| 수학상수 Mathematical Constants | |||||
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1. 개요
오메가 常數 / Omega constant다음 방정식을 만족하는 실수 [math(x)]를 오메가 상수라고 정의하며, [math(\Omega)]로 표기한다.
[math(
xe^x=1
)]
따라서 [math(\Omega e^\Omega = 1)]이다. 람베르트 [math(W)] 함수를 이용하면 [math(W_0(1)=\Omega)]라고 나타낼 수 있다. 오메가 상수는 초월수임이 증명되어 있다.
이 방정식은 대수학적인 방법으로 풀기는 어렵고, 그래프를 동원한 해석 기하학적인 방법을 동원하면 대략적인 근사값을 찾을 수 있다. [math(xe^x=1)]의 양 변에 자연로그를 취하고 정리하면, 위 식은 다음과 같이 자연로그와 일차함수의 방정식이 된다.
[math(
\ln x = -x
)]
두 함수 모두 양의 실수 정의역에서는 전단사함수이기 때문에 위 방정식을 만족하는 해는 단 하나 존재하며, 그래프를 그려보면 [math(0)]과 [math(1)] 사이에 해가 있음을 알 수 있다. 그러나 이 해는 일반적인 방법[1]으로 구할 수 없다.
위 방정식 [math(\ln x = -x)]에 오메가 상수를 대입하면 다음과 같은 성질을 얻는다.
[math(
\Omega = -\ln\Omega = \ln\dfrac1\Omega
)]
한편, [math(W_0(x))]는 다음과 같이 매클로린 전개가 되는 것이 알려져 있고
[math(\displaystyle \begin{aligned} W_0(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!} \,x^n \\ &= x -x^2 +\frac32 \,x^3 -\frac83 \,x^4 +\frac{125}{24} \,x^5 -\cdots \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Omega &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!} \\ &= 1 -1 +\frac32 -\frac83 +\frac{125}{24} -\cdots \\ &\approx 0.5671432904 \end{aligned} )] |
자연로그의 밑의 역수를 무한 지수 탑 함수에 넣어도 얻을 수 있다. 아래 수식에서 윗화살표 2개 [math(\uparrow\uparrow)]는 커누스 윗화살표 표기법이다.
| [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{e} \uparrow\uparrow x\right) = -\frac{W(-\ln(1/e))}{\ln(1/e)} = \Omega)] |
2. 항등식
- [math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{{\rm d}x}{(e^x-x)^2+\pi^2} = \frac1{1+\Omega})]
증명은 여기를 참고. 이 식의 일반화는 람베르트 W 함수 문서의 항등식 문단 참고.