1. 개요
1의 세제곱근에 대한 문서이다. 고1 1학기 교육과정의 '복소수' 파트에서 기본적으로 삼차방정식 [math(x^3=1)] 또는 [math(x^3=-1)]을 통해 배우며 이를 통해 복소수의 중요한 성질을 확인할 수 있다. 고1 교육과정에서는 소문자 오메가 [math(omega)] 로 표기한다.[1]일반적으로 실수계수 삼차방정식에 허근이 존재한다면 반드시 2개의 허근이 존재하며, 그 둘은 반드시 켤레복소수이다. 그리고, 두 허근을 흔히 [math(\omega)]와 [math(\overline \omega)]으로 표기한다. 그런데, [math(x^3=1)]에서는 특별하게도 [math(\overline \omega = \omega^2 = \dfrac{1}{\omega} = -1-\omega)]를 만족시키며, 다양하게 변화된 관계식이 만들어진다. 단, [math(\omega)]는 임의의 삼차방정식의 허근으로도 쓰이기에, [math(x^3=1)]의 허근이 아닐 수도 있으니, 어떻게 정의되었는지 명확하게 확인해야 한다.
2. x³=1
[math(x^3-1=0)]의 꼴로 이항한 뒤 인수분해하면[math(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0)]
이차방정식 [math(x^2+x+1=0)]을 근의 공식으로 풀면 최종적인 근은 다음과 같다.
[math(x=1\;\textsf{or}\;x=\dfrac{-1\pm \sqrt 3i}{2})]
[math(x^3=1)](또는 [math(x^2+x+1=0)])의 한 허근이 [math(\omega)]이면 다른 허근은 켤레복소수이므로 [math(\overline \omega)]로 표기한다.
허수지수함수를 이용해 [math(\omega = {\rm cis}(2\pi/3) = e^{i\cdot{2\pi}/{3}})]로도 표기할 수 있다.[2]
2.1. 성질
- [math(\omega=\dfrac{-1+\sqrt 3i}{2}\quad\rightarrow\quad\overline\omega=\dfrac{-1-\sqrt 3i}{2})]
- [math(\omega^2=\left(\dfrac{-1+\sqrt 3i}{2}\right)^2=\dfrac{1-2\sqrt 3i-3}{4}=\dfrac{-1-\sqrt 3i}{2}=\overline\omega)]
- [math(\overline\omega^2=\left(\dfrac{-1-\sqrt 3i}{2}\right)^2=\dfrac{1+2\sqrt 3i-3}{4}=\dfrac{-1+\sqrt 3i}{2}=\omega)]
[math(x^3=1)]의 한 허근이 [math(\omega)]이면 다른 허근은 [math(\overline \omega)]이므로
- [math(\omega^3=1\quad\rightarrow\quad\omega^2=\dfrac{1}{\omega}\quad\rightarrow\quad\omega=\dfrac{1}{\omega^2})]
- [math(\overline\omega^3=1\quad\rightarrow\quad\overline\omega^2=\dfrac{1}{\overline\omega}\quad\rightarrow\quad\overline\omega=\dfrac{1}{\overline\omega^2})]
[math(x^2+x+1=0)]의 한 허근이 [math(\omega)]이면 다른 허근은 [math(\overline \omega)]이므로
- [math(\omega^2+\omega+1=0\quad\rightarrow\quad\omega+1+\dfrac{1}{\omega}=0\quad\rightarrow\quad\omega+\dfrac{1}{\omega}=-1)]
- [math(\overline\omega^2+\overline\omega+1=0\quad\rightarrow\quad\overline\omega+1+\dfrac{1}{\overline\omega}=0\quad\rightarrow\quad\overline\omega+\dfrac{1}{\overline\omega}=-1)]
[math(\omega+\dfrac{1}{\omega}=\overline\omega+\dfrac{1}{\overline\omega}=-1)]이고 [math(\left(\omega+\dfrac{1}{\omega}\right)^2=\left(\overline\omega+\dfrac{1}{\overline\omega}\right)^2=1)]이므로
- [math(\omega^2+2+\dfrac{1}{\omega^2}=1\quad\rightarrow\quad\omega^2+\dfrac{1}{\omega^2}=-1)]
- [math(\overline\omega^2+2+\dfrac{1}{\overline\omega^2}=1\quad\rightarrow\quad\overline\omega^2+\dfrac{1}{\overline\omega^2}=-1)]
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
- [math(\omega+\overline\omega=-1)]
- [math(\omega\overline\omega=1\quad\rightarrow\quad \omega=\dfrac{1}{\overline\omega}\quad\rightarrow\quad \overline\omega=\dfrac{1}{\omega})]
한편, 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여도 같은 결론을 도출할 수 있다.
- [math(1+\omega+\overline\omega=0\quad\rightarrow\quad\omega+\overline\omega=-1)]
- [math(1\cdot\omega\overline\omega=-(-1)\quad\rightarrow\quad\omega\overline\omega=1)]
절댓값(복소평면에서의 원점과의 거리)은 다음과 같다.
- [math(|\omega| = \sqrt{\{\Re(\omega)\}^2 + \{\Im(\omega)\}^2} =\sqrt{\left(-\dfrac12\right)^2+\biggl(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\biggr)^2} = \sqrt{\dfrac14 +\dfrac34} =1)][3]
또한, [math(\{1,\,\omega,\,\overline\omega\})]은 복소평면에서 원점을 중심으로 정삼각형을 그리며[4], 한 변의 길이는 [math(\sqrt3)]이다.
2.2. 활용
위의 성질을 활용하여 [math(\omega)]에 관한 다양한 식의 값을 묻는 문제가 나오며, 아래 열거된 예 외에도 무궁무진하게 식을 만들 수 있다.- [math(\omega^2+\overline\omega^2=(\omega+\overline\omega)^2-2\omega\overline\omega=(-1)^2-2\cdot 1=-1)]
- [math(\dfrac{\omega^2}{1+\omega}+\dfrac{\overline\omega}{1+\overline\omega^2}=\dfrac{\omega^2}{-\omega^2}+\dfrac{\overline\omega}{-\overline\omega}=-2)]
[math(\omega^3=1)]이므로 음이 아닌 정수 [math(k)]에 대하여 다음이 성립한다.
- [math(\omega=\omega^4=\omega^7=\cdots=\omega^{3k+1})]
- [math(\omega^2=\omega^5=\omega^8=\cdots=\omega^{3k+2}=\overline\omega)]
- [math(\omega^3=\omega^6=\omega^9=\cdots=\omega^{3k}=1)]
이 성질을 이용하면 다음과 같은 식의 값을 빠르게 구할 수 있다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{j=0}^{100}\omega^j &=(1+\omega+\omega^2)+(\omega^3+\omega^4+\omega^5)+\cdots+(\omega^{96}+\omega^{97}+\omega^{98})+\omega^{99}+\omega^{100}\\&=0+0+\cdots+0+\omega^{99}+\omega^{100}\\&=\omega+1\end{aligned})][5] |
| [math(\displaystyle\sum_{j=0}^n \omega^j=\begin{aligned}\begin{cases}1\quad&\textsf{if}\;n=3k\\\omega+1\quad&\textsf{if}\;n=3k+1\\0\quad&\textsf{if}\;n=3k+2\end{cases}\end{aligned})] |
3. x³=-1
[math(x^3=-1)]인 경우도 [math(x^3=1)]인 경우와 비슷하다. [math(x^3+1=0)]의 꼴로 이항한 뒤 인수분해하면[math(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)=0)]
이차방정식 [math(x^2-x+1=0)]을 근의 공식으로 풀면 최종적인 근은 다음과 같다.
[math(x=-1\;\textsf{or}\;x=\dfrac{1\pm \sqrt 3i}{2})]
참고로 [math(x^3=1)]의 한 허근을 [math(\omega)]라고 할 때, [math(-1, -\omega, -\omega^2)] 이 [math(x^3=-1)]의 근이 된다.
복소평면에서 [math(x^3=-1)]의 해를 이루는 점의 위치는 [math(x^3=1)]의 해를 이루는 점의 위치를 [math(\Re(x)=0)]을 기준으로 좌우반전한 형태이다.
4. x³=i
[math(x^3=i)]인 경우에는 실수부가 [math(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2})]이 나오며 허수부가 [math(\dfrac{1}{2})]이 나온다.[math(x^3-i=(x+i)(x^2-ix-1)=0)]
이차방정식 [math(x^2-ix-1=0)]을 근의 공식으로 풀면 최종적인 근은 다음과 같다.
[math(x=-i\;\textsf{or}\;x=\dfrac{\pm \sqrt 3 + i}{2})]
복소평면에서 [math(x^3=i)]의 해를 이루는 점의 위치는 [math(x^3=1)]의 해를 이루는 점의 위치를 원점을 기준으로 해서 시계 방향으로 [math(90\degree)]만큼 회전시킨 것과 같다.
5. x³=-i
[math(x^3=-i)]인 경우에는 실수부가 [math(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2})]이 나오며 허수부가 [math(-\dfrac{1}{2})]이 나온다.[math(x^3+i=(x-i)(x^2+ix-1)=0)]
이차방정식 [math(x^2+ix-1=0)]을 근의 공식으로 풀면 최종적인 근은 다음과 같다.
[math(x=i\;\textsf{or}\;x=\dfrac{\pm \sqrt 3 - i}{2})]
복소평면에서 [math(x^3=-i)]의 해를 이루는 점의 위치는 [math(x^3=1)]의 해를 이루는 점의 위치를 원점을 기준으로 해서 반시계 방향으로 [math(90\degree)]만큼 회전시킨 것과 같다.
6. 예제
단순히 방정식 [math(x^3=\pm 1)]만을 언급하는 문제는 쉬운 편이며, 다음과 같은 문제들을 풀 줄 알아야 한다. [math(\omega)]에 관한 문제는 허근 [math(\omega)]의 값을 직접 구해서 풀어도 수학적으로는 옳지만, 시간이 너무 오래 걸릴뿐더러 교육학적 의의에 따른 출제자의 의도와 거리가 멀다. 이런 문제들은 [math(\omega)]의 정확한 값을 알지 못해도 문제에서 묻는 [math(\omega)]에 관한 식의 값 자체는 대수적으로 구할 수 있음을 깨닫게 하는 것을 목표로 삼기 때문이다.| [문제] 삼차방정식 [math(x^3+3x^2+3x+2=0)]의 한 허근을 [math(\omega)]라 할 때, [math(1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{60})]의 값을 구하시오. |
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- 인수분해하면 [math((x+2)(x^2+x+1)=0)], 실근은 [math(x=-2)]이고 허근 [math(\omega)]에 대하여 [math(\omega^2+\omega+1=0)]이 성립한다.
양변에 [math((\omega-1))]을 곱하면 [math(\omega^3-1=0)]에서 [math(\omega^3=1)]
[math(\begin{aligned}\therefore 1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{60}&=(1+\omega+\omega^2)+(\omega^3+\omega^4+\omega^5)+\cdots+(\omega^{57}+\omega^{58}+\omega^{59})+\omega^{60}\\&=(1+\omega+\omega^2)+(1+\omega+\omega^2)+\cdots+(1+\omega+\omega^2)+\omega^{60}\\&=0+0+\cdots+0+\omega^3=1\end{aligned})]
7. 여담
- 고1 1학기 과정이므로 수능 직접 출제 범위에 들어가지 않으며, 1학년 모의고사나 학교 시험에서만 중요하게 다룬다.[6]
- [math(x^3=1)]의 한 허근 [math(\omega)]와 두 정수 [math(a)], [math(b)]에 대해서 [math(a+b\omega)] 형태로 정의되는 수 체계를 아이젠슈타인 정수라고 부른다. 이는 페르마의 마지막 정리와도 연결이 되는데, [math(n = 3)]인 경우의 식 [math(x^3 + y^3 = z^3)]을 [math(\left(x + y\right)\left(x + \omega y\right)\left(x + {\omega}^2 y\right) = z^3)]으로 표현할 수 있기 때문이다.
- 3차 방정식의 근의 공식에 이 값이 등장한다.
- 다색 복소평면을 볼 때 1의 세제곱근을 익혀두면 도움이 많이 되는데, 색도(hue)를 3등분한 것이 빛의 삼원색인 RGB와 딱 맞아떨어지기 때문. 즉 [math(x^3 = 1)] 기준 [math(1)]은 빨간색, [math(\omega)]는 녹색, [math(\overline\omega)]는 파란색[7][8]으로 외워두면 복소함수의 함숫값이 띠는 편각을 쉽게 읽을 수 있다.
- [math(x^3 = 1)], [math(x^3 = -1)]의 근의 집합을 합치면 [math(x^6 = 1)]의 근의 집합과 같아진다.
- [math(x^3 = i)], [math(x^3 = -i)]의 근의 집합을 합치면 [math(x^6 = -1)]의 근의 집합과 같아지며 [math(x^3 = 1)], [math(x^3 = i)], [math(x^3 = -1)], [math(x^3 = -i)]의 근의 집합을 합치면 [math(x^{12} = 1)]의 근의 집합과 같아진다.
[1] 대문자 오메가 [math(\Omega)]는 보통 지수방정식 [math(xe^x =1)]의 실근 '오메가 상수'를 나타내는데 쓰인다.[2] 바꿔 말하면, [math(\omega)]의 편각 [math(\arg \omega)]이 [math(2\pi/3)]이라는 이야기이다.[3] 위의 [math(\omega\overline\omega=1)]의 성질을 이용하면 절댓값이 [math(|\omega|= \sqrt{\omega\overline\omega}=1)]임은 자명하다.[4] 드 무아브르 공식에 의한 자명한 결과이다.[5] [math(\displaystyle\sum_{j=0}^{100} \omega^j)]이란, [math(\omega^j)]에서 변수 [math(j)]에 [math(0)]부터 [math(100)]까지의 정수를 대입한 각각의 모든 값을 더하라는 뜻이다. 곧, [math(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\cdots+\omega^{100})]을 뜻한다.[6] 단, 간접 출제 범위에는 포함된다는 것을 유의하여야 한다.[7] 이에 더해 [math(x^3 = -1)]의 근은 RGB 중 2가지만 섞은 색들로, 즉 [math(-1)]은 청록색(Cyan), [math(\omega)]는 노란색(Yellow), [math(\overline\omega)]는 자주색(Magenta)으로 물감의 삼원색이 나온다는 것까지 숙지하면 좋을 것이다.[8] 여기서 본문과 직전 각주의 경우 모두 [math(\omega)]는 방정식의 두 허근 중 허수부가 양수인 쪽을 가리킨다. 또한 같은 문자가 사용됐기에 헷갈릴 수 있으나 두 허수는 서로 다름에 주의하라.