학 자체에 발을 들여놓기 어렵다.[1] 다른 방정식도 마찬가지로 최고차항의 계수(대체로 [math(a)]로 나타낸다.)는 0이 아니라는 조건이 반드시 있어야 한다. [math(n)]차 방정식에서 [math(a)]가 0이 되면 [math(n)]차 방정식라는 전제(postulation)에 모순된다.[2] 이거 말고도 부정이 나오는 방정식은 꽤 있다. 대표적으로 [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(\gamma\right) - x = 0)](오일러-마스케로니 상수의 유리수/무리수 여부가 밝혀지지 않음), [math(\displaystyle \int x^x \,{\rm d}x)]([math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} f\left(x\right) = x^x)] 꼴의 함수가 정의되지 않음) 등.[3] 다만 식을 풀기에 앞서 미지수의 군을 확인해야 한다. 왜냐하면 미지수의 범위가 실수인지, 복소수인지([math(|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2})]), 벡터인지([math(|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}})]), 행렬인지([math(\left|(a_{ij})_{n\times n}\right|={\displaystyle \sum_{\sigma\in S_{n}}}\text{sgn}\left(\sigma\right){\displaystyle \prod_{i=1}^{n}}a_{i\sigma\left(i\right)})]) 등에 따라 절댓값의 정의가 달라지기 때문이다. 중ㆍ고등학교 에서는 실수 범위 내에서만 배운다.[4] 사원수는 나올 수 없는데 [math(i^2=j^2=k^2=-1)]이며 [math(i)]와 [math(j)]와 [math(k)]가 다른 값인데 [math(x^2=-1)]의 해에다가 사원수를 적용 시 근이 두 개가 아닌 여섯 개가 되는 오류가 있다. 대수학의 기본정리에 나와 있다.[5] 즉, [math(\displaystyle \frac{b} {2} \in \mathbb{Z})]인 경우.[6] 더 줄여서 짝수 공식이라고 하기도 한다. 당연히 홀수에서는 쓰기 불편하다.[7] 같은 답이 나오기는 하지만 홀수 공식을 쓰면 약분도 해야 되고 숫자도 빼내야 해서 더 힘들다. 그래도 짝수 공식 모른다면 무리한 시도보다는 홀수 공식을 쓰는 것이 나을 것이다.[8] 사실 엄밀히 따지면 짝수 공식이라는 건 공식적으로 존재하진 않는다. 실제로 없는 것을 더욱 편리한 계산을 위해서 개조시킨 것이기 때문에 원칙상으로는 안 쓰는 것이 맞다. 다만 방법만 정확히 알면 식 자체에 오류는 없으니 실제로 사용할 때에는 애초에 공식적으로 정해진 수식이 아니라는 것을 인지하고 쓰도록 하자.[9] 여기서 [math(D)]는 판별식을 뜻하는 'Discriminant'의 앞글자이다.[10] 중학교에서는 실수 범위까지만 가르치기 때문에 근이 없다로 가르친다. 참고로 계수가 실수인 이차방정식이 허근을 가지는 경우는 서로 다른 두 허근을 가지는 경우밖에 없다. 허수인 중근을 가지거나 실근 하나에 허근 하나를 가지는 경우는 없다.[11] 계수가 실수인 이차방정식으로 만들 수 없는 경우에만 해당된다.[12] 여담으로, 0의 제곱근은 0 하나 뿐인 것이라고 보는게 아니고 [math(x^2=0)] 방정식의 근이기 때문에 0이라는 근이 두 개, 즉 0을 중근으로 가진다.[13] 이 또한 짝수 근의 공식과 마찬가지로 원래 존재하는 공식은 아니다. 이론적으로 틀릴 건 없으니 조건이 맞을 때 사용하되, 공식적인 곳에서 기재할 때는 자제하는 것이 좋다.[14] 실젯값 [math(\displaystyle {-1 \pm \sqrt{3} i \over 2})][15] 고등학교 수학 수준에서는 3차방정식 이상의 풀이는 인수분해로 풀 수 있도록 문제를 만들기 때문에 굳이 복잡한 근의 공식을 사용하는 것보다 인수분해를 사용하는게 더 빠르고 정확하게 문제를 푸는 길이다.[16] 사실 이렇게 구한 값이 실젯값과 다르게 나오는 근본적인 이유는 Wolfram Alpha의 거듭제곱근 처리법에 있다. Wolfram Alpha에서 [math(n)]제곱근을 구할 때 복소수 [math(n)]개 중 그 편각이 구간 [math([ 0, 2\pi))]에서 가장 작은 것을 출력하기 때문이다. 편각이 [math(\pi)]인 음수를 넣으면 이보다 편각이 작은 복소수가 출력되는데, 이 때문에 실젯값과 괴리가 생기게 된다. 세제곱근 안의 수가 복소수라면 이 문제는 더욱 복잡해진다.] Wolfram Alpha는 아래 주석에서처럼 카르다노의 치환 대신 비에트[43]의 치환을 이용하여 구하기 때문이다[17] 비에트는 카르다노와 달리, [math(y = w - \frac{c^{\prime}}{3w})]로 치환했으며, 이 경우 정리하면 [math(w^3)]에 대한 이차방정식이 만들어진다. 이 이차방정식의 해를 하나 택한 후, 이 값에 세제곱근을 취한 [math(w)]의 값을 이용하여 [math(y)], [math(x)]의 값을 차례로 구한다. Wolfram Alpha는 이 방법을 이용하여 일반적인 삼차방정식을 구한다.[18] 물론 복소수의 절댓값을 구한 후 절댓값에 cosx+isinx를 곱한 형태로 나타낸 후 그것의 세제곱근은 절대값의 세제곱근에 cos(x/3)+isin(x/3)을 곱한 값으로 쓸 수 있다.다항식을 풀기위해 삼각함수를 이용할 수 있는 것이다하지만 이 경우 세 근은 모두 실근이라는 것이 확실하다. 근데 이걸 삼각함수 정리를 이용해 풀려고 하면 또 다시 쳇바퀴에 빠지게 된다.[19] 고등학교에서는 3차, 4차 방정식의 모든 항의 계수가 유리수라서 삼차는 적어도 하나의 유리근, 사차는 적어도 두 개의 실근이 나온다.[20] 이 문제는 인터넷에서 미지수가 과일로 대체되어 출제된 악명 높은 3차 디오판토스 방정식으로, 타원곡선을 이용해 풀었을 때 해의 범위를 자연수로 한정할 시 79–81자리의 거대한 수가 출력된다.[21] 아래 링크에서 보다시피 공식 자체는 외울 수 없는 분량이므로 필산으로 풀 때는 공식이 아닌 유도 과정을 외워서 푸는 것이 효율적이다.[22] [math(u^2)]의 근 중에 [math(\omega)]가 포함된 근을 써도 결과는 똑같이 나오지만 이렇게 되면 복잡해진다.[23] Solutions for the variable x: 를 보면 다섯 개의 일반해가 적혀 있다.[24] 차수가 홀수인 함수는 1사분면과 3사분면, 또는 2사분면과 4사분면을 지나기 때문에 [math(x)]절편, 즉 방정식의 실근이 존재할 수밖에 없다.[25] n이 꼭 자연수일 필요는 없지만, 자연수라면 더 좋다.[26] 다만 EBS다큐프라임 중 '자유의 수 x'에서 그 논문은 분실했다고 언급된다.[27] 숫자 5를 닮은 모양의 특수한 근호를 쓰기도 한다.[28] 단위근, [math(x^n - 1 = 0)]([math(n)]은 자연수)의 모든 해[29] 방데르몽드가 [math(x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0)]의 해인 [math(\displaystyle 2\cos\frac{2k\pi}{11} \, (k = 1, 2, ..., 5))]를 사칙연산과 제곱근 처리 몇 번으로 해결한 적이 있으며, 가우스가 정17각형 작도 가능을 증명하면서 [math(\displaystyle \cos\frac{2\pi}{17})]의 값을 카를 프리드리히 가우스 문서에 있는 식처럼 나타낸 것도 유명하다.[30] 5차 방정식의 경우, 중근이 없다는 조건 하에서 실근이 셋에 허근이 2개가 존재할 경우가 가해군이 되지 않는다. 이 경우의 5개의 근으로 치환을 만들 경우 [math(\rm S_{5})]와 동형이 된다는 것이 증명되어 있다.[31] 예를 들어서 5차 방정식에서 이중근이 존재할 경우에는 다음과 같이 풀이가 간단해지는데, 바로 [math(\gcd\left(f(x), f'(x)\right))]가 최소 하나의 근을 포함하는 다항식이 되며, 일단 하나의 근이 이중근으로 알려져 있으므로 3차 방정식과 1차 방정식의 제곱의 곱으로 분해할 수 있고, 따라서 3차 방정식의 풀이 과정을 따르면 된다. 삼중근의 경우도 마찬가지로 2차 방정식과 1차 방정식의 세제곱의 곱으로 분해가 되는 식으로 특수한 꼴이 된다.[32] 수학에서 배우는 건 유리함수, 무리함수이다. 혼동하지 말 것.[33] 단, [math(a, b, c, d, e)]는 유리수이며, [math(a)]와 [math(b)]는 0이 될 수 없다.[34] 중3 과정에서는 허수를 다루지 않으므로 근을 가지지 않는다고 배운다.[35] 2를 8로 바꾸고 8을 6으로 바꾸는 것 외에는 자릿수 변화가 없는데, 자릿수 변화가 없으면 차이가 0이 되기 때문에 집중하는 것이다.[36] 도형에의 활용은 문제를 어렵게 내면 매우 어렵다.[37] 답 : 5[38] 답 : 164[39] 연립방정식 계산 작업은 아무리 복잡하더라도 MATLAB 등 컴퓨터 소프트웨어들이 인간의 뇌보다 월등히 고성능으로 처리해주는 방식으로 자동화된 반면, 구체적인 조건 및 필요한 값(물리량, 금액 등)으로부터 추상화된 식을 도출해내는 설계 작업은 여전히 인간의 뇌에 의존한다. 이에 따라 앞으로 계산놀음만 할 줄 아는 수동적 인재는 점점 설 자리를 잃어갈 것이다.[40] 아무래도 미지수(필요한 값)가 2개 이상이고 식(조건)도 2개 이상이기 때문에 일차방정식의 활용보다 더 어려운 듯하다. 참고로 미지수 개수와 식 개수가 일치해야 해가 한 순서쌍으로 결정된다.[41] 답 : 39[42] 가령 RSA-2048에 쓰이는 수는 617자리나 된다.