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1. 정의
product notation수열 [math(\{a_{n}\})]에 대하여
[math( \begin{aligned} \prod_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n} \end{aligned})]
과 같이 표기할 수 있으며, 이와 같이 사용되는 기호 [math(\Pi)]를 곱의 기호라고 한다. 이 [math(\Pi)]는 곱을 뜻하는 영단어 product의 첫 글자 p에 대응하는 그리스 문자 Π(pi)이다. 원주율을 나타내는 [math(\pi)]의 대문자이다.
2. 성질
- [math( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} a_{k} = 0 \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} {\bold 1}_{\{0\}}(a_{k}) > 0 )]
- 쉽게 말하면 어떤 수들을 모두 곱한 결과가 [math(0)]이라면 그 수들 중 적어도 하나가 [math(0)]이라는 뜻이다. [math({\bold 1}_{\{0\}})]는 독립변수가 [math(0)]인지를 판별하는 지시함수로, 영원(零元)을 나타내는 자명한 성질이다. 흔히 '십이지의 다리 개수를 모두 곱하면?' 등으로 나오는 퀴즈를 수학적인 용어로 표현한 것으로 볼 수 있다. 십이지 중에서 뱀은 다리가 없으므로, 다른 동물들의 다리 개수는 볼 것도 없이 답은 [math(0)]인 것.
- [math( \displaystyle \arg{ \biggl[ \prod_{k=1}^{n} a_{k} \biggr]}=\sum_{k=1}^{n} \arg{ a_{k} } )]
- [math( \displaystyle \prod_{k=1}^n \frac{1}{a_{k}}=\frac{1}{\displaystyle \prod_{k=1}^{n}a_{k}} )]
- [math( \displaystyle \frac{\displaystyle \prod_{k=1}^{n}a_{k} }{\displaystyle \prod_{k=1}^{m-1}a_{k} }=\prod_{k=m}^{n}a_{k} \quad (n >m) )]
- [math( \displaystyle \frac{\displaystyle \prod_{k=1}^{n}a_{k} }{\displaystyle \prod_{k=1}^{n}b_{k} }=\prod_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{b_{k}} )]
- [math( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} c=c^{n} \quad )](단, [math(c)]는 상수)
- [math( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} ca_{k}=c^{n} \prod_{k=1}^{n} a_{k}\quad)](단, [math(c)]는 상수)
- [math( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} a_{k}b_{k} = \prod_{k=1}^{n} a_{k}\prod_{k=1}^{n} b_{k} )]
- [math( \displaystyle \ln{ \biggl[ \prod_{k=1}^{n} a_{k} \biggr]}=\sum_{k=1}^{n} \ln{ a_{k} } )]
- [math( \displaystyle \left[\prod_{k=1}^{n} a_{k} \right]^{t} = \prod_{k=1}^{n} {a_{k}}^{t} )]
- [math( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} x^{a_{k}} = x^{\sum_{k=1}^{n}a_{k}})]
- [math( \displaystyle \prod_{\emptyset} a_{k} = 1)]
- 이를 공곱(empty product)이라고 한다. 아무것도 곱하지 아니한 것을 일원(一元), 즉 곱셈의 항등원으로 갈음하는 것.
3. 무한곱
수열의 합에서 급수를 생각하듯, 곱의 기호에서도 무한곱을 생각할 수 있다.[math( \begin{aligned} \prod_{n=1}^{\infty} a_{n} = \lim_{n\to \infty}\prod_{k=1}^{n}a_{k} \end{aligned})]
무한곱의 예로 감마 함수의 역수를 정의하는 방법의 하나인 바이어슈트라스 분해 정리(Weierstraßscher Produktsatz)가 있다.
| [math(\displaystyle \frac1{\Gamma(z)}=e^{\gamma z}z \prod_{n=1}^\infty\left(1+\dfrac zn\right)e^{-z/n})] |
무한곱도 무한합처럼 집합론의 언어를 빌려 특정 집합의 원소를 모두 곱하는 방식으로 표기할 수 있다. 아래 식에서 [math(\mathbb P)]는 소수의 집합을 뜻한다.
[math(\displaystyle \zeta(s) = \prod_{p\,\in\,\mathbb P} \frac{p^s}{p^s-1} )]
4. 기타
- 고교 교육과정에서는 포함돼있지 않으며, 대부분의 한국 학생들이 대학교 전공 서적을 보며 처음 만난다.
- 합의 기호와는 달리 미적분 시 주의하여야 한다. 합의 미분은 미분의 합이지만, 곱의 미분은 단순히 미분의 곱이 아니기 때문이다. 일반적으로 곱의 미분은 합의 미분보다 훨씬 복잡하고 다루기 까다로워진다. 자세한 사항은 곱미분 참고.
[1] 양수는 편각이 0, 음수는 편각이 [math(\pi)]이므로.