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1. 개요
가장 잘 알려진 이항연산이자 사칙연산의 하나. 초등학교 1학년 과정에서 1부터 10까지의 자연수를 배운 뒤 바로 배우는 내용. 처음에는 한 자리 수끼리의 덧셈을 배우다가 연가산, 2자리 이상의 수의 덧셈 등으로 확장된다. 두 자리 이상의 수의 덧셈에는 받아올림[3] 및 받아내림[4]을 사용한다. 가감승제의 가에 해당한다.초등학교까지는 0 이상의 유리수의 덧셈만 배우지만[5] 어차피 자연수의 덧셈을 바탕으로 하므로 별 상관은 없다. 매우 기초적인 연산이므로 수학 수준을 불문하고 물 쓰듯 쓰인다. 7차 교육과정까지의 중학교에서는 이진법의 덧셈과 뺄셈도 배웠으며, 6차 교육과정까지의 중학교에서는 오진법의 덧셈과 뺄셈도 배웠다.[6]
덧셈이 반복된다는 개념으로 곱셈을 배우며, 초등학교를 지나고 중학교에서 변수 개념에 익숙해지고 다양한 수 체계에 익숙해질수록 덧셈과 곱셈은 다른 개념으로 받아들여진다. 3이 2.3번 반복된다는 개념이 가능할 리가. 곱셈에서 역시 지수라는 개념을 이런 식으로 대하며, 갈수록 하이퍼 연산의 개념 역시 이런 식으로 취급된다.
규칙적인 수열을 끊임없이 더하는 개념이 바로 급수이며, 이때에는 뻔히 많을 덧셈을 굳이 표기할 이유가 없어 영어로 더하다는 뜻의 Sum에서 따온 그리스 문자 Σ를 사용한다. 미세하게 쪼개는 조작까지 추가하면 적분이 된다.
2. 기호
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1489년 독일의 비드만이 쓴 산술책에 처음으로 덧셈기호 '+'가 등장했다.[7] 라틴어로 ‘~과’라는 단어가 et이기 때문에 et라고 사용했으며, 이를 간략하게 쓰는 과정에서 +가 되었다고 한다. 이 기호를 언제부터 plus라고 불렀는지는 확실하지 않다. 전 세계적으로 쓰이는 기호이지만 오로지 이스라엘에서만 십자가를 연상하게 한다고 수학 교과서나 일상에서 ﬩자를 쓰고 있다.[8] 국제교류가 활발한 대학교나 연구소, 기업체 등에서나 +를 쓴다.
x + 6 = 9을 미국 중등학교대수(algebra)에서는 "Six more than x is nine"과 같이 문장(sentence)으로 만들어 읽도록 가르치며 이런 문장들은 공식(항등식), 방정식, 부등식으로 나뉜다. 변수가 들어있는 문장들을 open sentence라고 하며 정의역(domain or replacement set)에서 문장을 참(true)로 만드는 원소들의 집합을 solution set(해집합)이라고 한다.
중국의 근대 대수학 교재에서도 더하기 기호가 기존에 사용하던 한자 숫자인 十(열 십)과 헷갈리기 때문에, ㅗ 비슷한 기호를 썼다.[9] 한편 뺄셈 기호 또한 一(한 일)과 비슷하기 때문에 ㅜ라고 썼다.
3. 정의
그냥 합치면 되는 거 아니냐고 생각할 수도 있지만 초등학교 수준에서부터 크게 두 종류를 가르친다. 학생들 간 덧셈을 계산할 때 무의식적으로 선호하는 방법이 다르다고 한다. 유치해 보이지만 깊이 생각하면 나름 깊은 의미가 있는 것들로, 집합과 함수와 연결지어 생각하면 나름의 의미가 있다.- 첨가(addition) : 가만히 있는 대상에게 다른 대상을 갖다 붙여서 합치는 것을 말한다. 강아지 3마리가 있는데 2마리가 더 찾아오면 몇 마리가 되는지가 '첨가'이다. 여기서 비롯된 게 가산수와 피가산수 개념. 게다가 현재 쓰고 있는 '더하다'도 쪼개보면 "더 하다"로부터 비롯된 말로 첨가 개념이다!
- 합병(sum) : 동시에 있는 두 대상을 함께 세는 것을 말한다. 교환법칙을 생각해서 추상적으로 생각하면 흔히 이런 방식으로 생각한다. 동시에 존재하는 강아지 3마리와 2마리가 모두 몇 마리인지를 구하는 건 합병이다.
그리고 초등학교 고학년을 넘어서면 그런 거 없이 추상적인 개념으로 숫자를 더하는 것이 익숙해지고 위 더하기 두 가지를 딱히 구분하지 않게 되며, 수학과를 가지 않는 한 대부분의 사람들은 죽을 때까지 이 방법으로 직관적인 계산을 하는 것을 덧셈으로 인식할 것이다.
대학에서 대수학을 추상적으로 배우기 시작하면서부터는 보통
이 두 가지 조건을 만족하는 이항연산을 덧셈이라고 하는 경우가 많다. 실제로는 우리가 알고 있는 덧셈에서부터 파생되는 경우를 배우는 게 대부분이다.
3.1. 페아노 공리계
페아노 공리계에선 다음과 같이 덧셈을 정의할 수 있다. 어떤 자연수 [math(a)]와 [math(b)]에 대해서 다음의 두 조건을 만족하는 연산 ([math(+)]로 표기)이 덧셈이다.- [math(0 + b = b)]
- [math(S(a) + b = S(a + b))]
여기서 [math(S(a))]란 [math(a)]의 "계승자"라는 뜻이다.[10][11]
4. 예제
덧셈 구조의 중요한 예제는 크게 두 가지가 있다.- 정수에서의 덧셈
- 정수에서 숫자 n으로 나눈 후의 나머지끼리의 덧셈
혹은
(홀수)+(홀수)=(짝수), (홀수)+(짝수)=(홀수), (짝수)+(홀수)=(홀수), (짝수)+(짝수)=(짝수)
가 대표적. 두 숫자를 더할 때 2로 나눈 나머지끼리의 관계를 살펴보면 된다.
이런 구조를 쌍을 지어 모아둔 구조도 덧셈이 된다. 이는 선형대수학을 공부하기 위한 필수요소다. 이런 배경에 비추어 따로 선형 결합(Linear combination)이라는 다른 이름으로 불리기도 한다.
(1,2)+(2,3)=(3,5)와 같은 경우.
위상수학에서는 #라는 다른 기호를 쓰는 연결합(Connected sum)이 있다.
5. 성질
덧셈과 관련해서 대학에서 배우는 가장 중요한 성질은 "덧셈 구조는 잘 정렬된다". 덧셈 구조를 가지는 집합의 원소는 숫자 몇쌍으로 나타낼 수 있다는 것.엄밀히 정의해보자면, 유한개의 원소로 만들 수 있는 덧셈 구조를 생각하자. 예를 들어, 정수 Z는 1 하나로 만들 수 있다 : 1이 있으니까 -1을 만든 후, 0=1+(-1), 2=1+1, 3=1+1+1, -2=(-1)+(-1),.....
유한개의 원소로 만들어지는 덧셈 구조는 숫자쌍으로 표현할 수 있는데, Z 가 몇개, Z/n 꼴 몇개의 쌍이다. 이 때 숫자쌍을 고르는 방식을 잘 선택하면, Z/n 들이 (또는 n 들이) 좋은 성질을 가지게 된다 ; 각각 Z/n1, Z/n2, Z/n3,....로 적었을 때, n1은 n2의 약수, n2는 n3 의 약수, n3은 n4의 약수,....와 같이 되도록 고를 수 있다.
좀 더 정식으로 보고 싶은 사람이 있다면 Fundamental theorem for finitely generated abelian groups라는 이름으로 찾아보면 된다.
이외에도 다음 성질이 있다.
- 교환법칙이 성립한다. 즉 [math( a + b = b + a )] .
- 결합법칙이 성립한다. 즉 [math( (a + b) + c = a + (b + c) )] .
- 단, 분배법칙은 성립하지 못한다. 즉 [math( a + (b + c) \neq (a + b) + (a + c) )] .
- 항등원은 0이다. 즉 0을 아무리 더하거나 빼도 아무 변화가 없다는 것.
6. 덧셈의 역원 - 뺄셈
더하는 것이 있다면 반대로 빼는 것도 있는데 바로 뺄셈이다. −(-이 아니지만 컴퓨터상에서 -는 하이픈과 −를 대체하기 위한 문자.)라는 기호로 표현되며 덧셈의 반대라고 보면 된다.다만 정수의 개념을 배우게 되면 덧셈과 뺄셈이 결국에는 같은 녀석임을 눈치채게 된다. 음수를 더하는 것은 절댓값이 같은 해당 수를 빼는 것과 마찬가지가 되기 때문. 그래서 이후에 나오는 수식은 죄다 덧셈의 형태며, 빼기 기호는 해당 수의 부호가 무엇이냐라는 표지로만 쓰인다.
7. 성질의 증명
여기서는 3.1 항목에서 언급된 페아노 공리계의 덧셈의 정의를 사용한다.증명은 (단계). -명제- [근거] 식으로 서술. 당연하지만 [math(a, \, b, \, c)]는 어떠한 자연수들이다(여기서 자연수는 [math(0)]도 포함).
7.1. 결합법칙
[math(\text{도움정리 1: } (0 + b) + c = 0 + (b + c))]- [증명]
- [math(\textbf{1}. \, (0+b) + c = b + c \, \text{[덧셈의 정의 1항목]})]
[math(\textbf{2}. \, b + c = 0 + (b + c) \, \text{[덧셈의 정의 1항목]})]
[math(\textbf{3}. \, (0+b) + c = 0 + (b + c) \, \text{[추이적 관계]})]
[math(\text{덧셈의 결합법칙: }(a+b) + c = a + (b + c))]
- [증명]
[math(\textbf{1}. \, a = 0 \text{일 때, 결합법칙이 성립. 다시 말해, }(0 + b) + c = 0 + (b + c) \, \text{[도움정리 1]})]
[math(\textbf{2}. \, (a+b) + c = a + (b + c) \text{가 참이라고 가정 [귀납법 시작점]})]
[math(\textbf{3}. \, (S(a)+b) + c =S(a+b) + c = S((a + b) + c) \, \text{[덧셈의 정의 2항목]})]
[math(\textbf{4}. \, S((a+b)+c) = S(a+(b+c)) \, \text{[2번]})]
[math(\textbf{5}. \, S(a+(b+c)) = S(a) + (b + c) \, \text{[덧셈의 정의 2항목]})]
[math(\textbf{6}. \, (S(a) + b) + c = S(a) + (b + c) \, \text{[3-5번으로 인한 추이적 관계]})]
[math(\textbf{7}. \rightarrow (a+b) + c = a + (b + c) \, \text{[1, 2, 6번에 의한 귀납]})]
7.2. 교환법칙
[math(\text{도움정리 2: }0 + a = a + 0)]- [증명]
- [math(\textbf{1}. \, 0+0 = 0+0 \, \text{[반사관계]})]
[math(\textbf{2}. \, 0 + a = a + 0 \text{가 참이라고 가정 [귀납법 시작점]})]
[math(\textbf{3}. \, 0 + S(a) = S(a) = S(0 + a)\, \text{[덧셈의 정의 1항목]})]
[math(\textbf{4}. \, S(0 + a) = S(a + 0) \, \text{[2번]})]
[math(\textbf{5}. \, S(a + 0) = S(a) + 0 \, \text{[덧셈의 정의 2항목]})]
[math(\textbf{6}. \, 0 + S(a) = S(a) + 0 \, \text{[3-5번에 의한 추이적 관계]})]
[math(\textbf{7}. \, \rightarrow \, 0 + a = a + 0 \, \text{[1, 2, 6번에 의한 귀납]})]
[math(\text{도움정리 3: }S(a) = a + 1)]
- [증명]
- [math(\textbf{1}. \, S(0) = 1 \, \text{[숫자 '1'의 정의]})]
[math(\textbf{2}. \, 0 + 1 = 1 \, \text{[덧셈의 정의 1항목]})]
[math(\textbf{3}. \, S(0) = 0 + 1 \, \text{[1-2번에 의한 추이적 관계]})]
[math(\textbf{4}. \, S(a) = a + 1 \, \text{이 참이라고 가정 [귀납법 시작점]})]
[math(\textbf{5}. \, S(S(a)) = S(a+1) \, \text{[4번]})]
[math(\textbf{6}. \, S(a+1) = S(a) + 1 \, \text{[덧셈의 정의 2항목]})]
[math(\textbf{7}. \, S(S(a)) = S(a) + 1\, \text{[5-6번에 의한 추이적 관계]})]
[math(\textbf{8}. \, \rightarrow S(a) = a + 1 \, \text{[3, 4, 7번에 의한 귀납]})]
[math(\text{도움정리 4: }S(a) + b = a + S(b))]
- [증명]
- [math( \textbf{1}. \, S(a) + 0 = 0 + S(a) \, \text{[도움정리 2]})]
[math(\textbf{2}. \, 0 + S(a) = S(a) \, \text{[덧셈의 정의 1항목]})]
[math(\textbf{3}. \, S(a) = a + 1 \, \text{[도움정리 3]})]
[math(\textbf{4}. \, a + 1 = a + S(0) \, \text{[숫자 '1'의 정의]})]
[math(\textbf{5}. \, S(a) + 0 = a + S(0) \, \text{[1-4번에 의한 추이적 관계]})]
[math(\textbf{6}. \, S(a) + b = a + S(b) \text{를가정 [귀납법 시작점]})]
[math(\textbf{7}. \, S(a) + S(b) = S(a) + (b + 1) \, \text{[도움정리 3]})]
[math(\textbf{8}. \, S(a) + (b+1) = (S(a) + b) + 1 \, \text{[덧셈의 결합법칙]})]
[math(\textbf{9}. \, (S(a) + b) + 1 = (a + S(b)) + 1 \, \text{[6번]})]
[math(\textbf{10}. \, (a+S(b)) + 1 = a + (S(b) + 1) \, \text{[덧셈의 결합법칙]})]
[math(\textbf{11}. \, a+ (S(b)+1) = a + S(S(b)) \, \text{[도움정리 3]})]
[math(\textbf{12}. \, \rightarrow S(a) + S(b) = a + S(S(b)) \, \text{[7-11번에 의한 추이적 관계]})]
[math(\textbf{13}. \, \rightarrow S(a) + b = a + S(b) \, \text{[5, 6, 12번에 의한 귀납]})]
[math(\text{덧셈의 교환법칙: b + a = a + b})]
- [증명]
- [math( \textbf{1}. \, 0 + a = a + 0 \, \text{[도움정리 2]})]
[math(\textbf{2}. \, b + a = a + b \text{를 가정 [귀납법 시작점]})]
[math(\textbf{3}. \, S(b) + a = S(b+a) \, \text{[덧셈의 정의 1항목]})]
[math(\textbf{4}. \, S(b+a) = S(a+b) \, \text{[2번]})]
[math(\textbf{5}. \, S(a + b) = S(a) + b \, \text{[덧셈의 정의 2항목]})]
[math(\textbf{6}. \, S(a) + b = a + S(b) \, \text{[도움정리 4]})]
[math(\textbf{7}. \, S(b) + a = a + S(b) \, \text{[3-6번에 의한 추이적 관계]})]
[math(\textbf{8}. \, \rightarrow b + a = a + b \, \text{[1, 2, 7번에 의한 귀납]})]
8. 여담
[1] '2 and 6 make 8' 같이 plus 대신 and를 사용하기도 한다.[2] 과거에는 이 표기를 많이 썼다. 일제강점기 간이학교와 보통학교에서 쓰던 교과서에 이 표기가 쓰여 있었다.[3] Carry. 두 수의 부호가 같은 경우. 간혹 이걸 Overflow라고 알고 있는 사람들이 있다.[4] Borrow. 두 수의 부호가 다른 경우[5] 음의 유리수를 포함한 정수의 덧셈은 6차 교육과정까지는 초등학교 6학년부터 배웠지만, 7차 교육과정부터는 중학교 1학년부터 배운다.[6] 이진법의 덧셈은 2의 자리가 올라갈 때마다, 오진법의 덧셈은 5의 자리가 올라갈 때마다 받아올림을 한다.[7] 뺄셈기호 '-'도 여기에서 처음 사용됨.[8] 회복 같은 개신교 찬양 영화를 만든 김종철 감독이 이스라엘에 직접 가서 쓴 책 이스라엘에는 예수가 없다에 그 내용이 존재한다.[9] 위 이스라엘의 사례와는 우연의 일치일 뿐으로, 이스라엘의 사례와 달리 종교적인 의미가 전혀 없다.[10] 페아노 공리계에선 [math(0)]을 자연수라 선언하고, 모든 자연수는 계승자를 정확히 1개 가지고 있다고 한다. 0을 계승자로 가진 자연수는 없으며, 똑같은 계승자를 가진 두 자연수는 같다. 0의 계승자를 1이라 칭하고, 1의 계승자를 2라 하고...[11] '계승자' 대신 '다음 수'라는 표현을 쓰기도 한다.